2019年广东省汕头市普通高中毕业班教学质量监测数学【理】试题及答案

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合}5,4,3,2,1{=A ，}03|{2<-=x x x B ，则=B A （ ）A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}4,3{D ．}5,4{ 2.设yi x ii+=+1（R y x ∈,，i 为虚数单位），则模=-||yi x （ ） A ．1 B ．21C ．2D ．223.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥--303093y y x y x ，则使得x y z 2-=取得最大值的最优解为（ ）A ．)0,3(B ．)3,3(C ．)3,4(D ．)3,6( 4.设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且n n a S 2121-=，则=n a （ ） A ．1)21(31-⋅n B ．1)32(21-⋅n C ．31)31(2-⋅n D ．n )31( 5.去n S 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去31)31(2-⋅n城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．91 6.执行如图的程序框图，则输出的n 是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27.已知)(x f 在R 上是偶函数，且满足)()3(x f x f =+，当]23,0[∈x 时，22)(x x f =，则=)5(f （ ）A ．8B ．2 C. 2- D ．50 8.已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称 9.某单位为了了解用电量)0,125(π度与气温)0,125(π之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得回归直线方程)0,12(中)0,12(，预测当气温为)0,125(π时，用电量的度数是（ ）A ．70B ．68 C. 64 D ．62 10.下列判断错误的是（ ）A ．命题“01,12>->∃x x ”的否定是“01,12≤->∀x x ” B ．“2=x ”是“022=--x x ”的充分不必要条件 C. 若“q p ∧”为假命题，则q p ,均为假命题D ．命题“若0=⋅b a ，则0=a 或0=b ”的否命题为“若0≠⋅b a ，则0≠a 且0≠b ” 11.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为32，2=AB ，1=AC ，60=∠BAC ，则此球的表面积等于（ ） A ．π5 B ．π20 C. π8 D ．π16 12.已知函数)0(212cos )(<-+=x x x f x与)(log cos )(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)22,(--∞ C. )22,2(- D ．)2,(-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),1(m =，)12,1(+-=m ，且b a //，则=m ． 14.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是43个圆，则该几何体的体积等于 ．15.已知θ为第二象限角，且3)4tan(=-πθ，则=+θθcos sin ．16.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=1,11),2(log )(2x e x x x f x ，若0,0>>n m ，且)]2(ln [f f n m =+，则n m 21+的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知}{n a 是等差数列，满足5,141-==a a ，数列}{n b 满足21,141==b b ，且}{n n b a +为等比数列.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角CB A ,,所对的边分别为cb a ,,，B c A b B a B cos 3)cos cos (sin =+.（1）求B ；（2）若32=b ，ABC ∆的面积为32，求ABC ∆的周长.19. （本小题满分12分）已知如图正四面体SABC 的侧面积为348，O 为底面正三角形ABC 的中心. （1）求证：BC SA ⊥；（2）求点O 到侧面SABC 的距离.20.（本小题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为)(N n n ∈，则当天的利润y （单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n 的函数解析式； ②求当天的利润不低于600圆的概率.（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？21.（本小题满分12分）设函数0,ln )1(21)(2>++-=a x a x a x x f . （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）讨论函数)(x f 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为04sin 4cos 22=+--θρθρρ，直线l 的方程为01=--y x .（1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|2||1|)(m x x x f +--=，R m ∈. （1）当4-=m 时，解不等式0)(<x f ；（2）当),1(+∞∈x 时，0)(<x f 恒成立，求m 的取值范围.汕头市度普通高中毕业班教学质量监测文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．13．13-； 14．9π； 15； 16．3+．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n n b a +的公比为q ，21414-=--=∴a a d ， 1(1)n a a n d ∴=+-，32)2()1(1+-=-⨯-+=n n .211=+b a ，1644=+b a ，8114414=++=∴-b a b a q 2=∴q ，n n n n b a 2221=⨯=+∴-， 3222-+=-=∴n a b n n n n .（2）123n n S b b b b =++++)322()32()12()12(321-+++++++-=n n)32311()2222(321-++++-+++++=n n2)321(21)21(2n n n -+-+--=12222n n n +=+--18.解：（1）根据正弦定理得：B C A B B A B cos sin 3)cos sin cos (sin sin =+ B C B A B cos sin 3)sin(sin =+∴B C C B cos sin 3sin sin =∴),0(π∈C ，0sin >∴CB B cos 3sin =∴即3tan =B),0(π∈B 3π=∴B（2）3243sin 21===∆ac B ac S ABC 8=∴ac根据余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=81222-+=∴c a ，即2022=+c a 62)(222=++=+=+∴c ac a c a c aABC ∆∴的周长为：326+.19.