自动控制原理 第三章 时域分析法

假定：
将C(s)等式右边的两项分别展成部分分式，可得：
再进行拉氏逆变换，得：
系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态 分量决定。此时，系统的输入为零。
故稳定性定义可 转化为：
式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅 取决于特征根si的性质，设 特征根的性质对系统稳定性的影响
• 当si为实根时，即si＝i
第三章
时域分析法
主要内容
•3.1 •3.2 •3.3 •3.4 •3.5 时域分析基础 一、二阶系统分析与计算 高阶系统动态响应及简化分析 控制系统的稳定性分析及其代数判据 稳态误差分析计算
3.1 时域分析基础
1. 时域分析：根据系统微分方程，通过拉氏
变换，直接求出系统的时间响应。依据响应 的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性 能，并找出系统结构、参数与这些性能之间 的关系。 时域分析法是一种直接方法，而且比较 准确，可以提供系统时间响应的全部信息。 在已知系统传递函数的情况下，先求得 拉氏变换下的Y(s)，再反变换求y（t）一般 较方便。
nt
sin(d t arccos )
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应稳态误差为零。
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
1
1
2
tr
1 π arccos
ent sin(d t arccos ) 1
• 闭环主导极点
如果高阶系统的某个极点距离虚轴最近（是其它 极点到虚轴距离的1/5以下），且附近没有任何 零点，则该极点对系统响应起主导作用，称为 系统的闭环主导极点。
3.4 系统稳定性分析
主要内容：
• 线性定常系统稳定的概念 • 系统稳定的条件和稳定性的代数判定方法。
一、系统稳定的概念
• 稳定性是指当扰动作用消失后，系统由初
三、稳定性判据 本节主要讲下代数判据，代数判据的形式很 多，有劳斯判据（Routh），赫尔维茨 （Hurwitz)稳定判据，林纳德 奇帕特 （Lienard-Chipard)判据，劳斯-侯维智稳 定判据等。 由前面的讲述可知，判定系统稳定的最直接 方法是求出系统的闭环特征根，根据特征根 的位置判断，但有时候这种计算不方便。代 数判据的目的是不直接求特征根，通过间接 的方法判断系统稳定性。 主要学习一下劳斯判据
当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的 不衰减（等幅）振荡。 阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示
d n 1
2
• 在 一定的情况下， n 越大，振荡频率 d
也越高，响应平稳性也越差。 结论：对于二阶欠阻尼系统而言， 大，
n小，系统响应的平稳性好。
• 快速性
例3-3
结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。
劳斯表判据的特殊情况
• 在劳思表的某一行中，第一列项为零。 • 在劳思的某一行中，所有元素均为零。
在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则 是不影响劳斯判据的结果。
例3-4
第一列元素出现了无穷大的情况。为避免 这种情况，根据摄动法原理，可以将0元 素用无穷小正数ε 代替。
第三个元素小于0，因此系统不稳定
例3-5
例3-6
欲使如图所示系统稳定，试确定K的取值 范围。
例3-7
欲使如图所示系统的特征根位于距虚轴一 个单位以左的区域，试确定K的取值范 围。
3.5 稳态误差分析计算
过阻尼系统单位阶跃响应
与一阶系统阶跃响应的比较
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
(1).稳态误差ess lim[r (t ) c(t )] 0
t
(2).响应没有振荡 σ％=0
2.欠阻尼 响应
(0 1)
二阶系统的单位阶跃
二阶欠阻尼系统的输出
拉氏逆变换得：
二阶欠阻尼系统输出分析
始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。 • 若系统能恢复到平衡状态，就称该系统是 稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢 复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统 是不稳定的。
二、稳定性的数学条件
设系统的微分方程（或增量化线性方程）为：
对上式进行拉氏变换得：
化简整理：
其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子 式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输入，C(s) 为输出，M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式， M0(s) = M02(s)- M01(s) 。 整理上式：
2. 典型实验信号及其选择：就是典型输入 信号，一般为阶跃信号，斜坡信号，抛 物线信号，正弦信号，脉冲信号等典型 测试信号。 选择什么样的测试信号与系统特性 及具体需要有关。如对于突变系统，一 般取阶跃信号来测试；对于渐变信号一 般取斜坡信号测试；对于宇宙飞船等航 空航天系统，则一般取抛物线信号。 本章研究的动稳态特性，都是在给 定输入下研究的。
1000 s 34.5s 1000
2
与标准的二阶系统传递函数对照得
5 1500 ( s) 2 s 34.5s 7500
当KA ＝1500时
当KA ＝13.5时
( s )
67.5 s 34.5s 67.5
2
系统在单位阶跃作用下的响应曲线
c(t)
KA=1500 KA=200 1 KA=13.5
系统特征方程的一般形式为： 可以由1+G0（s）=0求出，其中G0（s）
=G（s）+H（s）为系统的开环传递函数 。
劳斯稳定判据判稳的必要条件（即首先满足的条 件）：系统特征方程的系数均大于0或小于0.
**若有以下情况：系数符号不同；缺项（有的幂 次项没有），则直接断定系统不稳定。 满足必要条件的前提下，在用劳斯判据
注： %, ts 及ess 三项指标是针对阶跃响应 而言的，对于非阶跃输入，则只有 稳态误差ess , 而没有％和ts。
3－2 一、二阶系统分析与计算
1.一阶系统的数学模型及单位阶跃响应
微分方程：
动态结构图：
传递函数：
一阶系统单位阶跃响应
输入：
输出：
初始斜率：
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0
2.高阶系统简化分析
• 若有极点离虚轴较远
这些极点到虚轴的距离是其余极点到虚轴距离的5 倍以上，也即这些极点的实部的绝对值很大， 此时c(t)中第二项对应的部分衰减和快，对系 统影响较小，因此这部分极点的作用可以忽略 掉。
• 若有极点与零点相距很近
这些极点到零点的距离是其余极点到该零点距离 的1/5以下，此时，每一对这样的极零点构成偶 极子，极零点的作用对消。
欠阻尼时(0<ξ <1),上式可以按部分分式展开：
展开式系数a，ai，bk，ck可由待定系数法或留 数法求出。
对上式求拉氏反变换，可求得时域响应：
上式右边，第一项为单位阶跃响应的稳态分量；第 二项为非周期过程动态分量；第三、四项为衰 减振荡的动态分量。 **考虑下，若系统负阻尼或极点在复平面的右半部 分，则系统响应如何？
开环传递函数：
闭环传递函数：
•二阶系统的特征方程为：
• 解方程求得特征根：
s1,s2完全取决于ξ ，n两个参数。 •当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
二阶系统单位阶跃响应
过阻尼系统分析
• 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大 • • •
的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰 减速度慢 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和 超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大， 离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小， 有时甚至可以忽略不计。

