数学·选修4－5(人教A版)
1.1不等式
1.1.2 基本不等式
一层练习
1．设x,y∈R,且x＋y＝5,则3x＋3y的最小值为( ) A．10 B．6 3
C．4 6 D．18 3
答案：D
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋1
4
)>lg x(x>0)
B．sin x＋1
sin x
≥2(x≠kπ,k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.1
x2＋1>1(x∈R)
不等式和绝对值不等式
解析：应用基本不等式：x ,y ∈R ＋,
x ＋y 2
≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分
析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当x >0时,x 2＋14≥2·x ·12＝x ,所以lg x 2＋1
4≥lg x (x >0),故选项A 不正确；运用
基本不等式时需保证一正二定三相等,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确；由基本不等式可知,选项C 正确；当x ＝0时,有1
x 2
＋1
＝1,故选项D 不正确．
答案：C
3．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b
>2ab
D.b a ＋a b
≥2
解析：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0,∴A 错误． 对于B,C,当a <0时,b <0时,明显错误． 对于D,∵ab >0,∴b a ＋a b ≥2b a ·a
b
＝2. 答案：D
二层练习
4．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0]
C ．[－2,＋∞) D．(－∞,－2]
解析：利用基本不等式转化为关于x ＋y 的不等式,求解不等式即可． ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ,2x ＋2y ＝1, ∴22x ＋y ≤1, ∴2x ＋y ≤1
4＝2－2,
∴x ＋y ≤－2,
即(x ＋y )∈(－∞,－2]． 答案：D
5．(2013·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2
－3xy ＋4y 2
－z ＝0,则当z
xy
取得最小值
时．x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.9
4
解析：含三个参数x ,y ,z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ,y ,z ∈R ＋),
∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y
x
－3＝1. 当且仅当x y ＝4y
x ,即x ＝2y 时“＝”成立,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝
2y 2,
∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时,x ＋2y －z 取最大值2. 答案：C
6．(2013·山东卷)设正实数x 、y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当xy
z
取得最大值时,2x ＋1y －2
z
的最大值为( )
A ．0
B ．1. C.9
4
D ．3
解析：含三个参数x ,y ,z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0,y >0,z >0), ∴
xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x
－3≤14－3
＝1. 当且仅当x y ＝
4y
x
,即x ＝2y 时等号成立,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝
2y 2,∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
1y －12＋1,∴当y ＝1时,2x ＋1y －2z 的
最大值为1. 答案：B
7．已知a >0,b >0,a ＋b ＝2,则y ＝1a ＋4
b
的最小值是( )
A.72 B ．4 C.9
2 D ．5
解析：∵a ＋b ＝2,∴
a ＋b
2＝1,∴1a ＋4b ＝1a ＋4b ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥5
2
＋2
2a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭
⎪⎫
当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立,故y ＝1a ＋4b 的最小值
为9
2. 答案：C
8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2,b >0,则12|a |＋|a |
b 的最小值为________．
解析：分a >0和a <0,去掉绝对值符号,用均值不等式求解． 当a >0时,
12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4a ＋a b ≥54
； 当a <0时,12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋⎝
⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－1
4
＋1＝3
4
. 综上所述,12|a |＋|a |b 的最小值是3
4.
答案：3
4
