§7.3 基本不等式及其应用
1.基本不等式ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤??
??a ＋b 22
(a ，b ∈R ).
(4)a 2＋b 22≥
????a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两
个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2
4
.(简记：和定积最大)
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1
x
的最小值是2.
( × ) (2)ab ≤(a ＋b 2
)2
成立的条件是ab >0.
( × )
(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π
2)的最小值等于4.
( × ) (4)x >0且y >0是x y ＋y
x ≥2的充要条件.
( × ) (5)若a >0，则a 3＋1
a 2的最小值为2a .
( × ) (6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).
( √ ) 2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1
x －1，下列叙述正确的是
( )
A.函数f (x )有最小值2
B.函数f (x )有最大值2
C.函数f (x )有最小值3
D.函数f (x )有最大值3
答案 C
3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是
( )
A.a 2＋b 2>2ab
B.a ＋b ≥2ab
C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b
≥2 答案 D
解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a
b
≥2
b a ·a b
＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1
y 的最大值为
( )
A.2
B.32
C.1
D.12
答案 C
解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1
y ＝log 3a ＋log 3b
＝log 3ab ≤log 3?
??
??a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1
y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |
b
取得最小值. 答案 －2
解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |
＋|a |
b
≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |
b
的 最
小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34
，此时?????
b 4|a |＝|a |b
，a <0，
即a ＝－2.
题型一 利用基本不等式求最值
例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为________；
(2)当x >0时，则f (x )＝2x
x 2＋1
的最大值为________.
思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1
y 中的
“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1
解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y
＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x
y 时，取等号.
(2)∵x >0，∴f (x )＝
2x
x 2＋1＝2x ＋
1x ≤2
2＝1， 当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时取等号.
思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.
(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.
(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(y
x
＋x )的最小值为________.
(2)已知x ，y ∈R ＋
，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.
答案 (1)4 (2)3
解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2
y ＋1≥2＋2
y 2x ×x 2
y
＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(y
x ＋x )的最小值为4.
(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y
4
≥2
xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y
4
时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题
例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)
D.(－22－1,22－1)
(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11
x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围
是________.
思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－8
3
，＋∞)
解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，
解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，
即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1.
(2)对任意x ∈N *
，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1
≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8
x )＋3.
设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝17
3.
∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝
173.∴－(x ＋8x )＋3≤－8
3
， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－8
3，＋∞).
思维升华 (1)a >f (x )恒成立?a >(f (x ))max ， a (2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，1 2 )成立，则a 的最小值是 ( ) A.0 B.－2 C.－52 D.－3 答案 C 解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a 2. 当－a 2≥1 2 ，即a ≤－1时， f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0?a ≥－5 2， ∴－5 2 ≤a ≤－1. 当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，1 2)上是增函数， 应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<1 2 ，即－1 应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 2 4≥0恒成立， 故－1 综上，a ≥－5 2 ，故选C. 方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1 x )恒成立. 又φ(x )＝x ＋1x 在(0，1 2)上是减函数， ∴φ(x )min ＝φ(12)＝5 2， ∴[－(x ＋1x )]max ＝－5 2， ∴a ≥－5 2 . 题型三 基本不等式的实际应用 例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解. 解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0 思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值. (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件， 则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准 备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 (2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q 2%，若p >q >0，则提价多的方案是________. 