当si为共轭复根时，即si，i+1＝i ± jωi
综上所述，系统稳定的充分必要条件是：
系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说 都位于s平面的虚轴之左。（顶顶重要）！！！
注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： sE(s)在s平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示， 即特征方程的所有根si位于s平面的虚轴之左。
• 劳斯判据：若劳斯行列表第一列的元素均大
于0，则系统稳定（有全零行时，即使第一列 元素全大于0，系统也是临界稳定的，在此， 临界稳定我们认为也是不稳定的）。
• 劳斯行列表的计算
系统闭环特征方程：
则劳斯行列表如下计算：
• 如果第Biblioteka Baidu列中出现一个小于零的值，系统就不稳
定。 • 第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程 正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
• 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统
•二阶系统的微分方程的一般式为
d c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
2
(n 0)
——阻尼比
•二阶系统的反馈结构图
•二阶系统的传递函数
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和 暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分 量为衰减过程，振荡频率为ωd。
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
n 对阶 下面根据上图来分析系统的结构参数 、 跃响应的影响。
• 平稳性（％）
越大，ω d越小，幅值也越小，响应的振荡 结论： 越小， 倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。
从图中看出，对于5％误 差带，当 0.707 时，调 节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量<5 ％，平稳性也较好，故称
0.707为最佳阻尼比。
总结：n 越大，调节时间 t s 越短；当 一定时， n 越大，快速性越好。
• 稳态精度
h(t ) 1 1 1 2 e
d
根据极值定理有：
取n=1得: t p
π
d

π
n 1 2
h(t ) 1
%
1 1
h()
2
e
nt
sin(d t arccos )
π / 1 2
h(t p ) h()
100% e
100%
写出调节时间的表达式相当困难。在分析设 计系统时，经常采用下列近似公式。
• 三种响应之间的关系
相应的时域表达式为
4. 阶跃响应的动态性能指标
1.峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个 峰值所需的时间。 2.超调量％：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值 之比。 3.调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近 5%h()或2%h()误差带，而不再超出的最小时间。 4.上升时间tr：响应曲线从0开始第一次到达稳态值所经 历的时间。 5. 振荡次数，振荡周期，衰减率 ………
2. 快速性ts：
3. 准确性 ess：
例3-1
R( s ) B( s ) E ( s ) 100 100 s s
KH H
C ( s)
一阶系统如图所示，试求： 1. 当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍 数K，稳态误差ess。 2. 如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？ 3. 讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。
0
t
3.3 高阶系统动态响应及简化分析
1.高阶系统的单位阶跃响应
• 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系
统；一般把3阶及3阶以上的系统成为高阶系统。 • 高阶系统闭环传递函数
其中，q为一阶惯性环节的个数；r为二阶振荡环 节个数，系统阶数设为n，则n=q+2r。
假设输入信号为单位阶跃信号，则系统响应：
3. 典型时间响应：初状态为零的系统，在 典型输入作用下的输出，称为典型时间 响应。
• 单位阶跃响应
系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响 应，常用h(t)表示。
• 单位斜坡响应
系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作 用下的响应，常用 ct（t）表示。
• 单位脉冲响应
定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t) 作用下的响应，常用k(t)表示。
三、二阶系统举例
例3-2 设位置随动系统，其结构图如图所示， 当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增 益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响 应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间 ts和超调量，并分析比较之。
• 输入：单位阶跃函数：
系统的闭环传递函数
当KA ＝200时
( s )