第十章 模态综合方法

第十章模态综合方法

§10.1 模态综合法的基本原理

【为什么要使用模态综合法】

复杂结构自由度多，方程阶数高，计算成本大。

对整个结构用假设模态法分析难以实现。

大型复杂结构其主要部件可能在不同地区生产，由于条件限制，只能进行部件模态试验，无法进行整体结构的模态试验。

结构的响应只由低阶模态控制，不必为少数低阶模态去求解整个结构的高阶动力学方程。

【解决途径】

仿照有限元方法，先对各个局部子结构进行分析，然后再通过某种方法进行整体分析，具体讲就是对各子结构进行模态分析，按某种原则得到能恰当描述整个结构振动的“假设模态”，再按假设模态分析方法来求解整个结构的振动。

【模态综合法的基本思想】

按复杂结构的特点将其划分为若干子结构

对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验，得到子结构的分支模态。

对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换

对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标

通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换—独立坐标变换，消去不独立的模态坐标，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个结构运动的独立广义坐标，从而导出整个系统以独立模态坐标表示的动力学方程。

【模态综合法的实质】

采用子结构技术，来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，以此假

设模态作为李兹基底所张成的模态空间，可以很好地覆盖住系统真实的低阶模态空间。

模态综合方法是子结构方法中最成熟、应用最普遍的方法。

【例】 以两端固支梁分成两个子结构为例，来简要说明模态综合法的基本原理 将图示的梁结构分成两个子结构α、β，

其物理坐标集}{u 分成内部坐标集}{

u 和界面坐标集}{j u ，即

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=αααj i

u u u }{ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=βββj

i

u u u }{ （10－1） 界面位移连续条件：

}{}{βα

j j u u = （10－2）

结构动能

}]{[}{2

1}]{[}{21βββαααβαu m u u m u T T T T T &&&&+=+= （10－3） 结构势能

}]{[}{2

1}]{[}{21βββαααβαu k u u k u V V V T T +=+= （10－4） 假定已经选出了各子结构合适的模态矩阵][][βαφφ（下面各节中就专门讨

论][][βαφφ的求法），则有

}]{[}{}]{[}{βββαααφφp u p u == （10－5）

通常，][],[βαφφ的个数远少于对应子结构的自由度数。

记：

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=][00][][][00][][}{βαβαβαK K K M M M p p p （10－6） }{αu β} {

]

][[][][]

][[][][ββββααααϕϕϕϕm M m M T T == （10－7） ]

][[][][]

][[][][ββββααααϕϕϕϕk K k K T T == （10－8）

从而， }]{[}{21p M p T T &&= }]{[}{2

1p K p V T = （10－9） 当应用拉格朗日方程来建立振动方程时，由于拉格朗日方程要求各i p 相互

独立，而}{p 中有不独立的坐标。

{}{}

βββββαααααφφφφp u u p u u j i j i j i j i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ （10－10） 由对接位移条件（界面位移连续条件）：

}{}{βαj j u u =，有}]{[}]{[ββααφφp p j

j = （10－11） 写成约束方程的形式：

]][][[][0}]{[βα

φφj j C p C -== （10－12）

下面进行第二次坐标变换

将}{p 分块写成

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=I d p p p }{ （10－13）

则 }0{]][][[=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧I d dI dd p p C C （10－14） }]{[][}{1I dI dd d p C C p --= （10－15）

}]{[}{][][][}{1q S p I C C p I dI dd =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=- （10－16） ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=-][][][][1I C C S dI dd （10－17） ][S 称为独立坐标变换矩阵。

从而

}]{[}{2

1}]{[}{21q K q V q M q T T T ==&& （10－18） ]][[][][]][[][][S K S K S M S M T T == （10－19）

由拉格朗日方程可得整个梁结构通过模态综合后的自由振动方程为：

}0{}]{[}]{[=+q K q M && （10－20）

相应的广义特征值问题为：

}0{}]){[]([2=-ψωM K （10－21）

其阶数为所有子结构分支模态总数减去界面对接坐标数。对其进行求解，就

可以得到整个梁结构的动力学特性。

对于一般动力学方程，也可以进行上述的变换过程，得到缩减了自由度的动

力学方程：

)}({}]{[}]{[}]{[t F q K q C q M =++&&& （10－22）

其中：

]][[][][S C S C T = （10－23）

)}({][)}({t P S t F T = （10－24）

在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐

标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的量。

对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它

不仅指结构做主振动时的振型，而且还包括了结构在一些特定的外力或者结点位移作用下产生的静变形形态，这些静变形形态被认为是在整个结构振动时，各子结构可能产生的变形形态。而“振型”则是一个狭义的概念，表示结构作主振动时的变形形式。

【模态综合法的基本步骤】