课题：20.5等腰梯形的判定
教学目标：
1、探究等腰梯形的几种判定方法。
2、能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的证明和计算。
3、通过添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形或三角形问题,体会
图形变换的方法和转化思想。
教学重点：
能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的证明和计算
教学难点：
通过添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形或三角形问题,体会
图形变换的方法和转化思想
想一想（画图说明）
1我们在前面学过了梯形，那么什么样的图形叫梯形？
2.什么又叫等腰梯形呢？
3.等腰梯形有那些性质？
前几节课的探索方法，我们可以构造这三个性质的逆命题，只要我们能证明逆命题是真命题，那么这个逆命题就成了判定定理。
(1) 等腰梯形的两腰相等的逆命题是：
__________________________________
题设：
结论：
符号表示：
∵ AD∥BC，AB=DC
∴ ____________________________ (2) 等腰梯形同一底上的两个角相等的逆命题是:
________________________________________________ 题设：
结论：
已知：
求证：
（3）等腰梯形的两条对角线相等的逆命题是：
________________________________________________ 题设：
结论：
已知：
求证：
(4) 等腰梯形还是______对称图形，它有_____条
对称轴，是上下底______所在直线。
自主探究
预习
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
1、 已知：矩形ABCD 中，点E 、F 在
边AD 上，AE=FD 。求证：四边形EBCF 等腰梯形。 2、
2、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ∠1=∠2。 求证：四边形ABCD 是等腰梯形。
1．等腰梯形的判定方法有哪些？
2.一组对角互补的梯形是等腰梯形吗？
如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，
给出条件：∠A 与∠C 互补
A
C
D
B
结论:___________________ 等腰梯形。
3.梯形问题中常用的辅助线作法有哪些？
1）平移一腰 2、作底边上的两条高
3、平移对角线 B
C D B C
1、抢答题 判断正误：
（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. ( ) （2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. ( )
（3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形.( ) （4）对角互补的梯形一定是等腰梯形.( )
(5)有两个内角是70度的梯形一定是等腰梯形 .( ) 2、下列说法中，错误的是（ ）
A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形
B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形
C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形
D.同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 3、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 是DC 的中点，且AM=BM ，梯形ABCD 是等腰梯 吗？
作业：1. P122,习题20.5 1、2、3.
2. 观察、收集生活中运用等腰梯形的例子
巩固达标
合作交流（议一议，练一练）
精讲释疑
E
A B C
D
E
A E F D
B C
A D
B C
1
2
A B C
D
E D
E
A 4、延长两腰
精品文档 梯形、等腰梯形及其性质、判定 第1题. （2007北京课标，5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高． 答案：解：作DF BC ⊥于点F ． 因为AD BC ∥，所以12∠=∠． 因为AB AD =，所以23∠=∠． 所以13∠=∠． 又因为AB DC =，60C ∠=o ， 所以11133022 ABC C ∠=∠=∠=∠=o ． 又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==． 在Rt CDF △ 中，由正弦定义，可得DF = 所以梯形ABCD 第2题. (2007福建福州课改,3分)下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 答案：Ｂ 第3题. (2007福建福州课改,4分)如图，45AOB ∠=o ，过OA 上到点O 的距离分别为1357911L ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标 出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S L ，，，， ）写出第10个黑色梯形的面积10S = ． 答案：76 第4题. （2007福建三明课改，4分）用含30o 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平 行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 答案：B B C B C
精品文档 第5题. （2007甘肃兰州课改，4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 答案：Ｄ 第6题. （2007广东河池非课改，2分）已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．答案：5＜a ＜9 第7题. （2007广西玉林课改，2分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=o ，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与 CE 相交于P ，则DPE ∠= ． 答案：120o 第8题. （2007湖南郴州课改，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN 答案：因为AD ∥BC ，AB =DC ，所以B C ∠=∠ 因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=? 在Rt △BME 和Rt △CNE 中， BME CNE B C BE CE ∠=∠??∠=∠??=? ，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE 所以EM ＝EN 第9题. （2007河南课改，3分）如图，在直角梯形ABCD 中， 1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cm CD =，则BC = cm ． 第10题. （2007湖北十堰课改，3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 答案：Ｃ E N M D C B A B C D A A B D F E