答案 (1)B (2)乙 解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8 ≥2 800x ·x 8 ＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. (2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q 2%)2 ， 因为 (1＋p %)(1＋q %)≤ 1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q 2 %， 且p >q >0，所以 (1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q 2 %， 即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q 2%)2 ， 所以提价多的方案是乙. 忽视基本不等式等号成立的条件致误 典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 (2)函数y ＝1－2x －3 x (x <0)的最小值为________. 易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值； (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3 x ≥2 6. 解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3 5x ＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋3 5x ) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135 ＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋12 5 ＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝1 2时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3 x )≥1＋2 (－2x )·3 －x ＝1＋26，当且仅当x ＝－ 6 2 时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 方法与技巧 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 失误与防范 1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. A 组 专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1.已知0 ( ) A.13 B.12 C.34 D.23 答案 B 解析 ∵0 ????x ＋1－x 22＝3 4 . 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝1 2 时取等号. 2.若函数f (x )＝x ＋1 x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于 ( ) A.1＋ 2 B.1＋ 3 C.3 D.4 答案 C 解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1 x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋ 1 x －2＋2≥2 (x －2)·1 x －2 ＋2＝4， 当且仅当x －2＝1 x －2，即x ＝3时，“＝”成立. 又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3. 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a A.a B.v ＝ab C.ab 2 D.v ＝a ＋b 2 答案 A 解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b ， 从而v ＝ 2s s a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵02ab 2b ＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b b 的最小值是 ( ) A.14 B.1 C.4 D.8 答案 C 解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得??? a ＋ b ＝1 a >0 b >0 . 故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2 ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1 2时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( ) A.lg ????x 2＋1 4>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C 解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋， x ＋y 2 ≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·1 2 ＝x ， 所以lg ????x 2＋1 4≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等， 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有1 x2＋1 ＝1，故选项D不正确. 二、填空题 6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1 x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9 解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1 x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋2 1 x 2y 2· 4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝1 2 时“＝” 成立. 7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________. 答案 94 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， 因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝9 4 . 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________. 答案 20 解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400 x ，一 年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400 x ＋x ≥2 400x ·x ＝40，当且仅当400 x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购 买该种货物20吨. 三、解答题 9.(1)已知0 5，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2 y 的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝1 5·5x ·(2－5x ). ∵0 5，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2 )2 ＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2 y )(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝1 3时等号成立， ∴8x ＋2 y 的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计. (1) (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x 米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162 x )＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100 x )＋12 960 ≥1 296×2 x ·100 x ＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100 x (x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知????? 0 8 ≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (81 8≤x ≤16)， g (x )在[81 8 ，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162 x ＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为 1 296×(818＋800 81 )＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为81 8 米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1 b ≤0恒成立，则m 的最大值为 ( ) A.4 B.16 C.9 D.3 答案 B 解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒 成立. 因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b ≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B. 2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2 z 的最 大值为 ( ) A.0 B.1 C.9 4 D.3 答案 B 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1 y 2＝－????1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] . 