解：（1）证明：取BC 的中点D ,连结AD ，SDABC ∆ 是等边三角形D 是BC 的中点 BC AD ⊥∴SBC ∆ 是等边三角形D 是BC 的中点 BC SD ⊥∴D SD AD = ,⊂SD AD ,平面SAD⊥∴BC 平面SAD⊂SA 平面SAD BC SA ⊥∴（2）解法一：由（1）可知⊥BC 平面SAD⊂BC 平面SBC ，∴平面⊥SAD 平面SBC 平面 SAD 平面SBC SD =过点O 作SD OE ⊥，则⊥OE 平面SBC∴OE 就是点O 到侧面SBC 的距离.由题意可知点O 在AD 上，设正四面体SABC 的棱长为a ，204360sin 21a SC SB S SBC =⋅⋅=∴∆ 正四面体SABC 的侧面积为348 34843332=⨯=∴∆a S SBC ，8=∴a 在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点a C AC AD 23sin =⋅=∴ 同理可得a SD 23=O 为底面正三角形ABC 的中心a AD AO 3332==∴，a AD OD 6331== ∴在SAO Rt ∆中，a AO SA SO 3622=-=由OE SD SO OD ⋅=⋅2121 得：OE a a a ⋅⨯=⨯⨯2321366321 96896==∴a OE ，即点O 到侧面SBC 的距离为968. 解法二： 连结SO ，则ABC SO 平面⊥ 由题意可知点O 在AD 上， 设正四面体SABC 的棱长为a ，204360sin 21a SC SB S SBC =⋅⋅=∴∆ 正四面体SABC 的侧面积为348 34843332=⨯=∴∆a S SBC ， 8=∴a在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点3423sin ==⋅=∴a C AC AD O 为底面正三角形ABC 的中心a AD AO 3332==∴，3346331===a AD OD ∴在SAO Rt ∆中，3683622==-=a AO SA SO 3316334821||||21=⨯⨯=⋅⋅=∆OD BC S OBC92128368331631||31=⨯⨯=⋅=∴∆-SO S V OBC OBC S31634831=⨯=∆SBC S设点O 到侧面SBC 的距离为h ，∴由SBC O OBC S V V --=得，h S SBC ⋅⋅=∆319128 968316321283128===∴∆SBC S h ，即点O 到侧面SBC 的距离为968.20.解：（1）当17n ≥时，17(10050)850Y =⨯-=， 当16n ≤时，1001750100850Y n n =-⨯=-，（2）①由（1）得当天的利润Y 关于当天需求量n 的函数解析式为：100850(16)()850(17)n n Y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩②设“当天利润不低于600”为事件A ，由①知，“当天利润不低于600”等价于 “需求量不低于15个”1222()110025P A ∴=-=所以当天的利润不低于600元的概率为：2225（3）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：11(600127001880070)758100x =⨯+⨯+⨯=； 若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：21(55012650187501885052)760100x =⨯+⨯+⨯+⨯=； 12x x <蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞()(1)a f x x a x'=-++2(1)x a x a x-++=()(1)(0)x a x x x--=>当01a <<时，令()0f x '<得1a x <<；令()0f x '>得0x a <<或1x >， 所以函数()f x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为,1)a (；当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥恒成立，所以函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； 当1a >时，令()0f x '<得1x a <<；令()0f x '>得01x <<或x a >，所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为1,)a (.（2）由（1）可知，当01a <<时，函数()f x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为,1)a (， 所以21()()+ln 02f x f a a a a a ==--<极大值，1()(1)02f x f a ==--<极小值，注意到(22)ln(22)0f a a a +=+>，所以函数()f x 有唯一零点，当1a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又注意到3(1)02f =-<，(4)ln 40f => 所以函数()f x 有唯一零点；当1a >时，函数()f x 的单调递增是(0,1)和(,)a +∞上，单调递减是1,)a (上， 所以1()(1)02f x f a ==--<极大值，21()()+ln 02f x f a a a a a ==--<极小值，注意到(22)ln(22)0f a a a +=+>，所以函数()f x 有唯一零点，综上，函数()f x 有唯一零点.22.解（1）由22cos 4sin +4=0ρρθρθ--及cos ,sin ,x y ρθρθρ=== 2224+4=0x y x y +--，即22(1)(2)=1x y -+-，所以曲线C 的参数方程为：1cos ()2sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数；（2）设点(1cos ,2sin )()P R θθθ++∈，则点P 到直线l 的距离为：d)2|πθ--=|2)4sin(|--=θπ所以当sin()14πθ-=-时，点21max +=d ， 此时242k ππθπ-=-+，即324k πθπ=-，k z∈所以31cos 1cos(2)14k πθπ+=+-=32sin 2sin(2)24k πθπ+=+-=所以点P 坐标为(1，点P 到直线l 的距离最大值为21+.法2：圆心C(2，1)到直线l 的距离为2=d 故圆上的点P 到直线l 的最大距离21max +=d 设过C(2，1)与直线l 垂直的直线为0l ，则0l 的方程为)1(2--=-x y ，即3+-=x y 代入22(1)(2)=1x y -+-得1)1()1(22=+-+-x x 解得122+±=x由图可得取最大值点P 的横坐标为122+-=x故点P 的纵坐标为222+所以点P 坐标为(1，点P 到直线l 的距离最大值为21+.当2x >时，30x -<，即3x >，解得：3x >， 所以不等式()0f x <的解集为5|33x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（2）因为(1,)x ∈+∞，所以不等式()0f x <恒成立， 等价为1|2|0x x m --+<恒成立，即1|2|x x m -<+， 解得：21x m x +<-或12x x m -<+即13mx -<或1x m >--恒成立，因为(1,)x ∈+∞，所以11m --≤，即2m ≥-， 故m 的取值范围为：[2,)-+∞．。

2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