1.4 等腰梯形的性质和判定(1) [ 教案] 班级 姓名 学号 九年级数学备课组 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质和判定。 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质和判定。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 1.什么叫梯形 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 2.两种特殊的梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等; 二、等腰梯形的判定： 1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可 以从不同角度着手证明。 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 三、等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 E D C B A D C B A
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 四、典型示例： 1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB 求证：四边形ABFE 是等腰梯形； 2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长 和∠D 的度数. 3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=2 1（BC-AD ） 4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形． 五、巩固练习 1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ） A.等腰梯形 B.直角梯形 C.平行四边形 D.不能确定 2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135° 3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对. 4.梯形的上底长为 5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______. 5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______. 6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______. 7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______. 8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证： PA=PD B C A M D A D C B P
梯形的定义及性质 一、学习目标： 1.认识梯形、等腰梯形、直角梯形，掌握它们的定义和特征。 2、会运用梯形、等腰梯形、直角梯形的概念以及特征解决有关问题。 三、学习过程 （一）学习新课 1、阅读书本106--107页并填空： （1）梯形： 的四边形叫做梯形。 （2）等腰梯形：两腰______的梯形是等腰梯形。 ∵梯形ABCD 中，AB___CD ∴梯形ABCD 是_____ __ （3）直角梯形：有一个角是_______的梯形是直角梯形。 ∵梯形ABCD 中，∠B=____ ∴梯形ABCD 是____ ___ 2、小组讨论并完成练习： （1）观察右图：等腰梯形是 图形，它的对称轴有___条, 请在图中画出它的对称轴。 （2）已知：梯形ABCD 中，AB ＝DC ，则梯形ABCD 的四个内角之间存 在什么关系？请说明理由。 你观察到的结论： 理由：(观察下图1和图2，选择其中之一对上述结论进行证明) （3）在图中画出等腰梯形的对角线AC 与BD ，请问AC 与BD 之间存在什么关系？你能说明理由吗？关系： 。 理由： 3、归纳：等腰梯形的特征： （1）等腰梯形同一底上的两个底角 。 几何语言：∵梯形ABCD 中，AB ＝DC ， ∴∠ ＝∠ ，∠ ＝∠ 。 （2）等腰梯形的两条对角线 。 几何语言：∵梯形ABCD 中，AB ＝DC ， ∴ ＝ 。 C A D B C C 图1 C C E C B 图 1 F E C B 图2
例题1：延长等腰梯形ABCD 的腰BA 与CD ，使它们相交于点E ， 求证：△EBC 和△EAD 都是等腰三角形。 （二）课堂练习： 1、判断题：已知：梯形ABCD 中，AB ＝DC ，以下说法正确吗？ （1）∠A ＋∠B ＝180°（ ） （2）∠B ＝∠D （ ） （3）∠B ＋∠C ＝180°（ ） （4）∠A ＋∠C ＝180°（ ） 2、已知等腰梯形ABCD ，AC=8，则BD=_____。 3、已知直角梯形ABCD 中，上底AD=4，下底BC=6，高为3，则直角梯形的面积是 。 4、如图，梯形ABCD 中，若AD ＝BC ，∠A ＝60°，DB ⊥AD ，则∠ABC ＝ ，∠C ＝ ，∠DBC =_____ 5、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,BE ∥AD ，∠D=80°,∠C=50°，若AB=4cm,CD=7cm ，则EC=____，∠CBE=_____,腰AD 的长为_____ 6、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=DC ，∠B=60°，DE ∥AB,AB=8,则∠DEC=____,DE=____, DC=____，△CDE 的周长为______ 7、直角梯形ABCD 中，∠B=90°，∠C=45° DE ⊥BC ，AB=3cm ,则EC=_____，若AD=4cm ，CD=6cm ，则直角梯形的周长_____ 第4题 第5题 第6题 第7题 8、如图，等腰梯形ABCD 中，∠B ＝60°，DE 是高，AD ＝6，则∠C ＝ ， ∠ADE ＝ ，BC ＝ 。 9、如右图，在直角梯形ABCD 中，DE ⊥BC 于E ，AB ＝4，AD ＝3，腰CD 与BC 的夹角是45°，则DE ＝ ，CE ＝ ，BE ＝ ，直角梯形ABCD 的 面积是 。 第8题 第9题 10、在等腰梯形ABCD 中，CE ∥DA ，AB ＝8，DC ＝5，AD ＝6，求△CEB 的周长。 11、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ∥CB ，△AED 的周长为18，EB ＝4，求梯形的周长。 12、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠1=∠C ，AD=5，且它的周长为29，⊿ABE 的周长是多 少？ E B C D E E D C B E C A E 第 B B E B