答案 1 解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤2 3 . 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立， 所以当a ＝1时，ab 取最大值2 3 . 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2， 可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32， 故xy 的最小值为18. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)， ∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t ＝t ＋4 t ＋5≥2 t ·4 t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4 t ，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9. 5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1 t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值. 解 (1)W (t )＝f (t )g (t ) ＝(4＋1 t )(120－|t －20|) ＝??? 401＋4t ＋100 t ， 1≤t ≤20， 559＋140 t －4t ， 20 (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋ 100 t ≥401＋24t ·100 t ＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140 t －4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝4432 3， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元. 第 1 页 共 7 页 不等式、推理与证明训练题（十七） 一、选择题： 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．若122+x ≤()1 4 2x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8 B ．1[,2]8 C ．1 (,]8 -∞ D ．[2,)+∞ 3．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b > 4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．5 1 C ．4 D ．5 6．在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 60 2 D. 2004 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|???? ??>=?????? <=（ ） A ．?? ? ??2131， B ．??? ??∞+，21 C ．??? ??∞+??? ??-∞-，，3131 D ．??? ??∞+??? ??-∞-，，2131 8．下列表述正确的是（ ）。①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演 绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤。 9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中 有白色地面砖( )块. A.4n+2 B.3n+2 C.4n+1 D.3n+1 10．关于x 的不等式2 2155(2)(2)22 x x k k k k --+<-+的解集是 ( ) A ．12x > B ．12x < C ．2x > D ．2x < 11．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( ) 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式） 不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证 明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。 高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数 的不等式恒（能）成立问题。 1、线性规划 （1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。 比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是 （2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型： ()()2 2b y a x -+-；（3）斜率型： a x b y --；如果直接考这几个类型倒还好。 比如：已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ， ()()2212-+-y x 的最小 值是 ， 3 +x y 的取值范围是 。 （3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如： ① 已知),(b a P 满足不等式组?? ? ??≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是 ② 已知y x ,满足条件??? ??≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是 ③ 已知y x ,满足条件?? ? ??≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是 （4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。 第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a ②a <0b >0，0 基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜ 54，则f (x )＝4x －2＋145 x -的最大值为________． (2)函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案] (1) 1 (2) 1 5 [解析] (1)因为x ＜5 4 ，所以5－4x ＞0， ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时，等号成立. 故f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2 ＋1， 所以y ＝ t t 2 ＋1＋3＋t ＝ t t 2 ＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝ 1 t ＋4t ＋1 ， 因为t ＋4 t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝ 1t ＋4t ＋1 ≤1 5， 即y 的最大值为1 5(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1 x －2 ＋2≥2（x －2）× 1 x －2 ＋2＝4，当 第二章 《不等式》检测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设,,R a b c ∈,且a b >,则 （ ） A ．ac bc > B ． 11a b < C ．22 a b > D ．33 a b > 2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是 A ．33a b > B ． 11a b < C ．1b a > D ．lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则y x +的取值范围是 （ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 4、设变量x , y 满足约束条件360, 20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤? ??? 则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ） A ．-7 B ．-4 C ．1 D ．2 5、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 1 8 C. 4 D. 8 6．已知向量a ＝(1，1－x x )，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( ) A ．1 D ．2 7、已知向量，a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束 条件1325x y x x y ≥-?? ≥??+≤?， 则z 的最大值为 .2 C 8．如果实数,x y 满足不等式组1, 10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 A ．25 B ．5 C ．4 D ．1 9、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 ___ m . 10、已知01a <<，01x y <<≤，且· ，那么xy 的取值范围是 A ．( 20a ??