解析法巧解中考压轴题
在平面几何题中，适当的建立直角坐标系，利用代数的方法解决几何问题，即解析法，有时会显得更简洁高效．现以近年中考压轴题为例，分析说明解析法之妙．
例1 （2013泰州）如图1，在矩形ABCD 中，点P 在边CD 上，且与C 、D 不重合，过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q ，连结PQ ，M 为PQ 中点．
若AD ＝10，AB ＝a ，DP ＝8，随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化．当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围．
分析 本题将矩形、三角形、动点、参数相结合，考察学生利用相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高，按照参考答案给出的解题思路，如图2所示，当点M 落在矩形ABCD 外部时，须满足的条件是“BE>MN ”．分别求出BE 与MN 的表达式，列不等式求解，即可求出a 的取值范围．
由△ADP ∽△ABQ ，解得QB ＝45
a ． 由△QBE ∽△QCP ，同样由比例关系得出BE ＝
()
28225a a a -+． 又因为MN 为QCP 的中位线，得出
MN ＝12PC ＝12
（a －8）． 再由BE>MN ，
即()28225
a a a -+()182
a >- 得出a> 12.5．
当点M 落在矩形ABCD 外部时，a 的取值范围为a>12.5．
这种解法不仅要想到添加辅助线，还两次运用了相似比，计算量大，易出错．比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题．
一如何建立合适、恰当的坐标系呢？通常需要考虑以下两点：
第一，让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字O ，可以起到简化运算的功效；
第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用．
解答 如图3所示，建立以B 点为原点，BC 方向为x 轴正半轴，BA 方向为y 轴正半轴的直角坐标系．
则A(0，a)，P(0，a －8)．
直线AP 的斜率为k AP ＝－45，
∴直线AQ为y＝5
4
x＋a，
直线AQ与x轴交于点Q，
∴Q(－4
5
a，0)．
又M为线段QP上的中点，
∴M（5－2
5
a，
2
a
－4）．
因为M点落在矩形ABCD的外部，所以M点在第二象限，
∴
3
50
5
40
2
a
a
⎧
-<
⎪⎪
⎨
⎪->
⎪⎩
解得a＞12.5．
这样，通过建立合适的直角坐标系，使图形上各点得到确定，让问题变得清晰明了，避免了运用相似而产生的复杂计算．
例2（2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB＝8．
问题思考：
如图4，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．
(1)分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
(2)如图5，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点D所经过的路径的长
(3)在第二问的情况下，求OM＋OB的最小值．
分析这是一道关于正方形的综合题，难度较大，解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式的运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点．但是，如果我们建立直角坐标系，用解析几何的方法就可以避开相似，省去很多不必要的麻烦．在第(1)问根据点的坐标，求
得PK＝a
2
8
a
-，进而求得DK＝PD－PK＝
2
8
a
，然后根据面积公式即可求得，第(2)(3)问涉及
点的运动轨迹，GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如图6所示；然后利用轴对称的性质，求出OM＋OB的最小值．
解答 (1)如图6所示，以A点为原点，AB方向
为x轴正半轴，AC方向为y轴正半轴，建立直角坐标系．
设AP＝a．
又P在M到N之间运动，
∴1≤a≤7．
∴a经过的路径是一条与AB平行的线段，长为3．
(3)如图7所示，作点M关于直线XY的对称点M'，连结BM'．
由轴对称性质可知，M'(1，8)，
由两点之间线段最短可知，此时OM＋OB＝BM'最小，
而BM'=
∴OM＋DB
综上所述，在以特殊图形为基础几何问题中，不要因变化多端的条件而搞乱思路，可以尝试用解析几何的方法去应对，有可能达到化繁为简的效果．