梯形及多边形的性质及证明（导学案） 一、知识过关 1. 梯形的定义：________________________________________． 2. 等腰梯形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________． 3. 梯形的中位线：______________________________________． 4. 梯形中位线定理：_____________________________________ ___________________________________________________． 5. 四边形中的中点 6. 中心对称图形：_______________________________________ ___________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于_________________；外角和等于_____． 9. 平面图形的镶嵌： ___________________________________________________ ___________________________________________________． 二、精讲精练 1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的 是（ ） A ．AC =BD B ．∠OB C =∠OCB C ．S △AOB =S △DOC D ．∠BCD =∠BDC 等腰梯形 A C D B 直角梯形D A C B C A D B F E D C B A
《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》教案 教学目标： 知识目标：理解和掌握等腰梯形的性质定理的内容及简单的应用； 能力目标：通过动手操作，探索等腰梯形的性质及其证明方法，初步培养学生探索问题和研究问题的能力； 情感目标：营造一个相互协作的课堂气氛，引领学生自主探究、集体讨论，激发学生的学习热情； 教学重点与难点： 1、等腰梯形性质的探究及证明； 2、等腰梯形性质定理的简单应用。 教学过程： 1、复习旧知，引入新课 填空（1）的四边形是平行四边形； （2）的四边形是平行四边形； （3）的四边形是平行四边形； （4）的四边形是平行四边形； （5）的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； 用举反例的方法举出有一组对边平行，一组对边相等但并不是平行四边形的图形即等腰梯形，从而由这个错误的判定引出梯形、等腰梯形、直角梯形的定义；我们这节课就来研究等腰梯形的性质。 2、自主探索、提出猜想 把学生分成以四个人一组的若干小组，提供给每个小组一个等腰梯形的模型，让同学们用各种数学工具通过各种数学方法，如翻折、旋转等来探索等腰梯形有哪些性质？ 同学们可能会得出下面一些结论： （1）两腰相等； （2）两个底角相等； （3）等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； （4）两条对角线相等； …………
3、交流反馈、共同论证 结论（1）由等腰梯形的定义可以得到而不用证明；结论（2）的证明探索： 的两种思路：） 一是把两个角转化到同一个三角形中，用“等边对等角 二是把两个角转化到两个全等三角形中，用“全等三角形的对应角相等”证明； 完善结论后得到： 等腰梯形的性质定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。 结论（3 ）： 观察翻折、旋转的动画演示后，由轴对称图形和中心对称图形的定义可以直接得到： 等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴。 等腰梯形不是中心对称图形！ 结论（4）的证明可以让学生独立完成，请一个同学上黑板板书，其他同学自己在课堂练习本上完 C E C C C F
课 题. 等腰梯形的性质 教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理 2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。 3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推 理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。 4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。 教学重点：等腰梯形的性质 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程： 创设情境： 我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探 索得到等腰梯形的性质。现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。 新知探索： 一、引人新课： 1、_______________________________的图形叫做等腰梯形? 2、____________相等的_______________叫做等腰梯形; 二 等腰梯形的性质： 定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 2、定理的证明： 已知： 求证： 分析：本题可以从以下的三个角度着手证明（附三种方法的图形）。 证法一： 证法二： 证法三： 3、定理的书写格式： 如图，∵______________________________ ∴______________________________ 本节小结： 本节课你有什么收获（先小组讨论，然后推举代表回答）： ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 本节作业 1、 E D C B A D C B A D C B A E D C B A F E D C B A E D C B A
三角形基本概念与性质 一、考点梳理 1、 三角形的边、角关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°. （3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和. 2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. （1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离 相等. （3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 3、等腰三角形 性质：（1）两底角相等(等边对等角). (2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一) (2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 4、多边形的内角和等于()01802?-n ，多边形的外角和等于360° 二、课堂精讲 5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）. A ． 5 B ． 6 C ．11 D ． 16 6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）. A ．1cm ，2cm ，4cm B ．4cm ，6cm ，8cm C ．5cm ，6cm ，12cm D ．2cm ，3cm ，5cm 7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）. A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________ 11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ） A ．120o B ．135o C ．140o D ．144o 12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或20 A M N B C 图1