， B ．(]0a ， C ．10a ? ? ?? ? ， D ．210a ?? ??? ， 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A ．4.6 m B ．4.8 m C ．5 m D ．5.2 m 12．定义在,,f M m n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、MCA 、 MAB 的面积，已知中，()23,30AB AC BAC f N ?=∠==若1,,2x y ?? ??? ，则 14 x y 的最小值是 ⊿ 基本不等式 基础梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥????a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为 a ＋ b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 22 ab ≤????a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥????a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12 . 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2 ＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可 记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编 考点29 基本不等式 一、选择题 1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3 ）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2 9 C.3 D. 2 2 3 【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时, 2 9263)6)(3(=++-≤ +-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23 =a 时取等号. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当 xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C. 94 D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z +-，进而再利用基本不等式求出2 12x y z +-的最值. 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以 22 14343xy xy x y z x xy y y x ==-++ -1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z xy . xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2 11122412y y ??+- ? ?≤= ? ??? . 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ， 则当 z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.9 8 C.2 D.94 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以1342344322=-?≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x = ， 即2x y =时取等号此时22y z =， 所以()2222222422222 22=?? ? ??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ， 当且仅当y=2-y 时取等号. 4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14 ,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题 5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。 【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可. 【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x +≥ 基本不等式 一、考试方向 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 二、能力要求 要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等； 掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积 关系求和积。 三、基础知识 · 1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； ） (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3.最值问题： 已知y x ,是正数， ①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2； ②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值24 1S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等 号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 四、经典题型 类型一 基本不等式适用条件的应用 】 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 例1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋a b ≥－2 C.b a ＋a b ≤－2 D.??????b a ＋a b ≥ 例2．下列结论正确的是 A ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x + 2≥ B ．0x >当时，2x x +≥ C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大 例3．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)． ①y ＝x ＋4x (x>0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2 ；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sinx ＋4sinx . ;例4.若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(l ga ＋lgb)，R ＝l g ? ?? ??a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________． 例5.设0 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题23 基本不等式（学生版） 一．选择题（共10小题） 1．（2015?湖南）若实数a ，b 满足12 a b +=，则ab 的最小值为( ) A B ．2 C ． D ．4 2．（2015?上海）已知0a >，0b >，若4a b +=，则( ) A ．22a b +有最小值 B C ． 11 a b +有最大值 D 有最大值 3．（2015?福建）若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．（2014?重庆）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( ) A ．6+ B ．7+ C ．6+ D ．7+5．（2013?山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当 xy z 取得最大值时，212 x y z +-的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ． 94 D ．3 6．（2013?福建）若221x y +=，则x y +的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[2-，0] C ．[2-，)+∞ D ．(-∞，2]- 7．（2012?浙江）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ． 24 5 B ． 285 C ．5 D ．6 8．（2010?四川）设0a b c >>>，则2211 21025() a ac c a b a a b ++-+-的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ． D ．5 9．（2010?四川）设0a b >>，则211 () a a b a a b ++-的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．（2010?重庆）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是( ) 高三第一轮复习：不等式综合检测试题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 第二章 《不等式》检测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．设,,R a b c ∈,且a b >,则 （ ） A ．ac bc > B ． 11a b < C ．22a b > D ．