如何解一元二次方程
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如何解一元二次方程
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±n .
例1.解方程(1)(3x+1)2+2=7 (2)9x 2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2+2=7
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±5 (注意不要丢解)
∴x= -1±5
∴原方程的解为x 1=-1+5,x 2=-1-5
(2)解: 9x 2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±11
∴x= 3
114±
∴原方程的解为x 1,x 2 2.配方法:用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c 移到方程右边:ax 2+bx =-c
将二次项系数化为1:x 2+b a x=c a
- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x 2+b a x+(2b a )2 =-c +(2b a
)2 方程左边成为一个完全平方式:(x+2b a
)2=2244b ac a -
当b 2
-4ac≥0时,x+ 2b a
∴ (这就是求根公式) 3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b 2-4ac 的
值,当b 2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c 的值代入求根公式就可得到方程的根。
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0
(3) 6x 2+5x-50=0 (选学)
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。