判断二、三次多项式能否分解因式的方法小结

结束
在有理数范围内
判断二、三次多项式 能否分解因式的方法小结
老生常探
二次多项式的判断
对于一元二次多项式，可以根据多项式的形式，应用下 述方法判断。
二次项系数为 1 时，选择下列方法中的一种： 1、判别式法：与一元二次方程的判别式相同，求出 Δ 值，
如果＞0，并且是一个完全平方数；或者 ＝0；则可以分 解。如果＞0 但不是一个完全平方数，则不能分解（为整 系数因式）；如果＜0，也不能分解。 2、试根法：把常数项的所有因数都找出来【包括其相反数】 把每一个因数值代入原多项式，如果没有一个能够使得多 项式的值等于 0 ，则不能分解；如果有一个能够使得多项 式的值等于 0 ，则能分解，并且其中一个因式是 字母减 去这个因数；
例如：2x2＋7x＋3 二次项系数的所有因数：±1，±2； 常数项的所有因数： ±1，±3； 用 －1/2 和 －3 代入 2x2＋7x＋3 ，都＝0；所以原多项式能 分解；且 2x2＋7x＋3＝(2x＋1)(x＋3)
三个系数之积是奇数时，可以判定不能分解；如果是偶 数，则无法判断。 【适用范围局限】 例如：x2＋7x＋3 三个系数之积是21，奇数，不能分解； 用试根法验证：常数项的因数有：±1，±3； x＝1 时，多项式＝11； x＝－1 时，多项式＝3； x＝3 时，多项式＝33； x＝－3 时，多项式＝－9； 不能分解；判别式验证：Δ＝49－12＝37 不是平方数。
下面是三次项系数为 1 时的另外一种判断方法。
对于三次项系数为 1 的一元三次多项式 x3＋bx2＋cx＋d 如果有 bd＋cd 是一个奇数，则不能分解；如果是偶数，则 不能判断。
如： x3＋2x2＋3x＋5 bd＋cd＝25，可以确认不能分解； 用试根法验证：常数项的因数有：±1，±5； x＝1 时，多项式＝11； x＝－1 时，多项式＝3； x＝5 时，多项式＝195； x＝－5 时，多项式＝－85； 不能分解；
如： x3＋2x2＋8x＋7 ；常数项的因数有：±1，±7； x＝1 时，多项式＝18； x＝－1 时，多项式＝0； x3＋2x2＋8x＋7＝0 有整数解，原式能分解且有因式(x＋1)。
三次项系数不为 1 时： 第一步：写出三次项系数的所有因数【包括其相反数】 ； 第二步：写出常数项的所有因数【包括其相反数】 ； 第三步：用任意一个常数项的因数除以三次项系数的任意一
例如： a2－2a－35 1、判别式法：Δ＝4＋140＝144＝122
能够分解；【看不出因式】 2、试根法：常数项 35 的因数有 ±1、±35，±5、±7；把
其中的－5、＋7 代入 a2－2a－35 时，其值＝0；能够分解 且因式分别为：a＋5 和 a－7； a2－2a＋7 1、判别式法：Δ＝4－28＜0 ，不能够分解； 2、试根法：常数项 7 的因数有 ±1、±7；把其中的任意一 个 代入 a2－2a＋7 时，其值都≠0；不能够分解
二次项系数不为 1 时，优先使用判别式法： 与一元二次方程的判别式相同，求出 Δ 值，如果＞0，并且 是一个完全平方数，或者＝0，则可以分解；如果＞0 但不是 一个完全平方数，则不能分解（为整系数因式）；如果＜0 也不能分解。 例如： 2x2＋x＋3 判别式法：Δ＝1－24＜0，不能分解；
2x2＋7x＋3 判别式法：Δ＝49－24＝25＝52，能分解； 2x2＋7x＋3 ＝(2x＋1)(x＋3)
如： x3＋2x2＋3x＋4 bd＋cd＝20，但是不能分解； 用试根法验证：常数项的因数有：±1，±2，±4； x＝1 时，多项式＝10； x＝－1 时，多项式＝2； x＝2 时，多项式＝26； x＝－2 时，多项式＝－2； x＝4 时，多项式＝96； x＝－4 时，多项式＝－44； 不能分解；
如： x3＋2x2＋8x＋7 ； bd＋cd＝70，能分解； 用试根法验证：常数项的因数有：±1，±7； x＝1 时，多项式＝18； x＝－1 时，多项式＝0； 能分解，且有因式 (x＋1) ； x3＋2x2＋8x＋7 ＝ (x＋1)(x2＋x＋7)
个因数，并试其结果的相反数能不能使得多项式的值为 0 如果能则该多项式可以分解因式；并且其中一个因式是字 母减去这个因数【如果是分数因数，则 (x－b/a) 变形为 (ax－b)】 ； 如： 4x3－31x＋15 三次项系数的所有因数：±1，±2，±4； 常数项的所有因数： ±1，±3，±5 ，±15 ； 试验，把 1/2、－3、5/2 代入 4x3－31x＋15 都＝0 能分解，且 4x3－31x＋15＝(2x－1)(x＋3)(2x－5)
对于二元二次多项式，可以把第二个字母看做 1，使其 变形为一元二次多项式，再按照上述方法判断。
x2＋3xy＋2y2 把 y 看做 1，变形为 x2＋3x＋2， 1、判别式法：Δ＝9－8＝1＝12，能分解； 2、试根法：常数项 2 的因数有 ±1、±2；把其中的－1、
－2 代入 x2＋3x＋2 时，其值＝0；能够分解 且 x2＋3x＋2 ＝(x＋1)(x＋2) ； 所以：x2＋3xy＋2y2 ＝(x＋y)(x＋2y)
二次项系数不为 1 时，也可以应用试根法判断： 第一步：写出二次项系数的所有因数【包括其相反数】 ； 第二步：写出常数项的所有因数【包括其相反数】 ； 第三步：用任意一个常数项的因数除以二次项系数的任意一
个因数，并试其结果的相反数能不能使得多项式的值为 0 如果能【会有一对数能】则该多项式可以分解因式；并且 其中两个因式分别是字母减去这两个因数【如果是分数因 数，则 (x－b/a) 变形为 (ax－b)】； 例如：2x2＋x＋3 二次项系数的所有因数：±1，±2； 常数项的所有因数： ±1，±3； 用 ±1，±1/2, ±3，±3/2 代入 2x2＋x＋3 ，都≠0；所以原 多项式不能分解。
三次多项式的判断
试根法：三次项系数为 1 时，把常数项的所有因数都找 出来【包括其相反数】把每一个因数值代入原多项式，如果 没有一个能够使得多项式的值等于 0 ，则不能分解；如果有 一个能够使得多项式的值等于 0 ，则能分解，并且其中一个 因式是字母减去这个因数；
如： x3＋2x2＋3x＋5 ；常数项的因数有：±1，±5； x＝1 时，多项式＝11； x＝－1 时，多项式＝3； x＝5 时，多项式＝195； x＝－5 时，多项式＝－85； x3＋2x2＋3x＋5＝0 没有整数解，原式不能分解；来自百度文库