电磁场与电磁波总结
第一章
一、矢量代数 A •
B =AB cos θ
A B
⨯=
AB
e AB sin θA
•
(B ⨯C ) = B
•
(C ⨯A ) =
C •(A ⨯B )
()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯
二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++l
e e e d x y z
矢量面元=++S
e e e x y z d dxdy dzdx dxdy
体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y
2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ
体积元dz d d dV
ϕρρ=
单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z
z z ρϕϕρ
ρϕ
3. 球坐标系
矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ+e ϕ r sin θd ϕ矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ
体积元ϕθθd drd r dV
sin 2=
单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r
r θϕ
θϕϕθ
三、矢量场的散度和旋度
1. 通量与散度
=⋅⎰A S
S
d Φ0
lim
∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S
v d div v
2. 环流量与旋度
=
⋅⎰
A l l
d Γmax
n 0
rot =lim
∆→⋅∆⎰A l
A e l
S d S
3. 计算公式
∂∂∂∇=
++∂∂∂⋅A y x z
A A A x y z
11()z
A A A z
ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=
++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=
++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ
θ
θθθθϕ
x y z
∂
∂∂
∇⨯=
∂∂∂e e e A x y z x y z
A A A 1z z z A A A ρϕ
ρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=
∂∂∂e e e A 21sin sin r r z
r r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂
∇⨯=∂∂∂e e e A
4. 矢量场的高斯定理（散度定理）与斯托克斯定理
⋅=∇⋅⎰
⎰A S A S
V d dV
⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S l
S
d d
四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度标量函数u 的梯度是矢量，其方向为u 变化率最大的方向
00()()lim
∆→-∂=∂∆l P u M u M u l
l 0
cos cos cos ∂∂∂∂=
++∂∂∂∂P u u u u
l
x y z
αβγ cos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂=
=+∂∂∂∂e e e +e n x y z
u u u u
u n x y z
2. 计算公式
∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x
y z u u u
u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u
u z
ρ
ϕρρϕ11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u u
u r r r z
θϕ
θθ 五、无散场与无旋场 1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A A 为无散场F 的矢量位
2. 无旋场()0∇⨯∇=u -u =∇F u 为无旋场F 的标量位
六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系
2222
2222222
2222222222
22
222222222
∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z
y y y x x x z z z x y z u u u u A A A x y z
A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z
，，
2. 圆柱坐标系
222
22
22222
2222
111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝
⎭A e e e z z u u u
u z
A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ
3. 球坐标系
22
222222
111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=+
+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u
u r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2
22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2
2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理
如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和
边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ
其中
1()()4''∇⋅'=
'-⎰F r r r r V dV φπ1
()
()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π
第二章
一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：
00
1
d =
=
V
q
dV ρεε⋅⎰
⎰
S
E S （高斯定理）0
∇⋅=
E ρε（高斯定理微分形式）
d 0⋅=⎰
l
E l 0∇⨯=E （无旋场） 场强计算：3
'
1'()(')'4'
V dV ρπε-=
-⎰
r r E r r r r
介质中：
d ⋅=⎰
D S S
q
d 0⋅=⎰
l
E l ∇⋅=D ρ0∇⨯=E
极化：0=+D E P εe 00(1)=+==D E E E r χεεεε
电介质中高斯定律的微分形式
表明电介质内任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体
密度，即D 的通量源是自由电荷，电位移线始于正自由电荷终于负自由电荷。
极化电荷面密度==⋅P e PS
n n P ρ极化电荷体密度=-∇⋅P P ρ
2. 恒定电场 电荷守恒定律：⎰
⎰
-=-
=⋅V
s
dv dt
d dt dq ds J ρ0∂∇⋅+
=∂J t
ρ 传导电流：=J
E σ
恒定电场方程：
d 0⋅=⎰
J S S
0∇⋅=J
3. 恒定磁场 真空中：
0 d ⋅=⎰
B l l
I μ（安培环路定理） d 0⋅=⎰S
B S
0∇⨯=B J μ0∇⋅=B
磁感应强度：0
3
()( )
()
d 4π ''⨯-'=
'
-⎰J r r r B r r r V
V μ 介质中：
d ⋅=⎰
H l l
I
d 0⋅=⎰
S
B S ∇⨯=H J 0∇⋅=B 磁化：0
=
-B
H M μm 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ
4. 电磁感应定律
() d d in l
C d
v B dl dt ⋅=-
⋅⨯⋅⎰
⎰⎰S
E l B S +）（法拉第电磁感应定律∂∇⨯=-
∂B E t
5.位移电流
时变条件下电流连续性防程：
∂∇⨯=+
∂D H J t
位移电流：d
=
D
J d dt
6. Maxwell Equations 及各式意义
d ()d d d d d 0∂⎧
⋅=+⋅⎪∂⎪
∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨
⎪
⋅=⎪⎪
⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l
S l S
S V S
l t
l t V d ρ 0∂⎧
∇⨯=+⎪∂⎪
∂⎪∇⨯=-⎨
∂⎪
∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩
D H J B
E D B t t ρ
二、边界条件
1. 一般形式
12121212()0()()()0
n n S
n S
n σρ⨯-=⨯-=→∞⋅-=⋅-=（）e E E e H H J e D D e B B
2. 理想导体界面和理想介质界面
111100⨯=⎧⎪
⨯=⎪⎨
⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n S n S n ρ12121212()0
()0
()0()0
⨯-=⎧⎪
⨯-=⎪⎨
⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第三章
一、静电场分析 1. 位函数方程与边界条件 位函数方程：ϕ=-∇E
1
()
()d 4πV V ρϕε'
'=
'-⎰
r r |r r |
220∇=-
∇=ρφφε
电位的边界条件：12
12
12=⎧⎪
⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s n
n φφφφεερ11
1=⎧⎪
⎨∂=-⎪∂⎩s const n
φφερ（媒质2为导体） 2. 电容
2211
⋅⋅===
⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E l E l
S S d d q C U d d ε
定义：=
q
C φ
两导体间的电容：=C q /U 任意双导体系统电容求解方法：
3. 静电场的能量
N 个导体：1
12n
e i i
i W q φ==∑连续分布：12
e
V
W dV φρ=⎰
电场能量密度：12
ω=
⋅D E e
二、恒定电场分析
1.
