第一章 绪论(三) 一些重要的概率分布

t分布表举例：
查t分布表，自由度为(n-1)=15-1=14 当自由度为14时，查表得，t值大于等于 2.977的概率为0.005，大于等于4.140的概 率为0.0005，所以，t值大于等于3.873的 概率介于0.0005~0.005之间。 练习1： 上例中其他条件不变，现假定15天 内出售面包的平均数量为72条，求获得 此数量的概率。
为了方便，通常用：
X ~ N (µ ,σ 2 )
表示随机变量X服从正态分布。 符号~表示随机变量服从什么样的分布； N表示正态分布； µ，σ²为正态分布的（总体）均值（或期望）和 方差。 X是一个连续型随机变量，可在区间（－∞,+∞） 内任意取值。
正态曲线下的区域示意图
68%（近似） 95%（近似） 99.7%（近似）
σ
-3σ
-2σ
-σ
µ
2σ
3σ
1.2 正态分布的性质：
⑴ 正态分布曲线以均值µ为中心，对称分布。 ⑵ 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边 低，在均值µ处达到最高，向两边逐渐降低， 即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变 小。 ⑶ 正态曲线下的面积约有68%位于µ± σ两 值之间；约有95%面积位于µ±2σ之间；约有 99.7%的面积位于µ± 3σ之间。这些区域可用 作概率的度量。
t分布表的使用: 分布表的使用:
例：自由度为10，P(t>1.812)=P(t<-1.812)=0.05 P(︱t︱>0)=P(t>1.812)+P(t<-1.812)=0.1
0.05 0.05
-1.812
0
1.812
例：变量X表示面包房每日出售的面包量， 在15天内，出售面包的样本方差为16。假 定真实的出售量为70条，求任意15天内出 售面包平均数量为74条的概率。 分析：本例中已知样本方差S²=16，则S=4， 总体均值（真实的出售量）=70，运用t变量 公式得： 74 − 70 t = = 3 . 873 4 15
X − µ
σ
则根据性质5，变量Z的均值为0，方差为1。 在统计学中，我们称之为单位或标准正态 变量，用符号表示为：
Z ~ N ( 0 ,1 )
任一给定均值和方差的正态变量都可转化为标准正 态变量，将其标准化可以大大简化计算。
例：变量X表示面包房每日出售的面包量，假 定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即 X~(70,9)，求任给一天，出售面包数量大于75 条的概率。 首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67 求：P(Z>1.67) 查正态分布表得： P(0≦Z≦1.67)=0.4525 则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475 即每天出售面包的数量超过75条的概率为 0.0475。
现在令Z1，Z2,…，Zk为k个独立的标准正态变 量（即每一个变量都是均值为0，方差为1的正 态变量），现在对所有的变量Zs平方，则它们 的平方和服从自由度为k的X²分布，即
∑ Z = Z + Z + ⋯+ Z ~ x
2 2 2 2 i 1 2 k
2
(k )
公式里的自由度为k，因为在所有变量的平方 和中，有k个独立的观察值。
_
_
2
n ) ，则
X − µ ~ N ( 0 ,1 ) 即： Z = σ n
假定已知µ和σ²的估计量S²，则可以 用样本标准差（S）代替总体标准差 （σ），得到一个新的变量t。
X − µ t = S n
_
根据统计理论得知：变量t服从自由度为 (n-1)的t分布。 注意：在这里，自由度为(n-1)，而不是n。 结论：从正态总体中抽取随机样本，若该 正态总体的均值为µ，但方差σ²用其估计 量S²来代替，则其样本均值服从t分布。 通常用符号tk表示，其中k表示自由度。
