《传热学》第3章-非稳态导热

特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos

β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
θ0
θ0
θ0
对于短圆柱
θ (x,r,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (r,τ )
θ0
θ0
θ0
对于垂直六面体 θ (x, y,z,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ ) ⋅ θ (z,τ )
θ0
θ0
θ0
θ0
例题 2
v 一直径为600mm，长为1000mm的钢锭，初 温为30℃，然后置于1300℃的加热炉中。求 4小时后钢锭中心的温度。取 λ=40.5W/m.K, h=232W/m2.K, a=0.625×10-5 m2/s.
(θ w/θ m )x = 0.45 (θ m/θ0 ) y = 0.38
钢F=锭o y顶1=1角5δa温22τ2度.=10.722
×
10−5 × 0.352
4×
3600
=
0.85
(θ w/θ m ) y = 0.36
θ=Bw0i/z.θ4=m5h×=λδ0(3θ.3=w6/3θ×4m4800)×.2.x507⋅.(55θ==w/04θ..2m094) y4⋅5(5θ w/θm )z
θ θm
= θ θ0 θm θ0
=
cos
β1
x δ

=
f

Bi, x δ

只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
毕渥数Bi对温度分布的影响分析
(a) Bi→0:平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点 温度在任一时刻都趋于一致，只随时间而变化，变 化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。定向点 在无穷远处。
假设：厚度为2δ，导热系数λ、热扩
散率α为常数，无内热源，初始温度与
两侧流体相同，为t0。两侧流体温度突 然降低为tf，并保持不变，平壁表面与 流体间对流换热表面传热系数h为常
数。
考虑温度场的对称性，选取坐标系如 图，仅需讨论半个平壁的导热问题。
tf
tf
这是一维的非稳态导热问题。
1
无限大平板的非稳态导热β1Βιβλιοθήκη x δFo
=
aτ δ2
m
=
β
2 1
a δ2
正规状况阶段: Fo>0.2,
当平壁及其
即τ>τ’=0.2 δ2/a,平壁
边界条件给
内所有各点过余温度
定之后，m
的对数都随时间线性
为一常数 lnθ = −mτ + C(Bi,x δ )
变化，并且变化曲线 的斜率都相等 ----特 点1
非稳态导热正规状况阶段
传热学
第3章 非稳态导热
Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ)
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断 地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时 间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡
例如：热铁块投入凉水中
学习非稳态导热的目的：
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f (x, y, z,τ ) ; Φ = f(τ )
(c) 0<Bi<100，按一般情况处理。
2
课堂练习
v 有两块同样材料的平板A和B，A的厚度是B的两倍，从同一 高温炉中取出置于冷流体中淬火。流体与各表面间的对流换 热系数均可视为无限大。已知B中心点的过余温度下降到初 始温度的一半时需要20分钟，问A达到同样温度需要多少时 间？
θm =
2sin β1
(θ m/θ 0 ) z = 0.63
t = 0.04455θ + t Fwoz
=
aτ δ 32
=
0.722×10−5 × 0.m52
4
×
3600 ∞
=
0.416
= 0.04455× 0.0406θ0 + t∞
非稳态导热正规状况阶段
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e −β12 ⋅Fo
Bi = hδ λ
平壁中心x=0时
θm =
2sin β1
( ) e = −β12⋅Fo f Bi, Fo
Fo
=
aτ δ2
θ 0 β1 + sin β1 cos β1
cos
β1
x δ
e −β12 ⋅Fo
θm =
2sin β1
( ) e−β12⋅Fo = f Bi, Fo
θ0 β1 + sin β1 cos β1
θ θm
= θ θ0 θm θ0
=
cos
β1
x δ

