第05章 市场风险：波动率

Real World (%)
>1 SD >2 SD >3 SD 25.04 5.27 1.34
Normal Model (%)
31.73 4.55 0.27
>4 SD
>5 SD >6 SD
0.29
0.08 0.03
0.01
0.00 0.00
注：表中，SD表示价格变化的标准差。 资料来源：Hull J, White A. Journal of Derivatives, 1998, 5(3): 9-19.
图6-4 基于表6-1的双对数图
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5.3 收益率是否服从正态分布

图6-4表明，价格变化大于x个标准差的概率 的对数与ln x呈线性关系，这说明了幂律的 正确性。 利用x＝3，4，5，6的数据，可以得出最优 拟合曲线为：
ln Pr v x 1.06 5.51ln x

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5.1 波动率的定义

波动率σ：单位时间内连续复利收益率的标准差
期权定价：一年 风险控制：一天 不同期限波动率之间的转换：时间的平方根规则



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5.1 波动率的定义

Example

一股票价格为50美元，其波动率为每年30％， 对应于每周的价格百分比变化的标准差近似为：
30% 1 52 4.16%
0.12520 0.02635 0.00670 -2.078 -3.636 -5.006
x
4 5 6
lnx
1.386 1.609 1.792
Prob(v>x)
0.00145 0.00040 0.00015
ln[Prob(v>x)]
-6.536 -7.824 -8.805
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5.3 收益率是否服从正态分布
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5.3 收益率是否服从正态分布
由式(6-2)： ln [Prob(v > x)] = ln K － a lnx 可以通过ln[Prob(v > x)] ～lnx的线性关系来验 证式(6-2) 表6-2 由表6-1得出的数值

x
1 2 3
lnx
0.000 0.693 1.099
Prob(v>x) ln[Prob(v>x)]
t2 VL i rt 2 i
i 1 n
(6-5)

其中，γ为VL所对应的权重，且继续有： i 1
i 1
n
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5.4 监测日波动率

式(6-5)：ARCH(n) 模型——Engle（1982）
ARCH(n)：方差的估计值与长期平均方差以及 最近n个观察值有关，且观察数据越久远，其 权重越小。

5.2 采用历史数据估计波动率
假定样本数据为日数据 步骤： （1）计算样本期内每天的连续复利收益率rt； （2）计算rt的标准差σ；

1 n 2 r r t i n 1 i 1
(6-1)
（3）根据“时间的平方根”法则对σ进行调整。 计算实例：HS300.xls

继续代入 t22 ：
2 2 2 3 2 t2 2 rt2 r r t 3 1 t 2 t 3
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5.6 GARCH类模型

2 i 1 r 继续代入，可以看到 t i 的权重为 ，即权重以β指
数速度下降，β参数可被解释为衰减率（Decay rate）， 类似于EWMA模型中的λ系数，决定了不同时期ri的重 要性。 β＝0.9：r 是 r 2 的81％，

择时交易的小概率困境
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5.3 收益率是否服从正态分布
资产日收益率并不服从正态分布，差异主要表 现在： （1）实际分布的尾部较正态分布更厚 （2）分布的尖峰较正态分布更高


意味着什么？
金融市场中，较小的价格变化和较大的价格变 化出现的概率往往大于正态分布下的情况！
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5.3 收益率是否服从正态分布
另外，EWMA模型还隐含着未来各期波动率 的期望值都是当前的波动率水平， 即 ，这显然忽视了 E t2k t2 k 1, 2,3,L 近期数据特征对于波动过程的较强影响。
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5.6 GARCH类模型

GARCH类模型是目前金融研究中居于统治地位 的一类波动率测度方法 。 该方法起源于Engle（1982）提出自回归条件异方 差模型（Auto-regressive Conditional Heteroscedastics，ARCH）的开创性工作。
引言

对金融市场波动性的研究是现代金融理论的核 心内容之一。 波动性不仅是金融风险资产的决定因素，还是 金融衍生产品定价中的一个关键参数。
能否对市场波动做出准确的刻画和预测，直接 关系到风险管理的有效性和衍生产品定价的合 理性等重要问题。
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内容提要
波动率的定义 采用历史数据估计波动率 收益率是否服从正态分布 监测日波动率 指数加权移动平均模型 GARCH模型、随机波动模型、隐含波动率模 型、实现波动率模型
Engle的学生Bollerslev（1986）通过将ARCH模型 拓展，提出了广义自回归条件异方差模型 （GARCH）。
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5.6 GARCH类模型
Robert F. Engle 2003年诺贝尔经济学奖获得者
Tim Bollerslev
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5.6 GARCH类模型

在GARCH模型中， 是由长期平均方差VL 、 rt-1、 t 1 所组成。

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5.3 收益率是否服从正态分布
EMH和Black-Scholes模型： 资产价格为独立连续变化，波动率为常数σ

这意味着在任意时间Δt内，收益率均服从正态 分布且标准差为： t
现实是这样的吗？
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5.3 收益率是否服从正态分布
表6-1 价格变化大于1－6个标准差的天数占全部观察日的比例


即： K e1.06 2.88
5.51
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5.3 收益率是否服从正态分布