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一、单选题1．若集合 ， ，R 表示实数集，则下列选项错误的是A ．B ．C ．D ．2．设复数 ， 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 ，则 等于A ．4iB ．C ．2D ．3．已知 、 、 是单位圆上互不相同的三个点,且满足 ，则的最小值是A ．B ．C ．D ．4．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ） A ．, B ．, C ．, D ．, 5．函数 的图象大致是 A ．B ．C ．D ． 6．命题：p ： ， ；命题q ： ， ， ，则下列命题中的假命题为 A ． ￢ B ． ￢ ￢ C ． ￢ ￢ D ． 7．设x ，y 满足约束条件 若目标函数 的最大值为18，则a 的值为 A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 8（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A B C D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台名校精编卷第3页（共6页）好教育云平台名校精编卷第4页（共6页）A ．B ．C ．D ．10的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为ABCD11．已知函数()ln f x ax e x =+与,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a > 12．记{}m i n ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，最大值是AB ．2 CD二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是．14．向量 满足： ， ， 在 上的投影为4， ，则的最大值是______．15．数列 且 为奇数为偶数，若 为数列 的前n 项和，则 ______．16．已知函数 满足 ，函数 ，若曲线 与 图象的交点分别为 ， ， ， 则 ______ 三、解答题 17．已知等差数列 的公差为d ，且关于x 的不等式 的解集为 ， Ⅰ 求数列 的通项公式； Ⅱ 若 ，求数列 前n 项和 ． 18．如图，在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积． 19．已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）设函数 的最小值为c ，实数a ，b 满足 ，求证： ． 20．四棱锥 的底面ABCD 为直角梯形， ， ， ， 为正三角形． Ⅰ 点M 为棱AB 上一点，若 平面SDM ， ，求实数 的值； Ⅱ 若 ，求二面角 的余弦值． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22．已知函数，，在处的切线方程为（1）若，证明：；（2）若方程有两个实数根，，且，证明：2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先化简M，N，再根据集合的运算和集合的之间的关系即可求出.【详解】集合，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查集合的运算及包含关系的判断及应用，属于基础题．2．D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得．【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B【解析】试题分析：解：根据题意，不妨设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,其中则所以=所以当时，有最小值考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题.4．A，20b=，，过点()14,30有：A.5．D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案．【详解】函数，可得，可知是偶函数，排除A；，当时，即时，有两个零点，时，可得；排除B；当或时，可得，图象逐渐走低；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题．6．D【解析】【分析】利用配方法求得说明p为假命题，举例说明q为假命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】好教育云平台名校精编卷答案第3页（共14页）好教育云平台名校精编卷答案第4页（共14页）， 命题p 为假命题；， ， 不正确，比如 ， ， ，而 ，故命题q 为假命题， 则 ￢ 为真命题； ￢ ￢ 为真命题； ￢ ￢ 为真命题； 为假命题． 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，考查利用配方法求函数的最值，考查三角函数值的大小判断，属于中档题． 7．A 【解析】 【分析】 由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值，求出a 的值． 【详解】 画出约束条件的可行域，如图：目标函数 最大值为18，即目标函数 在 的交点 处，目标函数z 最大值为18， 所以 ，所以 ．故选：A ．【点睛】 本题主要考查了线性规划问题，作出可行域是解题的关键，属于中档题.8．C （0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所，ω的取值范围为 C.【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．9．C【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C.点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线.10．D 【解析】如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ，1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r ，由12//O E O F 知D。