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明配套练习 1.下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 2.用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直 角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ） A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③ 3.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．矩形 Ｄ．菱形 4.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ． 5.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠= ，AD AB =．点 E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠= 6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．梯形 D ．平行四边形 7. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC = Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF = 8.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形 9. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ） A ．矩形或等腰梯形 B ．矩形或平行四边形 C ．平行四边形或等腰梯形 D ．矩形或等腰梯形或平行四边形 10.在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ） A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s 11.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E 连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形． A C D F E A D E C B A D C B E A B Q
1 三角形的有关概念和性质的复习 回顾：1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ??? ??钝角三角形 直角三角形锐角三角形 ???????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 考点1：三角形中三条重要的线段 1. 三角形的高是 线段（填“直线”、“射线”、“线段”） 2. 有两条高在三角形内部的三角形是 钝角三角形 3. 三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点，则此三角形是 直角三角形 4. AD 是ABC ?的中线，ABD ?的周长比ADC ?的周长大4，则AB 与AC 的差为 4 5. 三角形的三条高线的交点在三角形的外部，则此三角形是 钝角三角形 【例1】 如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线. (1)∠ADC ＝ ∠ADD ＝90°； (2)∠CAE ＝ ∠BAE ＝1 2 ∠CAB ； (3) CF= BF = 12 BC ； (4) S △ABC = 1 2 BC ·AD ． 【例2】 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE 、AD ， 若S ABC △＝24cm 2 ,求△DEC 的面积. 6 小结1： 1、三角形的高、中线、角平分线都是 线段 ，其中中线和角平分线都在三角形的 内部 ； 2、钝角三角形的高有两条在三角形的外部，一条在内部； 直角三角形的高有两条在三角形的边上，一条在内部； 3、三角形具有 稳定性 性。 考点2：三角形边与边的关系 例3：两根木棒的长已知三角形的三边长分别为3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有（D ） 三角形 (按角分) 三角形 (按边分) A D C B E
《等腰梯形》基础训练 姓名 班级 学号 成绩 【知识要点】 1、等腰梯形的性质定理和判定定理，并能应用进行计算和证明； 2、通过添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化成三角形、平行四边形等熟知的几何图形来解决问题； 3、方法：梯形问题一般通过添加平行线，或作高，将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形的问题来解决的． 等腰梯形性质： ⑴边： ；⑵角： ； ⑶对角线： ；(3)对称性：___________________________. 等腰梯形判定： ⑴定义： ； ⑵角： ； ⑶对角线： ； 一．填空题 (3分×10 = 30分) 1．等腰梯形的上、下底长分别为6、8， 且有一个角是60°， 则它的腰长为 ． 2．如果等腰梯形的高等于腰长的一半，则它的四个角分别等于 ． 3．已知等腰梯形的上、下底长分别为2㎝和6㎝，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 ． 4．若梯形面积为144，且两底的比为4:5，高为16，则梯形的上、下底分别为 ． 5．直角梯形的高为6㎝，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别为_____ _____㎝． 6．如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，∠B =60°，AC ⊥AB ，则∠D = _ __°，∠ACD =_________°． 7．如图2，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，DE ∥AB ，DE =DC ，∠A=100°，∠EDC =_______°． 图1 图2 图3 8．如图3，在等腰梯形ABCD 中，相等的线段共有 对． B A D C E B A D C B D C A
9．等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别是15㎝、49㎝，则腰为=㎝．10．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12，BC=10，AD=5，则CD= ．二．选择题(3分×6 = 18分) 1．有两个角相等的梯形是( ) （A）等腰梯形（B）直角梯形（C）一般梯形（D）直角梯形或等腰梯形2．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BD，则四边形ABCD中( ) （A）平行四边形（B）等腰梯形（C）矩形（D）等腰梯形或矩形3．下列命题正确的是( ) （A）凡是梯形对角线都相等 （B）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 （C）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （D）只有两个角相等的梯形是等腰梯形 4．已知梯形的中位线长为24㎝，上、下底的比为1:3，则梯形的上、下底之差是( ) （A）24㎝（B）12㎝（C）36㎝（D）48㎝ 5．已知梯形的两个对角分别是78°和120°，则另两个角分别是( ) （A）78°或120°（B）102°或60°（C）120°或78°（D）60°或120° 6．下列关于等腰梯形的判断，正确的是( ) （A）两底相等（B）同底上的两底角互补 （C）每两个角相等（D）对角线交点在对称轴上 三．解答题(6分×6 + 8分×2 = 52分) 1．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD与CD的长度分别为a和b． （1）求AB的长．（2）若AD⊥AB于点A，求梯形的面积．
