实验名称：数字图像DFT 及频域滤波 一． 实验目的
1． 了解数字图像各种正交变换的概念、原理和用途。
2． 深熟练掌握数字图像的 DFT/DCT 的原理、方法和实现流程，熟悉两种变换的性质，并能对数字图像 DFT 及 DCT 的结果进行必要解释。
3． 熟悉熟悉和掌握利用 MATLAB 工具进行数字图像 FFT 及 DCT 的基本步骤、MATLAB 函数使用及具体变换的处理流程，并能根据需要进行必要的频谱分析和可视化显示。
4． 熟悉利用空域滤波器构建对应的频域滤波器的方法和关键步骤。
5． 熟悉和掌握几种典型的频域低通滤波器及高通滤波器的原理、特性和作用。
6． 搞清空域图像处理与频域图像处理的异同，包括处理流程、各自的优势等。掌握 频域滤波的基本原理和基本流程，并能编写出相应的程序代码。
二． 实验原理 1、 F FT 实验
● 傅立叶变换：非周期函数表示为正弦和/或余弦乘以加权函数的积分。 ● 一维连续Fourier 变换
对函数f (x )进行傅立叶变换得到F (u )
()()2j xu F u f x e dx π+∞
--∞
=⎰
(1)
逆变换，即将F (u)变换到f (x )为
()()2j xu f x F u e du π+∞
-∞
=⎰
(2)
● 一维离散Fourier 变换
正变换(DFT)
()1
2/0
(),0,1,
,1N j xu N x F u f x e u N π--===-∑ (3)
逆变换(IDFT)
()1
2/0
1
(),0,1,,1N j xu N
u f x F u e
x N N
π-==
=-∑ (4)
● 用幅值和相位表示傅立叶变换
()()()
j u F u F u e
θ= (5)
● 用途：频域滤波，图像增强，频谱分析。
三． 实验步骤
1.模型图像的 FFT 实验
1)利用 MATLAB 程序自行生成如图（1）的（a）、（b）所示的二值图像，分
别对其分别进行离散傅立叶变换（DFT）计算。
（a）（b）
2)对变换结果做频谱中心化处理，并分别显示出其2D 频谱图以及对应的
3D频谱图。
3)对以上两幅原始图像 FFT 后的频谱图进行分析，可以得出什么样的结论
或验证了DFT的什么性质。
2.实际图像的 FFT 实验
1)读任意读取一幅灰度图像，对其进行 FFT 变换，分别画出变换前的原始
图像及其 FFT 后频谱的 2D 平面图，要求变换结果做频谱中心化处理。
2)画出对应的3D中心化频谱。
图1
由全零矩阵分别生
成如成像如ab的矩阵
分别对上述矩阵做fft2，
并对结果中心化处理
创建全零
的矩阵I
分别画出a，b
分别显示3D
频谱图
调用mesh（）函数
结束
分别显示2D
频谱图
图 3
3. 数字图像的频域滤波处理
1) 设定截止频率 D 0 =100，试分别构建 256×256 的频域理想低通滤波器
（ILPF ）和频域理想高通滤波器（IHPF ）。编写 MATLAB 代码，分别画出它们的频域滤波器响应 3D 图及其对应的 2D 投影平面图。
2) 任意读取一幅数字图像。编写 MATLAB 代码，分别利用理想低通滤波器
（ILPF ） 和理想高通滤波器（IHPF ）对其进行频域滤波处理。具体可参考如下步骤：
（1） 消除折叠现象的填充：P=2M ，Q=2N ，其中 M 、N 为原图像的尺寸； （2） 原图 f (x , y ) 的傅立叶变换，产生 F (u ,v ) ；
（3） 频谱中心化处理（当然也可以不变换，则 H (u ,v ) 要改变）； （4） 用滤波器函数 H (u ,v ) 乘以 F (u ,v ) ； （5） 傅立叶反变换；
（6） 取实数部分，绝对值很小的虚数部分是浮点运算存在误差造成的； （7） 空间域中心还原变换（反中心化） 。
3) 分别显示 ILPF 和 IHPF 两种滤波器滤波前的原始图像、滤波器频域响
应（2D ）及滤波结果图像。
4) 对滤波结果进行必要分析，如振铃现象、图像模糊、图像变暗等说明原
因，以及 尽可能克服这些现象的有效措施等。
对读入信号做fft2，并对结果中心化处理
读入一副灰度图像
调用mesh （）函数
结束
分别画出原图和fft 后的2D 频谱图
分别画出3D 频谱图
图 4
四． 实验结果及分析
1.
模型图像的 FFT 实验
在fs=500Hz ，初始时刻为1800ms 下，取出其中一列
信号，对t 离散化
对上列离散信号进行
FFT ，得到y
读入数字信号
分别得到频谱中心化及有效频
率范围方式下的幅值结束
画出信号振幅随时间变化的
波形图
分别画出信号
频谱图
在截止频率D0=100，分别写出1、2、4阶巴特沃思滤波器
分选用上述2阶滤波器与读
取信号进行点乘
分别画出频率响应曲线
画出频率响应
曲线
图 5