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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合 ， ，R 表示实数集，则下列选项错误的是A ．B ．C ．D ．2．设复数 ， 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 ，则 等于A ．4iB ．C ．2D ．3．已知 、 、 是单位圆上互不相同的三个点,且满足 ，则的最小值是A ．B ．C ．D ． 4．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ） A ．, B ．, C ．, D ．, 5．函数 的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．命题：p ： ， ；命题q ： ， ， ，则下列命题中的假命题为 A ． ￢ B ． ￢ ￢ C ． ￢ ￢D ． 7．设x ，y 满足约束条件 若目标函数 的最大值为18，则a 的值为 A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页） A ． B ． C ． D ． 101111ABCD A BC D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为ABC． D．11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}m i n ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是A．1 B ．2 C．2+ D二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量 满足： ， ， 在 上的投影为4， ，则 的最大值是______．15．数列 且为奇数为偶数，若 为数列 的前n 项和，则 ______．16．已知函数 满足 ，函数，若曲线 与 图象的交点分别为 ， ， ， 则 ______三、解答题17．已知等差数列 的公差为d ，且关于x 的不等式 的解集为 ，Ⅰ 求数列 的通项公式；Ⅱ 若 ，求数列 前n 项和 ． 18．如图，在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 边上的中线 的长为 ，求 的面积． 19．已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）设函数 的最小值为c ，实数a ，b 满足 ，求证： ． 20．四棱锥 的底面ABCD 为直角梯形， ， ， ， 为正三角形． Ⅰ 点M 为棱AB 上一点，若 平面SDM ， ，求实数 的值； Ⅱ 若 ，求二面角 的余弦值． 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22．已知函数，，在处的切线方程为（1）若，证明：；（2）若方程有两个实数根，，且，证明：好教育云平台名校精编卷第5页（共6页）好教育云平台名校精编卷第6页（共6页）2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先化简M，N，再根据集合的运算和集合的之间的关系即可求出.【详解】集合，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查集合的运算及包含关系的判断及应用，属于基础题．2．D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得．【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B【解析】试题分析：解：根据题意，不妨设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,其中则所以=所以当时，有最小值考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题.4．A【解析】由于()2214616,8ππωω=-==，()13010102A=-=，20b=，10sin208y xπφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，过点()14,30有：3010sin14208πφ⎛⎫=⨯++⎪⎝⎭，7sin14πφ⎛⎫+=⎪⎝⎭，7242kππφπ+=+，52,4k k Zπφπ=-∈，取31,4kπφ==，得310sin2084y xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭符合题意，选A.5．D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案．【详解】函数，可得，可知是偶函数，排除A；，当时，即时，有两个零点，时，可得；排除B；当或时，可得，图象逐渐走低；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题．6．D【解析】【分析】利用配方法求得说明p为假命题，举例说明q为假命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】好教育云平台名校精编卷答案第1页（共14页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共14页） ， 命题p 为假命题；， ， 不正确，比如 ， ，，而 ，故命题q 为假命题，则 ￢ 为真命题； ￢ ￢ 为真命题； ￢ ￢ 为真命题； 为假命题． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，考查利用配方法求函数的最值，考查三角函数值的大小判断，属于中档题．7．A【解析】【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值，求出a 的值．【详解】画出约束条件的可行域，如图：目标函数 最大值为18，即目标函数在 的交点 处，目标函数z 最大值为18，所以 ，所以 ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了线性规划问题，作出可行域是解题的关键，属于中档题.8．C【解析】因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所以172541624244ππππππωπω+≤⨯+<+⇒≤< ， ω的取值范围为1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 9．C 【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C. 点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线. 10．D 【解析】 如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ， 1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r，则211332O F DF ===， 21113AO AC ==，由12//O E O F1111AO AO E =⇒=，则圆柱的高为1323AO -=-，好教育云平台 名校精编卷答案 第5页（共14页）好教育云平台 名校精编卷答案 第6页（共14页）()24232r r S r r r π⎛⎫+- ⎪⎫ ⎪=-=≤⋅==⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭侧应选答案D 。

绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2019年普通高中高三教学质量测评试题文 科 数 学本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和坐号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 圆柱的表面积222S r rl ππ=+，其中r 是底面圆的半径，l 是母线的长．第一部分 （选择题 满分50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2)z i i =+的虚部是（ ※ ）A ． 2B ． -2C ． 2iD ． -2i2．已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,[)2,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ※ ）A ． {0,1,2}B ． {0,1}C ． {1,2}D ． {1}3．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）（第2题图）A ．