《完全平方公式与平方差公式》教学设计
第1课时完全平方公式
一、情境导入 计算：
⑴(x + 1)2; (2)(x - 1)2
； (3)(a + b)2;
(4)(a -b)2
.
由上述计算，你发现了什么结论? 二、合作探究
探究点：完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
B 利用完全平方公式计算： (1) (5 - a)2
； (2) (-3m -4n)2; (3) ( -3a + b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.
1能根据多项式的乘法推导出完全平方公式; 2.理解并掌握完全平方公式，并能进行计算.
(重点) (重点、难点)
解：(1)(5-a)2= 25- 10a + a2;
(2)(—3m—4n)2= 9m2+ 24mn+ 16n2;
(3)(—3a + b)2= 9a2—6ab + b2.
方法总结：完全平方公式：(a±))2= a2±2ab + b2.可巧记为“首平方,
末平方，首末两倍中间放”.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
B如果36x2+(m+ 1)xy + 25『是一个完全平方式，求m的值.
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值.
解：T 36x2+ (m+ 1)xy+ 25y2= (6x)2+ (m+ 1)xy+ (5y)2，二(m + 1)xy= 士2 • 6x • 5y,「. m+ 1 = ± 60,—m= 59 或一61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】运用完全平方公式进行简便计算
(1)992；(2)1022.
解析：(1)把99写成(100—1)的形式，然后利用完全平方公式展开计
算.(2)可把102分成100+ 2,然后根据完全平方公式计算.
解：(1)992= (100—1)2= 1002—2X 100+ 12= 100 00- 200 + 1 = 9801;
(2)1022= (100 + 2)2= 1002+ 2X 100X 2+ 4= 10404.
方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成
整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 13题 【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值
1 1
(1) 求X 2+7的值；
X y (2) 求(x 2
+ 1)(/ + 1)的值.
解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代 入，即可求出答案.
解：(1) •/ (x +y)2
= 9, (x — y)2
= 1,二x 2
+2xy + y 2
= 9, x 2
— 2xy + y 2
=
1,
1 1 x 2
+ y 2
(x + y ) 2
— 2xy 9— 2X 2 5
4xy = 9—1 = 8,二xy = 2
,二护+ y ^= ~x^ = xT =
2
2
=
4；
(2) •/ (x + y)2
= 9, xy = 2,二(x 2
+ 1)(/ + 1) = x 2
y 2
+ y 2
+/+ 1 = x 2y 2
+ (x + y)2— 2xy + 1 = 22
+ 9—2X 2 + 1 = 10.
方法总结：所求的展开式中都含有xy 或x + y 时，我们可以把它们看 作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9题
【类型五】完全平方公式的几何背景
图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释
(a + b)2
— (a —
b)2
=4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是 ( )
[W1 若(x + y)2= 9,且(x —y)2 = 1.
[1 15 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的
图甲
图乙
A. a 2— b 2
= (a + b)(a — b) B. (a — b)(a + 2b) = a 2
+ ab —2b 2
C. (a — b)2
= a 2
— 2ab + b 2 D. (a + b)2
= a 2
+ 2ab + b 2
解析：空白部分的面积为(a — b)2
，还可以表示为a 2
— 2ab + b 2
，所以, 此等式是(a —b)2
= a 2
— 2ab + b 2
.故选 C.
方法总结： 通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几 何解释.
变式训练： 见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 7题 【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题
D 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如
(a
+ b)n
(n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出 (a +
b)6
展开式中所缺的系数.
(a + b)1
= a + b ,
(a + b)2
= a 2
+ 2ab + b 2
,
33
2
2
3
(a + b)3
= a 3
+ 3a 2
b + 3ab 2
+ b 3
,
则(a + b)6
= a 6
+ 6a 5
b + 15a 4b 2
+ _________ ^3
b 3
+ 15a 2b 4
+ 6ab 5
+ b 6
. 解析：由(a + b)1
= a + b , (a + b)2
= a 2
+ 2ab + b 2
, (a + b)3
= a 3
+ 3a 2
b +
3ab 2 + b 3可得(a + b)n
的各项展开式的系数除首尾两项都是 1夕卜，其余各项 系数都
等于(a + b)n -1
的相邻两个系数的和，由此可得(a + b)4
的各项系数依 次为1、4、6、
4、1; (a + b)5的各项系数依次为1、5
、10、10、5、1;因 此(a + b)6
的系数分别为
1