t分布与正态分布： 当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方 差值1。 例如：当k=10时，t分布的方差为10/8=1.25； 当k=30时，t分布的方差为30/28=1.07； 当k=100时，t分布的方差为100/98=1.02； 结论：随着自由度的逐渐增大，t分布近似于正 态分布。 注意：对于t分布，不要求其样本容量很大， k=30时，t分布与正态分布已很近似。
理论依据：
若X1，X2，X3，…，Xn是来自于均值为µ， 方差为σ²的正态总体的一随机样本。则样本 均值 也服从正态分布，其均值为µ，方差 为σ²/n，即：
X ~ N (µ ,σ
_
2
n)
也就是说，样本均值 的抽样（或概率） 分布，同样服从正态分布。
2.2 样本均值概率分布的标准正态变量：
X−µ Z = σ n
假定X和Y相互独立，设a、b为常数， 考虑线性组合：W=aX+bY 则有：
W ~ N (µ w ,σ
2 w)
其中，µ w = a µ x + b µ y
2 2 2 2 2 σw = a σx + b σ y
例：令X表示在曼哈顿非商业区一花商每日出售玫瑰花数 量，Y表示在曼哈顿商业区一花商每日出售玫瑰花的数量， 假定X和Y均服从正态分布，且相互独立。已知： X~N(100,64)，Y~N(150,81)，求两天内两花商出售玫瑰花 数量的期望和方差。 W=2X+2Y 根据上述公式，得： E(W)=2E(X)+2E(Y)=500 Var(W)=4Var(X)+4Var(Y)=580 因此，W服从均值为500，方差为580的正态分布，即 W~N(500,580)
X − 20 X − 20 Z = = ~ N ( 0 ,1) 0 .4 4 25
_源自文库
_
Z服从标准正态分布，求：
21− 20 P( X > 21) = P(Z > ) = P(Z > 2.5) 0.4
_
查标准正态概率密度表得：
P ( Z > 2 . 5 ) = 0 . 0026
即每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离 大于21英里的概率为0.0026。
2.3 中心极限定理 引言：从正态总体中抽样，其样本均值 服从正态分布，那么，如果从其他总体 中抽样，情况如何呢？ 中心极限定理：如果X1，X2，…，Xn是 来自(均值为µ，方差为σ²)任一总体的 随机样本，随着样本容量的无限增大， 其样本均值趋于正态分布，其均值为µ， 方差为σ²/n。
§3、 χ²分布
⑷ 正态分布可由两个参数µ，σ²来描 述，即一旦知道µ，σ²的值，就可以根 据附录表查到随机变量X落于某一区 间的概率值。 ⑸ 两个（或多个）正态分布随机变量 的线性组合仍服从正态分布。该性质 很重要，解释如下： ⑹ 正态分布的偏度为0，峰度为3。
令：
X ~ N (µ X ,σ
2 X )
2 Y ~ N (µY ,σ Y )
将样本均值的概率密度转化为标准正态 分布后，可以从标准正态分布表中计算 某一给定样本均值大于或小于给定的总 体均值的概率。
_
例：令X代表某一型号汽车每消耗一加仑汽油所 行驶的距离（英里）。已知X~(20,4)。则对于由 一个25辆汽车组成的随机样本，求：每消耗一 加仑汽油所行驶的平均距离大于21英里的概率。 分析：由于X服从均值为20，方差为4的正态分 布，则样本均值也服从正态分布，其均值为20， 方差为4/25。那么，
χ²分布的几何图形：
f(χ²) 概 率 密 度 K=5 K=10 K=2
0 χ² 的
χ²
3.2 χ²分布的性质
⑴与正态分布不同， χ²分布只取正值（它是平 方和的分布），并且取值范围从0到无限大。 ⑵ 与正态分布不同， χ²分布是斜分布，其遍度 取决于自由度的大小，自由度越小，越向右偏， 但是随着自由度的增大，逐渐呈对称，接近于 正态分布。 ⑶ χ²分布的期望值为k，方差为2k。k为χ²分布 的自由度。即χ²分布的方差是其均值的2倍。 ⑷ 若E1、E2分别为自由度为k1,k2的两个相互独 立的 χ²变量，则其和(Z1+Z2)也是一个χ²变量， 其自由度为(k1+k2)。
按照上述步骤，首先运用t变量公式，求出 t变量。
72 − 70 t = = 1 . 936 4 / 15