1B ．12C ．12-D ．1-4．对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计， 得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以 上的人数为（ ※ ）A ． 300B ． 100C ． 60D ． 20 5．下列各式中错误．．的是（ ※ ） A ． 330.80.7> B ． 0..50..5log 0.4log 0.6> C ． 0.10.10.750.75-< D ． lg1.6lg1.4>6．已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和为100，那么615a a 的最大值为（ ※ ） A ． 25B ． 50C ． 100D ． 不存在7．如图所示，一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的 圆，那么这个几何体的表面积为（ ※ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π23 8．实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，且()0z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a 的取值范围是（ ※ ） A ． 45-B ． 1C ． 2D ． 无法确定9．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ※ ）A ． ()2sin 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（kg ）（第4题图）（第9题图）主视图侧视图俯视图（第7题图）C ． ()2cos 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ． ()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10．已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ※ ）A ．()1,+∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),1-∞第二部分 （非选择题 满分100分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．已知sin π 0()(-1)+1 >0x x fx f x x ≤⎧=⎨⎩，则5()6f 的值为 ※ ．12．ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于 ※ ．13. 已知某算法的流程图如图所示,若将输出的),(y x 值依次记为),(11y x ,),(22y x ， ),,(,n n y x（1）若程序运行中输出的某个数组是(,6)t -，则=t ※ ； （2）程序结束时,共输出),(y x 的组数为 ※ ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ※ ．15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是O 的切线，切点为A ，直线PO 交O 于B 、C 两点，2AC =，120PAB ∠=︒，则O 的面积为 ※ ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知集合{}2230A x x x =+-<，{}(2)(3)0B x x x =+-<，（第13题图）PABOC（第15题图）（1）在区间()3,3-上任取一个实数x ，求“x AB ∈”的概率；（2）设(),a b 为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“a b A B -∈”的概率.17．（本小题满分14分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到． 18. （本题满分12分）某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为8.2元，销售价为4.3元，全年分 若干次进货，每次进货均为x 包，已知每次进货的运输劳务费为5.62元，全部洗衣粉全年保管费为x 5.1元.（1）将该商店经销洗衣粉一年的利润y （元）表示为每次进货量x （包）的函数； （2）为使利润最大，每次应进货多少包？19．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ； （3）求三棱锥F CBE -的体积.C（第19题图）20. （本题满分14分）已知函数()f x xlnx =， （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知一非零向量列{}n a 满足：()11,1a =，()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+()2n ≥. （1）证明：{}n a 是等比数列；（2）设n θ是1,n n a a -的夹角()2n ≥，n b =21n n θ-，12n n S b b b =+++，求n S ；（3）设n c =2log n n a a ，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.汕头市2019年普通高中高三教学质量测评文科数学参考答案和评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答 有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．：二．：11．12． 12．3π． 13．27，1006． 14．sin ρθ= 15．4π．说明：第13题填对一空得3分，填对2空得5分.解答过程分析：1．选A ．解析：(2)z i i =+12i =-+，虚部是2.特别提醒：不是2i ．2．选D ．解析：阴影部分的元素x A ∈且x B ∉，即U A B ⋂ð,选项D 符合要求．3．选A ．解析：由2y ax '=，又点（1，a ）在曲线2ax y =上，依题意得122x k y a ='===，解得1a =．4．选B ．解析：60kg 以频率为0.04050.01050.25⨯+⨯=，故人数为4000.25100⨯=（人）． 5．选C ．解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数3y x =，为增函数， 故A 是对；对于B 、D ，构造对数函数0.5log y x =为减函数，lg y x =为增函数，B 、D 都正确；对 于C ，构造指数函数0.75x y =，为减函数，故C 错．6．选A ．解析：()()1202012020101002a a S a a +==+=，故12010a a +=，615120a a a a =2120252a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭． 7．选D ．解析：这是一个横放的圆柱体，其底面半径12r =，高1h =，底面面积24S r ππ==底，侧面积2S rh ππ==侧，故322S S S π=+=侧表底．8．选B ．解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax +y =0并平移使之与过点C （34,32）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a >0，只能和AC 重合，∴a =19．