要领悟世界上最常用传递函数详解

j 1 k 1 i 1 d 1 e b c
其中
n
1 ； LC
R 2
C 。 L
（6）延时环节
输入xi (t )与输出xo (t )之间的关系 xo (t ) xi (t ) X o ( s ) e - s X i ( s ) X o ( s) G ( s) e - s X i ( s)
特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在τ时间内没有任何输出， 到τ时间后，不失真地反映输入。 延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。
2
m
c
质量 - 阻尼 - 弹簧系统
其传递函数为 X o (s) k G ( s) 2 X i ( s) m s cs k k/m 2 s (c / m) s k / m
振荡环节传递函数的一般表达式
2 n G ( s) 2 2 s 2n s n
k c 其中,n ， m 2 mk
只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。
（4）积分环节
如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 X 0 (s) k
x 0 ( t ) k x i ( t )dt
G (s) X 0 (s ) k X i (s ) s

则
X i (s) s
特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系， 有记忆功能，能提高系统的稳态精度， 系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。
低通滤波电路
ui (t ) Ri (t ) uo (t ) U i ( s ) RI ( s ) U o ( s ) 1 1 uo (t ) i (t )dt U o (t ) I ( s ) I ( s ) CsU o ( s ) C Cs 消去 I ( s ), 得 U i ( s ) ( RCs 1)U o ( s ) 传递函数为 X o (s) 1 1 G(s) X i ( s ) Rcs 1 Ts 1
式中，T—振荡环节的时间常数 ζ—阻尼比，对于振荡环节，0<ζ<1 K—比例系数
特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性， 这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。
等效弹性刚度
等效弹簧 刚度
力学模型
时域方程
拉氏变换式
弹簧
k
x(t)
f t kxt
z1 ni(t) z2
z1 z2
n 0 (t ) z 2 n i (t ) z1
N 0 (s) z 2 N i (s) z 1 G (s) N 0 (s) z 1 , N i (s) z2
k
n0(t)
其中，ni(t) ——输入轴转速； n0(t) ——输出轴速； Z1，Z2——齿轮齿数。
特点：改善系统的动态性能； 增加系统的阻尼，提高系统的稳定性 常被作为校正装置
例 如图所示永磁式直流测速机， 已知 u (t) k di (t) 0 dt U 0 (s ) G ( s ) ks 进行拉氏变换后得 i (s ) d i 则
U 0 (s) k dt (t )
U0(t)
U i (s) (RCs 1)U o (s)
则
G (s )
U 0 (s ) 1 , 图 无源滤波电路 U i (s) RCs 1
其中，ui(t) ——输入电压； uo(t) ——输出电压； R为电阻；C为电容。
R
求低通滤波器的传递函数
u i (t )
i (t )
C
u o (t )