查t分布表，当自由度为14时，t值大于等于 1.761的概率为0.05，大于等于2.145的概率为 0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.025与 0.05之间。
查t分布表的注意事项： ⑴ 自由度为（n-1），而不是n。 ⑵ t分布表具有对称性，t值大于等于 某一特定值的概率与t值小于等于该特 定值相反数的概率相等。
1.3 标准正态分布
由于期望和方差的不同，正态分布之间会存在一定 的区别（见下图），如何将其简单化，从而引入标 准正态分布。
µ1
µ2
不同均值，同方差的两个正态分布图
不同均值，不 同方差
µ1
µ2
相同均值，不 同方差
µ1=µ2
标准正态分布
如果变量X的均值为µ，方差为σ，定义一个 新的变量Z，
Z =
k=120(正态） K=20 K=5
0 不同自由度下的分布
t分布的性质
⑴ t分布与正态分布相类似，具有对称性。 ⑵ t分布的均值与标准正态分布均值相同， 为0，但方差为k/(n-2)。由此，在求t分布的 方差时定义自由度必须大于2。 标准正态分布的方差等于1，因此，t分布方 差总大于标准分布的方差，也就是说，t分布 比正态分布略“胖”些。
2.1 样本均值的概率密度
例：已知正态分布的均值为10，方差为4，即 N(10,4)。现在从这个正态总体中抽取20个随机样 本，每个样本包括20个观察值，对抽取的每一个样 本，得到其样本均值，因此，共有20个样本均值。 来自N(10,4)的20个样本均值 9.641 10.321 9.740 9.765 10.134 10.480 9.739 10.334 10.040 9.504 9.937 10.410 求和=201.05 10.249 11.386 10.184 10.57 9.174 8.621 10.250 10.57
可以证明： 样本方差与总体方差的比值 与自由度(n-1)的积服从自由度为(n-1)的 χ²分布。公式表示为：
S (n −1) ~ χ (n −1) σ
2 2 2
其中，σ²为总体方差，S²为样本方差， 样本容量为n。
§4、 t分布
回忆：若样本均值 X ~ N ( µ , σ 变量Z服从标准正态分布。
f(Z)
0.4525
0.0475
0
1.67
标准正态变量概率密度函数
§2 样本均值的抽样分布或概率分布
引言：样本均值是总体均值的估计量，但是由于 样本均值是依靠某一给定样本而定，因此它的值 会因随机样本的不同而变化。由此，我们将样本 均值看作随机变量，在样本是随机抽取得到的条 件下，求样本均值的概率密度函数。 随机抽样：表示总体中每一个个体有同等机会被 选入样本。 独立同分布随机变量：由X1、X2，…，Xn构成容 量为n的随机样本Xs，如果所有的Xs是从同一个 概率密度（Xi有相同的概率密度函数）中独立抽 取得到的，称Xs为独立同分布随机变量。
3.1 何谓χ²分布？
χ²分布是统计学中常用的一种概率分布，它与正
态分布很相似。 统计理论证明：标准正态变量的平方服从自由度 为1的χ²分布，用符号表示为，
Z =x
2
2
( 1)
其中，Z是标准正态变量，即Z~N(0,1)； x²的下 标(1)表示自由度。自由度是指平方和中独立观察 值的个数。因为我们考虑的是一个标准正态变量 的平方，故自由度为1。
20个样本的频率分布 样本均值范围 8.5~9.0 9.0~9.5 9.5~10.0 10.0~10.5 10.5~11.0 11.0~11.5 频数 1 2 5 9 2 1 频率 0.05 0.10 0.25 0.45 0.10 0.05
0.50
0.25
0.05 8.75 9.25 9.75 10.25 10.75 11.25 来自N(10,4)总体的20个样本均值的分布 样本均值
一些重要的概率分布
§1、正态分布 §2、样本均值的抽样分布或概率分布 §3、 x²分布 §4、 t分布 §5、 F分布 §6、 x²分布、 t分布、 F分布与正态分布
的关系
§1、正态分布
1.1 什么是正态分布？ 对于连续型随机变量而言，正态分布是最 重要的一种概率分布，其形状似“钟型”。 经验表明：对于其值依赖于众多微小因素 且每一因素均产生微小的或正或负影响的 连续型随机变量来说，正态分布是一个相 当好的描述模型。如身高、体重、考试成 绩等。