33a b > 2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是 A ．33a b > B ．11a b < C ．1b a > D ．lg 0b a -<() 3、若122=+y x ,则y x +的取值范围是 （ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 4、设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-?-≤? ??? 则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ） A ．-7 B ．-4 C ．1 D ．2 5、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 1 8 C. 4 D. 8 6．已知向量a ＝(1，1－x x )，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( ) A ．1 D ．2 7、已知向量，a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束 条件1325x y x x y ≥-?? ≥??+≤? ， 则z 的最大值为 .2 C 8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 A ．25 B ．5 C ．4 D ．1 9、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___ m . 10、已知01a <<，01x y <<≤，且 · ，那么xy 的取值范围是 A ．(20a ??， B ．(]0a ， C ．10a ?? ???， D ．210a ? ? ?? ?， 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选 择，较经济的(够用，又耗材最少)是( ) A ．4.6 m B ．4.8 m C ．5 m D ．5.2 m 12．定义在,,f M m n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、 MCA 、MAB 的面积，已知中， ()23,30AB AC BAC f N ?=∠==若1,,2x y ?? ??? ，则 14 x y 的最小值是 B.9 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若变量x,y 满足约束条件28, 04,03,x y x y +≤?? ≤≤??≤≤? 则x+y 的最大值为________ 14、已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值,则a =__________. ABC ⊿ 2019-2020年高考一轮复习基本不等式及其应用教案理 知识梳理： 1、基本不等式 (1)重要不等式:如果a,b ,那么+2ab.当且仅当a=b时,等号成立. (2)基本不等式: 如果a,b>0.那么 可以表述为两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、重要结论： （1）a+2 （a）1 （2）a+2（a）1 （3）、 （4）、+ab+bc+ca （5）、（ a,b>0.） （6）、+ 3、如果a,b ,那么(不等式证明选讲内 容) 4、推广：对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数.即 二、题型探究 探究一：利用基本不等式求最值： 例1： （1）x,y ,x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值； （2）x,y , xy=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2 即：和定，积最大；积定，和最小。 应用基本不等式的条件： （1）、一正：各项为正数； （2）、二正：“和”或“积”为定值； （3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。 例2：解答下列问题 （1）已知x ，求x+ 的最小值； （2）已知0 ，求函数f(x)=x(8-3x)的最大值； （3）求函数y= （4）已知x ，且x+y=1，求+。 探究二：基本不等式的实际应用 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： （1）、先理解意，设变量时一般把要求的最值的变量定为函数； （2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； （3）、在定义域内，求出函数的最值； （4）、正确写了答案。 例3： 某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/ 平方米,房屋侧面的造价为150元/ 平方米,屋顶和地面的造价费用合计5800元，如果墙高为3米，且不房屋背面的费用。 （1）、把房屋总选价y表示为x的函数，并写出该函数的定义域； （2）、当侧面的长度为多少时？房屋的总造价最低，最低造价是多少？ 三、方法提升 基本不等式（也称均值定理）具有将“和式”，“积式”相互转化的功能，应用比较广 高三数学一轮复习——10.4 基本不等式 一、 课标要求： 1.解基本不等式及成立条件. 2.能应用基本不等式判断大小求最值. 3.应用基本不等式解决实际问题和综合问题. 二、 重难点: 1. 重点:正确应用基本不等式进行判断和计算. 2. 难点:基本不等式的变形应用. 三、 教学方法: 以启发引导,探索发现为主导.讲解练习为主线.用一题多解,一题多变突出重点,突破难点.以综合应用提高分析解 决问题的能力,培养创新能力. 四、 教学过程: (一)、学情评估,导入新课: 1.下列不等式中不一定成立的是( ) A . 222a b ab +≥ B.222()a b a b +≥- C.12a a +≥ D.2212a a +≥ 2.0,0,2m n m n >>+=，则mn 的最大值为 。 3.0,0x y >>，且191x y +=，则x y +最小值是 。 (二)、探求、归纳知识体系： 1. 基本不等式：① 222a b ab +≥（,a b R ∈x y =） ②a b +≥(0,0)a b >> ③2b a a b +≥ (0)ab > 变形：①222()22a b a b ab ++≤≤ 2a b +≤≤(,)a b R ∈ 2.基本不等式与最值：若,x y R +∈ ①和定积最大：若x y s +=，则2 4 s xy ≤ （当且仅当x y =时“=”成立） ②积定和最小：若xy p =，则x y +≥（当且仅当x y =时“=”成立） 注意一：要用此结论需满足三个条件：① ② ③ 简称：一正二定三相等 注意二：条件不足时可通过拆分与配凑创设条件。 （三）基本不等式的应用： 例一：设0,0x y >>，且440x y +=，求lg lg x y +的最值 变式训练①.若221x y +=，求(1)(1)xy xy -+的最小值。 （变形应用）②.函数y =的最大值为 。 例二：①若0x >，求12()3f x x x = +的最小值。 ②若0x <，求12()3f x x x = +的最大值。 归纳：1(0)y x x x =+≠的值域是什么？ 变式训练二:①求4()3lg lg f x x x =++ ，(1)x >的最小值。 （变形应用）②求14245y x x =-+ -，5()4 x <的最小值。 （对比应用）③若12x ≤≤，则1x x - 的最大值为 。 专题四 不等式 江苏省苏州实验中学徐贻林 【课标要求】 1．课程目标 (1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系． (2) 一元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法． (3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决（一般的最优整数解问题不作要求）． (4) ≤ 2a b +（a ≥0，b ≥0）≤2 a b +（a ≥0，b ≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能 用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）． 2．复习要求 （1）不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨． （2）求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解．复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程． （3）不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具．刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一次不等式组． （4）线性规划是优化模型之一．教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词．简单的线性规划问题指约束条件不超过四个（x ≥0也看作一个约束条件）的线性目标函数的最大（小）值问题．实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求． 3．复习建议 （1）重视数学思想方法的复习 ① 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度． ② 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如遇到含有参的问题，这时可能要对参数进行不重不漏的讨论． ③ 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． ④ 在不等式的证明中，要加强化归思想的复习． (2) 强化不等式的应用高三第一轮复习17----不等式、推理与证明训练题
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