一个大于4.5倍标准差的变化（可正可负）出 现的概率为： 2 2.88 4.55.51 0.00146

一个大于7倍标准差的变化（可正可负）出现 的概率为： 2 2.88 75.51 0.0000642
2
(6-3)
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5.4 监测日波动率

加权权重

式(6-3)：不同滞后期发生的各种事件对未来波 动率都具有相同权重的影响 缺陷：幽灵效应（Ghost effect）


金融市场中，不同时期的历史数据对于未来波 动率会有不同程度的影响，即越是近期的数据， 对于未来波动的影响应该越大。
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5.4 监测日波动率

对(6-3)的一个自然改进：
t2 i rt 2 i
i 1 n
(6-4)

其中，权重系数ai随滞后期数i的增加而减 小，且 当i > j 时， i j
1 2 L n 1
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5.4 监测日波动率

假定存在某一长期平均方差VL，则可将式 (6-4)写为：
t 1
2 t 2

2 r 的重要性只是 t 1 的90％， rt 2 的重要性只 3
2 t

研究中最常用的GARCH(1,1)模型表示为：
2 t2 VL rt 2 1 t 1

且：
1
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5.6 GARCH类模型

EWMA模型是GARCH(1,1)模型对应于γ＝0，α ＝1－ λ，β＝λ的情形。
GARCH(1,1)模型中的(1,1)代表 是由最近的 收益率观察值以及最近的方差估计所得。
图6-3 正态分布与某一厚尾分布的比较
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5.3 收益率是否服从正态分布

正态分布的代替：幂律分布（Power law）

对于变量v，当x很大时：
Prob(v > x) = Kx-a

(6-2)
其中，K 和 a 为常数。 (6-2)式已被证明适用于许多变量，如个人 收入、城市规模和网页被点击的次数等。
2 t n 2 i t i

r V L ，有： 令 i 1
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5.5 指数加权移动平均模型

指数加权移动平均模型EWMA：式(6-4)的一 个特殊形式，其中的权重系数ai随滞后时期延 i 1 i 长而按指数速度衰减：

其中，λ为一取值为0～1的常数
2 t


2 GARCH(p,q ):t2 VL i rt2 i t i i i 1 i 1
p
q
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5.6 GARCH类模型

令 VL
，GARCH(1,1):
2 t2 rt2 1 t 1
(6-6)

继续有：

因此，股票价格每周变化的标准差为 50×0.0416，即2.08美元。
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5.1 波动率的定义

方差变化率

方差：波动率的平方 波动率与时间的平方根成正比 方差与时间本身成正比
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5.1 波动率的定义

交易天数与日历天数
计算波动率时，应该采用交易天数 or 日历天 数？ 研究人员证明：价格在交易时间内的波动比无 交易时间的波动大得多，所以采用历史数据估 计波动率时，应该忽略无交易的天数

EWMA模型中的波动率估计完全依赖于其中的唯 一参数——衰减因子λ ，这给该模型的应用带来 了较大便利。 但λ 究竟取何值合适并没有一致的标准，并且λ保 持常数显然与市场的时变波动特征相抵触。

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5.5 指数加权移动平均模型

JFra Baidu bibliotekP. Morgan投资银行开发的RiskMetrics技术曾 建议将λ取为0.94，但该技术在金融风险测度 领域中的糟糕表现，说明这一取值并不具备较 强的合理性和实用性。
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5.4 监测日波动率
日波动率为常数的假设与实际严重不符 可以利用最新价格不断更正对波动率的估计， 从而得到每天不同的波动率 计算实例：HS300.xls 对式(6-1)的调整： （1）令 r 0 ；（2）用n代替n-1 调整后： n

1 t rt 2 i n i 1

美国：约252个交易日 中国：约250个交易日

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5.1 波动率的定义

若为某资产的年波动率σyear，σday为相应的日 波动率，则：
year day 252

或
year day 250
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5.1 波动率的定义

思考：波动率由何而来？
图6-1 标准普尔500指数和上证综指收益率的波动情况
1
VL

且 1
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5.6 GARCH类模型

权重

将 t21 代入式(6-6)，可得：
2 2 t2 rt 2 r 1 t 2 t 2 2 2 2 rt 2 r t 2 1 t 2
2 i 1 2 t2 1 rt 2 1 rt i 1 t 1 n

由此出发，波动率估计模型可以表示为：
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i 1
5.5 指数加权移动平均模型
历史信息对于未来波动的影响随时间间隔增大而 衰减的速度通过衰减因子λ（decay factor）反映。 一个较大的λ值意味着历史信息对于未来波动影响 的衰减速度较慢，而一个较小的λ值意味着这一衰 减速度较快。

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5.1 波动率的定义

若假设成立，第（2）项方差应为第（1）项方 差的3倍 实证研究结论：第（2）项方差为第（1）项方 差的1.22倍、1.19倍、1.107倍


这样结果出现的原因是否在于开盘时有更多新 信息？ Roll（1984）对橙子期货价格的类似研究并不 支持这样的解释
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5.1 波动率的定义
一个自然假设：波动率是由到达市场的新信息引 起 上述假设并未得到实证研究（Fama，1965； French，1980；French and Roll，1980）的支持 Fama等学者的研究思路： 计算（1）中间不含非交易日时，一个交易日结 束到下一个交易日结束时股票价格收益率的方差； （2）周五收盘到下周一收盘时收益率的方差