等腰梯形的性质专项练习30题（有答案） 1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=2，AB=6，∠B=60°，求下底BC的长． 2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数． 3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长． 4．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使BF=CD．求∠CAF的度数． 5．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=8，∠C=60°，求AB的长． 6．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD交于M，AB=2，CD=4，∠CMD=90°，求：BD的长． 7．如图，在等腰梯形△ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，BD⊥AD． （1）求∠A的度数． （2）设AD=2cm，求梯形ABCD的面积． 等腰梯形的性质---- 1
等腰梯形的性质--- 2 8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=60°．AE ⊥BC 于E ；EF ⊥CD 于F ，点F 是CD 的中点．求证：AD=BE ． 9．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB=CD ，AE ⊥BC 于E ，∠B=60°，∠DAC=45°， ，求梯 形ABCD 的周长？ 10．如图示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，中位线长为5cm ，高为2cm ，求梯形底边BC 的长及梯形的面积． 11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=6cm ，BD ⊥CD 于D ，∠C=60°． （1）求∠DBC 的度数； （2）求AD 的长． 12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2AD ，梯形周长为40，对角线BD 平分∠ABC ，求梯形的腰长及两底边的长． 13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，已知AD=5cm ，BC=9cm ， 求等腰梯形ABCD 的周长．
教学过程 一、复习预习 二、知识讲解 考点/易错点1 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. S S ABE ?? 基础。 考点/易错点2 三角形边角关系、性质的应用 三、例题精析 【例题1】 【题干】锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020?<
又∠C ＝2∠B ，∴?<?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ，即∠B >?30 ∴?<
课题等腰梯形的性质和判定日期 教学目标1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念 2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养 学生的分析能力和计算能力． 3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生 体会图形变换的方法和转化的思想 重难点教学重点：等腰梯形的性质和判定． 教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教 法 小组讨论，引导发现、练习巩固 角色教师活动学生活动 备 注 教学过程一、【复习提问】 1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯 形？ 2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？ 3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅 助线有哪几种？ 我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是 否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题． 二、【引人新课】 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形． 例1已知：如图，在梯形中，， ，求证： （1）如图，过点作、，交于，得 ，所以得． （2）作高、，通过证推 出． 与老师共同讨论 解决。 引导学 生口述 证明方 法，然 后利用 投影仪 出示三 种证明 方法 A B C D
教学过程（3）分别延长、交于点，则与 都是等腰三角形，所以可得. 由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两 个角相等． 例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等． 已知：在梯形中，，，求 证：． 分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出 ，然后再利用，即可得出 ． 解决梯形问题常用的方法 在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作 交于，从而把梯形问题转化成三角形来解， 实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法 叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法 之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形． （4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形． 我们学过“如果一个 三角形中有两个角 相等，那么它们所对 的边相等．”因此， 我们只要能将等腰 梯形同一底上的两 个角转化为等腰三 角形的两个底角，定 理就容易证明了． 让学生想一想，还可 以用什么样的方法 作辅助线来解决梯 形问题，多找几名学 生回答，然后教师总 结，可借助多媒体演 示见图）． 解决梯形 问题的基 本思想和 方法就是 通过添加 适当的辅 助线，把 梯形问题 转化为已 经熟悉的 平行四边 形和三角 形问题来 解决．
全等三角形的概念和性质（基础） 【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. ； 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. { 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. & 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.