例7 图2-14所示的无源微分电路
C
i( t )
图 无源微分网络
1 U i (s) I(s) RI(s) 拉氏变换得 Cs u 0 (t) U 0 (s) RI(s) 其中， RCs 1 ui(t) ——输入电压 化简得 U i (s) R U 0 (s) u0(t) ——输出电压 RCs RC=T U ( s ) RCs R——电阻； G (s) 0 K=1 则 C——电容。 U i (s) RCs 1
特点：有一个阻尼元件存在，当有一个输入信号时，不会 马上达到一定值，而是需要一个缓慢上升的过程。
xi (t )
x0 (t )
忽略质量，由达朗贝尔 原理可知 o 0 数学模型 ( xi xo )k cx o kxo kxi csX o ( s ) kX o ( s ) kX i ( s ) cx X o (s) k 1 传递函数 G ( s ) X i ( s ) cs k Ts 1
数学模型 o (t ) ui (t ) RCu
uo(t)
RCsUo (s) U i (s)
U o ( s) 1 K G( s) U i ( s) RCs s
5
二阶振荡环节
G (s)
1 T s 2Ts 1
2 2
, 0 1
0 (t ) 2Tx 0 (t ) x 0 (t ) x i (t ) 如果输入，输出函数可表达为如下二阶微分方程： T 2 x 经拉氏变换得 T 2 s 2 X 0 (s) 2TsX 0 (s) X 0 (s) X i (s)
电感 L 上的电压降 V L Li 电阻上的电压降 VR iR
L
i (t )
R
u i (t )
振荡电路
C
u o (t )
i Cuo VL LCuo ,VR CRuo
由电压平衡方程 ui (t ) VL VR uo (t ) 可得此网络的数学模型
数学模型 传递函数
(t )
r
x(t )
数学模型 x(t ) r (t )dt
0
t
X (s)
r X (s) r ( s) G ( s) s ( s) s
齿轮——齿条传动
积分环节传递函数的一般形式 : K G ( s) s
i2(t) ui(t)
i1(t)
R a +
C
i (t)
对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的， 电路中常遇到下述的近似微分环节。 2 近似微分环节
u i (t)
i (t ) ——输入转角； 其中， u0(t) ——输出电压。
图 永磁式直流测速机
G(s)
kTs Ts 1
1 u ( t ) i(t )dt i(t )R 已知 i C u 0 (t ) i(t )R
典型环节的传递函数
（ 1）比例环节 由比例环节的数学模型 xo (t ) Kxi (t ) X o ( s ) KX i ( s ) 传递函数 X o (s) G( s) K X i (s)
特点：输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟，而 是按比例反映输入，即线性变化。
R2
Y (s) 1 G (s) 0 Fi (s) Ms 2 Ds k 1/ k 2 M D M s2 2 s 1 k k 2 Mk 1/ k T 2s 2 , T 2Ts 1 M D , k 2 Mk
(2)一阶惯性环节 凡运动方程为下面一阶微分方程
T d xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：
G( s) X o ( s) K X i ( s ) Ts 1
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数
延迟环节与惯性环节的区别： 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内, 没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻 的 输入。
系统的传递函数可以写成：
K ( i s 1) ( 2 s 2 2 s 1) s v (T j s 1) (Tk2 s 2 2 kTk s 1)
其中，xi(t) ——输入位移； x0(t) ——输出位移 K——弹簧刚度； D——粘性阻尼系统。
图 弹簧-阻尼系统
（3）微分环节
输出量正比于输入量的微分。
i (t ) 微分环节的数学模型 xo (t ) T x X o ( s) X o ( s) TsX i ( s) 传递函数 G( s) Ts X i ( s)
由运算放大器构成的比例环节
R2 uo (t ) ui (t ) Kui (t ) R1 拉氏变换 U o ( s ) KU i ( s ) G ( s )
如图所示齿轮传动副，
i2 (t )
i1 (t )
u i (t )
+
K
0
u o (t )
R1
U o (s) K U i (s)
例 如图所示无源滤波电路，
1 u ( t ) i ( t ) R i( t )dt i C u ( t ) 1 i( t )dt 0 C
k
m
c
略去质量的阻尼—弹簧系统
Ui(t)
R
i(t)
Uo(t) C
已知


拉氏变换后得 消去I(s)，得
1 U ( s ) I ( s ) R I(s) i Cs U (s) 1 I(s) 0 Cs
M k
D
f i (t) ——输入外力； 其中， y 0 ( t ) ——输出位移； M——质量； k——弹簧刚度； D——拈行阻尼系数。 图 质量-弹簧-阻尼系统
返回
5 二阶振荡环节
含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互 转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：
2 d d T 2 2 xo (t ) 2 T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ), 0 1 dt dt X o ( s) K G ( s ) 传递函数： X i ( s) T 2 s 2 2 Ts 1
F s kX s
k
阻尼器
D
x(t)
t f t Dx
F s DsX s
Ds
质量
M
x(t)
t f t M x
F s Ms 2 X s
Ms 2
等效复阻抗
xi (t )
x0 (t )
k
数学模型为 o cx o kxo kxi m x (m s cs k ) X o ( s) kX i ( s)
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
XoБайду номын сангаасt)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k
则
G (s)
X 0 (s) 1 2 2 X i (s) T s 2Ts 1
特点:在一定条件下，具有振荡可能，取决于系统本身的固有特性， 这是因为有两个储能元件，有能量交换，这种能量交换在一定条件下 以振荡方式存在。 y 0 (t) f (t)
i
例 如图所示质量-弹簧-阻尼系统， 0 (t ) ky0 (t ) M 0 (t ) y 列方程 f i (t ) Dy 2 F ( s ) DsY ( s ) kY ( s ) Ms Y0 (s) i 0 0 经拉氏变换得 则传递函数为
LCuo (t ) RCuo (t ) uo (t ) ui (t ) ( LCs 2 RCs 1)U o ( s ) U i ( s )
U o (s) 1 G (s) 2 U i ( s ) LCs RCs 1
2 n 1/( LC ) 2 2 2 s ( R / L) s 1/( LC ) s 2n s n