位函数微分方程与边界条件
位函数微分方程：2
0∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩n
n φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律 欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J V
P dV
3. 任意电阻的计算
2
2
11d d 1⋅⋅===
=⋅⋅⎰⎰⎰
⎰E l
E l J S E S S
S
U
R G I
d d σ（L R =σS ）
4.静电比拟法：G C —，σε—
2
21
1
⋅⋅==
=
⋅⋅⎰⎰⎰
⎰D S E S E l
E l
S S d d q
C U
d d ε2
2
1
1
d d d ⋅⋅==
=
⋅⋅⎰⎰⎰
⎰
J S E S
E l
E l
S S d I G U
σ
三、恒定磁场分析
1. 位函数微分方程与边界条件 矢量位：=∇⨯B A
()
()d 4π'
''=
'
-⎰J r A r r r V V μ 磁矢位的泊松方程2
∇=-A J μ 拉普拉斯方程
磁矢位边界条件12121
2
1
1
⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ(
)=∇-
∇=
标量位：2
0m φ∇=21122
1∂∂==∂∂m m m m n n
φφ
φφμμ 2.
电感
定义：d d ⋅⋅=
=
=
⎰⎰B S A l
S
l
L I
I
I
ψ
0=+i L L L
3. 恒定磁场的能量
N 个线圈：112
==∑N
m
j j j W I ψ连续分布：m 1
d 2=⋅⎰A J V W V 磁场能量密度：m 12ω=⋅H B
4、边值问题的类型
（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ
（2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值
()∂=∂f s n
φ
（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2
112()
()∂==∂f s f s n
φφ （4）自然边界：lim r r φ
→∞
=有限值
5、唯一性定理
静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
静电场的唯一性定理是镜像法和分离变量法的理论依据。
6、镜像法
根据唯一性定理，在不改变边界条件的前提下，引入等效电荷；空间的电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
选择镜像电荷应注意的问题：镜像电荷必须位于待求区域边界之外；镜像电荷(或电流)与实际电荷 (或电流)共同作用保持原边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
'q q =-二者对称分布
2. 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角,=
n n
π
α 为整数时，该角域中的点电荷将有
(2n －1)个镜像电荷。
3. 点电荷对接地导体球面的镜像
'=-a
q q d
，2=a b d
4. 点电荷对不接地导体球面的镜像
'-=a
q q d ，2=a b d
'''=-=a
q q q d
，位于球心
5. 电荷对电介质分界平面
q q 2121-
εεεε+-='，2
12
1εεε
ε+-=''q
期末复习提纲
1. 什么是标量与矢量?标量场，矢量场的性质.
2. 矢量加减运算及矢量与标量的乘法运算的几何意义是什么?
3. 梯度与方向导数的关系是什么?试述梯度的几何意义,写出梯度在直角坐标中的表示式. 4 .给出散度的定义及其在直角坐标中的表示式.
(,)
P r θ
5.试述散度的物理概念,散度值为正,负或零时分别表示什么意义?
6. 什么是无散场和无旋场?任何旋度场是否一定是无散的,任何梯度场是否一定是无旋的?
7.散度定理，斯托克斯定理及亥姆霍兹定理的描述及意义。
8.媒质的本构关系。
9.给出电位与电场强度的关系式，说明电位的物理意义。
10. 试述电流连续性原理。
11、自由电荷是否仅存于导体的表面
12、处于静电场中的任何导体是否一定是等位体
13. 麦克斯韦方程组及其意义。
14.一般情况及理想情况下边界条件。
15标量电位的满足的微分方程、边界条件及相关应用
16给出矢量磁位满足的微分方程式、边界条件及相关应用。
17、什么是磁化强度？它与磁化电流的关系如何？
18、试述介质中恒定磁场方程式及其物理意义。
19、什么是自感与互感？如何进行计算？
20.比拟法计算电容及电导。
21.镜像法
习题：p30 思考题：1.7-1.12
p31 1.1 1.8 1.12 1.16 1.17
P40 例2.2.1 P54 例2.4.1 P65 例2
P83 思考题2.4 2.6
P84 习题 2.7 2.9 2.10 2.15
P94 例3.1.3 P96 例3.1.4 P109 例3.2.2 P117 例3.3.3 3.3.4 3.3.5
P165 思考题3.1 3.2 3.3 3.4
P166 习题 3.1 3.2 3.4 3.5 3.7 3.11 3.18。