梯形的性质及判定 、知识提要 1. 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形; 等腰梯形：两腰相 等的梯形叫做等腰梯形； 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形. 2. 等腰梯形性质 ①等腰梯形同一底上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等. 3. 等腰梯形判定 ①两腰相等的梯形叫做等腰梯形；； ②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； ③对角线相等的梯形是等腰梯形. 4. 重心 线段的重心就是线段的中点；平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点； 三角形的重心就是三角形的三条中线的交点. 一、基础练习 1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC, A . 30° B . 45° C. 60° D. 80° 2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD / BC,对角线AC, BD相交于点0,以下四 个结论： ① / ABC= / DCB，② 0A=0D， ③/BCD=Z BDC，④S ZAOB=S A DOC. 其中正确的是（） A .①②B.①④C.②③④D.①②④ 2.女口图，等腰梯形ABCD 中, A B / DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，贝U梯形 ABCD的面积是（） A. 1615 B. 16 5
C. 32、15 D. 16.17 3. 4. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD // BC, AD=5, AB=6, BC=8, AE / DC,贝U △ABE的周长是( ) A . 3 B. 12 C. 15 D. 19 (2010金华)如图，在等腰梯形ABCD中，AB / CD，对角线 AC平分/ BAD, / B=60° CD=2cm，则梯形ABCD的面积为 ( )cm2. 5. 6. 7. A. 3、3 C. 6.3 若等腰梯形的 上、面积是( ) B. 6 D. 12 下底边分别为 A. 16.3 B. 8 3 C. 1和3, 一条对角线长为 4、3 D. 2.3 4, 则这个梯形的 已知梯形的两底边长分别为6和8, —腰长为7,则另一腰长 是_______________ . 如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC丄BD于点O, AE丄BC, DF丄BC,垂足分别为E, F，设AD=a, BC=b,则四边形AEFD的周长是( ) A . 3a+b B. 2 (a+b) C. 2b+a D. 4a+b a的取值范围 C 8.沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为 课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问 题.如图，若y是关于t的函数，图象为折线O-A-B- C, 17 其中 A (t1, 350), B (t2, 350), C (一，0),四 80 y 3?0 ]7 30 13731 A. B.—— C.——D. 51680160 O 边形OABC的面积为70,则t2-t i=( ) 9.如图，在梯形ABCD中，AB / DC , DB平分/ ADC,过点A作AE / BD，交CD 的延长线于点E,且/ C=2/E. (1) 求证：梯形ABCD是等腰梯形； (2) 若/ BDC=30°, AD=5, 求CD 的长.
1、梯形定义 ： 2、基本概念（如图）： 底： 腰： 高： 等腰梯形直角梯形 3②等腰梯形同一底上的两个角 ． ③等腰梯形的两条对角线 ． 4、等腰梯形判定方法： 。 几何表达式：梯形ABCD 中，若 ，则 ． 【注意】等腰梯形的判定方法： 1、先判定它是梯形。 2、再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形． 梯形中位线性质： ． （强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．）
例如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE. 分析:1、先证梯形ABCD是等腰梯形, 根据等腰梯形的性质得到AC=BD; 2、再证四边形BECD是平行四边形,从而得到CE=BD,所以AC=CE.. 例1、.如图,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积. 【变式练习】 1.如图,已知梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连结AC、BF. (1)求证：AB=CF； (2)四边形ABFC是什么四边形?并说明你的理由. 2.(2010广州白云山模拟,6)四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶2,则四边形ABCD的形状是( ) A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.平行四边形 3.(2010天津塘沽模拟,6)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=18 cm,MN=8 cm,则AB的长等于( ) A.10 cm B.13 cm C.20 cm D.26 cm
梯形和等腰梯形的判定与性质 一、 考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二： (1) 梯形的性质： ①两底平行 ②梯形的面积S= 1 2 (a+b)h （2）等腰梯形的性质 ①、等腰梯形在同一底上的两个角 。 ②、等腰梯形的对角线 。 ③、等腰梯形的对角 。 考点二：等腰梯形的判定 1、两腰相等的 是等腰梯形。 2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。 3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。 二、 怎么考（例题精讲） 例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。 例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长. 例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8，3 4tan =∠CAD ，CA=CD ， B F C A D 图 2 E 图1
E 、 F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC=∠ACB ，设DE=x ，CF=y. （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值. 例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动． 当运动时间t =_______ 秒时。以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形． 例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长 三、课堂练兵（课堂训练） 1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为 2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF 3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ， 若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______． 4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个 六边形的周长等于______． 第12题 B G