《解三角形》测试题
一、选择题：
1．(2014·二中期中)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin B cos C ＋c sin B ·cos A ＝1
2
b ，且a >b ，则∠B ＝( )
A ．
π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
[答案] A
[解析] 因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，
所以sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝1
2
sin B ，
即sin(A ＋C )＝12，a >b ，所以A ＋C ＝5π6，B ＝π
6
，故选A ．
2．(文)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )
A ．4
B ．1
C ． 3
D ．2 [答案] C
[解析] 据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c 2＋(3c )2－23c 2
cos30°＝4，解得c ＝2，故S △ABC ＝1
2
×2×23×sin30°＝ 3.
3．(文)(2013·二检)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c
b 则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 [答案] A [解析] 依题意得 sin C sin B B 为钝角，△AB C 是钝角三角形，选A ． 4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知A ＝ π 3 ，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3－1 D ． 3 [答案] B [解析] 解法1：由正弦定理 a sin A ＝ b sin B 得， 3sin π3 ＝1sin B ， ∴sin B ＝1 2，故B ＝30°或150°. 由a >b 得A >B ，∴B ＝30°. 故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2，选B ． 解法2：由余弦定理知，3＝c 2＋1－2c cos π3 ， 即c 2－c －2＝0，∴c ＝2或－1(舍去)． 5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是1 2 ，AB ＝1，BC ＝2，则 AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 [解析] 由题意知S △ABC ＝1 2 AB ·BC ·sin B ， 即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×2 2 ＝1. 此时AC 2 ＋AB 2 ＝BC 2 ，△ABC 为直角三角形，不符合题意； 当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×? ?? ?? －22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B. [答案] B 6．△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，∠B ＝π6，∠C ＝π4 ，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 [解析] ∠A ＝π－(∠B ＋∠C )＝π－? ????π6＋π4＝7π 12， 由正弦定理得 a sin A ＝ b sin B ， 则a ＝b sin A sin B ＝2sin 7π 12sin π 6 ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×2 2＝3＋1. 答案：B 7．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2 ＋c 2，则角A 的取值围是( ) A.? ???? π2，π B.? ????π4，π2 C.? ????π3 ，π2 D. ? ?? ??0，π2 [解析] 因为a 2 ＜b 2 ＋c 2 ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＞0，所以∠A 为锐角，又因为 a ＞ b ＞ c ，所以∠A 为最大角，所以角A 的取值围是? ?? ??π3 ，π2. [答案] C 8．(文)(2013·东北三省四市二联)若满足条件AB ＝3，C ＝π 3 的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(2，2) [答案] C [解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则 3 2 ＝sin C ＝ AB sin C ＝2，故BC ＝2sin A ， 所以3 解法二：由条件知，BC sin π 3 <3 9．(2014·市调研)△ABC 各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋ c a ＋b ≥1， 则角A 的取值围是( ) A ．(0， π3] B ．(0，π6] C ．[π3，π) D ．[π 6 ，π) [答案] A [解析] 由 b a ＋c ＋ c a ＋b ≥1得：b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得： b 2 ＋c 2 －a 2 ≥bc ，同除以2bc 得，b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥1 2，因为0