=
f

Bi, x δ

非稳态导热的计算--诺模图
厚度为2δ的无限大平壁的中心平面温度
引进过余温度 θ = t − t∞ τ τ= =0, 0,θ =tθ=0 =t0t0 − t∞
∂∂θt ∂∂ττ
==aa∂∂∂∂x2xθ222t
x ==00, ,
∂t ∂=θ0 ∂x ∂x
=
0
采用分离变量法 得：
xx ==δδ, ,
−
λ−∂∂xλt
=∂hθ(t ∂x
=−
th∞ θ)
∑ ( ) θ x,τ
lnθ = −mτ + C(Bi,x δ )
两边对时间求导
1 ∂θ θ ∂τ
=
−m
=
−
β12
a δ2
m的物理意义是过余温度 对时间的相对变化率，单 位是 s-1,----冷却率（或加 热率）。
当Fo ≥ 0.2，物体的非稳态导热进入正规状况阶段 后，所有各点的冷却率或加热率m都相同，且不随 时间而变化，m的数值取决于物体的物性参数、几 何形状与尺寸大小以及表面传热系数 ----特点2
解：此钢锭为一短圆 柱，其温度可分解为无 限大平壁和圆柱之积 .
θ (x,r,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (r,τ )
θ0
θ0
θ0
例题2
先讨论厚度为2δ=1000mm的无限大平板：
Bi
=
hδ λ
=
232 × 0.5 = 2.86 40.5
F，o =
aτ δ2
=
0.625×10−5 × 4 × 3600 0.52
非稳态导热的计算--诺模图
计算时，可先根据已知条件 算出 1/Bi 和Fo的数值，由 图3-6查出平壁中心无量纲 过余温度θm/θ0,由θ0=t0-t∞ 算出θm,平壁中其他位置x处 的温度可由图3-7查出θ/θm, 从而算出θ,再算出t。
厚度为2δ的无限大平壁任意位置的温度
例题1
v 一无限大平壁厚度为0.5m，热物性参数λ=0.815W/m.K, c=0.839kJ/kg.K ,ρ=1500kg/m3,壁内初始温度均匀一致为 18℃，给定第三类边界条件：壁面两侧流体温度8℃，流体 与壁面的换热系数为 h=8.15W/m2.K。求6小时后平壁中心
m/θ 0
查图3-6得 查图3-7得
) z (θ m/θ 0 ) x = 0.17
=Bt=0mFiyo.01==x.07=h04λδ×δa.0210τ620=4=.033×64088.(47θ×20×2.000250.×3+−.5160t01=.∞3−225350×=2040×).3+06041020=0601.66
Fo
=
aτ R2
=
0.625×10−5 × 4 × 3600 0.32
= 1.0= 1168
例题3
v 钢2的δ锭加3=1的热0尺炉00寸中m为。m,2求初δ41温=小5为0时02后m0℃m钢，,锭2然δ最2后=低7置0和0于最m1m高2,0温0℃ 度。取 λ=40.5W/m.K, h=348W/m2.K, a=0.722×10-5 m2/s.
=
β1
+
2sin β1 sin β1 cos
β1
cos
β e −β12⋅Fo 1
= 3.8
tw = 3.8 + 8 = 11.8℃
3
几点说明
v 上述分析及图对平壁被加热的情况同样适 用；
v 上述结果也适用于一侧绝热、另一侧具有第 三类边界条件且厚度为的平壁；
v 线算图只适用于Fo ≥ 0.2的情况
第7次课结束
瞬态导热过程的特点
两个阶段：
（1）非正规状况阶段；
（2）正规状况阶段。
Φ1
Φ2
正规状况阶段的特点：
物体内初始温度分布消失，各 点的温度变化具有一定的规律。
对流边界条件下一维瞬态导热
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是 工程上常见的一维非稳态导热问题。
无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
工程上只要Bi≤0.1，就可以近似地按这种情况 处理，用集总参数法进行计算。
(b) Bi→∞：对流换热热阻趋于零，非稳态导热一 开始平壁表面温度就立即变为流体温度，相当于给 定了壁面温度，即给定了第一类边界条件，平壁内 部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。定向点 位于平壁表面上。当Bi>100时可近似按此处理。
Fo > 0.2
Bi = 2.5 β1 = 1.1347
=0.9064
θm =
2 sin β1
= 0.9 e−β12⋅Fo
θ0 β1 + sin β1 cos β1
θ m = 0.9θ0 = 0.9 × (18 − 8) = 9℃
0.4224
tm = θ m + t f = 9 + 8 = 17℃
θw θ0
θ0
=
∞ n =1
βn
2sin β n + sin β n cos β n
cos
β
n
x δ
e
−
β
2 n
⋅Fo

∑ θ
无限大平板的非稳态导热
(x,τ )
θ0
=
∞ n=1
βn
+
2sin β n sin βn cos
βn
cos
β
n
x δ
Fo =
e
−
β
2 n
⋅Fo

aτ δ2
超越方 程 的根
( ) e = −β12⋅Fo f Bi, Fo
θ 0 β1 + sin β1 cos β1
v 比较
Fo
=
aτ δ2
Fo A
=
aτ A δ A2
=
FoB
=
aτ B δB2
τA
=
δ
2 A
δ
2 B
τB
=
4× 20
=
80
min
非稳态导热的计算--诺模图
当Fo ≥ 0.2时
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2sin β1 + sin β1 cos β1
非稳态导热的导热微分方程式：
ρc ∂t = ∂ (λ ∂t ) + ∂ (λ ∂t ) + ∂ (λ ∂t ) + Φ& ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力 学模拟
tan β = Bi β
当Fo ≥ 0.2时，可取
毕渥数
Bi
=
hδ λ
=
(δ (1
λ) h)
傅里叶数
非稳态导热过程 的无量纲时间
( ) θ x,τ
θ0
= β1 + s2isnBδ/iiλ的nβ与物1β边c理1界o意处s义的β：对1物c流体o换s内热部热β的阻1 导δ1x/热h之热e比阻−β。12 ⋅Fo
及表面的温度。
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a= λ =
0.185
= 0.65 ×10−6 m 2 / s
ρc 1500 × 0.839 ×1000
Fo
=
aτ δ2
=
0.65×10−6 × 6 × 3600 0.252
= 0.22
Bi = hδ = 8.15 × 0.25 = 2.5
λ
0.815
例题1