选C ．解析：由点A 、点C 的横坐标可知4T π=，∴24T ππω==，12ω=，排除B 、D ，又点()0,1在图象上，代入()2sin 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭得12sin 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不成立，排除A ，只有C 合适．说明，本题得出的是最佳选项，由图象无法确定振幅的值．10．选B ．解析：(1)f x +是奇函数，即其的图象关于点(0,0)对称，将(1)f x +向右平移1个单位长度，得()f x ，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，由1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，知12120()()0x x f x f x ->⎧⎨-<⎩或1212()()0x x f x f x -<⎧⎨->⎩，()f x 为R 上的减函数；又将(1)0f =，不等式(1)0f x -<即(1)(1)f x f -<，有11x ->，故0x <.11．填12．解析：55111111sin 11666622f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．12．填3π．解析：()()a b c b c a +++-()()()223b c a b c a b c a bc +++-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，∴3A π=． 13．填27，1006．解析：（1）按框图，x 是公比为2的等比数列的项，y 是公差为-2的等差数列的项，当6y =-时，为第4项，这时x 是等比数列的第4项，即27t =；（2）n 是公差为2的等差数列的项，当2012n >时，最大的项数为1006，即输出),(y x 共1006组． 14．填sin ρθ=(2,)3π化为，过且平行于x轴的直线为y =sin ρθ=法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程sin ρθ=15．填4π．解析：由弦切角定理，PAC ABC ∠=∠，由120PAB ∠=︒，90CAB ∠=︒得30PAC ABC ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆中，22224R BC AC ===⨯=，4R =，2S R π==4π．三．解答题：16．（1）由已知{}31A x x =-<<，{}23B x x =-<<，…………………………2分设事件“x AB ∈”的概率为1P ，这是一个几何概型，则13162P ==。

2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数不等式的解法得到集合A，再由集合交集运算得到结果.【详解】故选：D【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于简单题.2.已知是虚数单位，复数，若，则（）A. 0B. 2C.D. 1【答案】A【解析】【分析】通过复数的除法运算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.【详解】，因为，，即，解得：0 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据分布列概率的性质得到m的值，再由均值公式得到结果.【详解】由，得，所以．故选：B【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.4.已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.【详解】，因为，所以，解得，当时，，所以向量与向量的夹角为．故选：D【点睛】这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.5.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.【详解】圆心C在抛物线上，设与直线相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA ＝CM＝R，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点．故选：B【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（ ）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（ ）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（ ）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（ ）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（ ）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（ ）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（ ）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（ ）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。

2019届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数不等式的解法得到集合A，再由集合交集运算得到结果.【详解】故选：D【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于简单题.2．已知是虚数单位，复数，若，则（）A．0 B．2 C．D．1【答案】A【解析】通过复数的除法运算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.【详解】，因为，，即，解得：0故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望（）A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】根据分布列概率的性质得到m的值，再由均值公式得到结果.【详解】由，得，所以．故选：B【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.4．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.【详解】，因为，所以，解得，当时，，所以向量与向量的夹角为．故选：D【点睛】这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.5．一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设圆和x轴相交于M点，根据圆的定义得到CA＝CM＝R，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M点为焦点.【详解】圆心C在抛物线上，设与直线相切的切点为A，与x轴交点为M，由抛物线的定义可知，CA＝CM＝R，直线为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点．故选：B【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。