不定积分(公式大全)

于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
⒄
dx ln x x2 a2 C
x2 a2
⒅
a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C
2
a2
5.3 分部积分法 一、分部积分公式
考察函数乘积的求导法则： [u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)
两边积分得 u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx
由分部积分公式有 ∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝
1
xsin2x－
1
2 ∫sin2xdx
＝
1
2 xsin2x＋
1
2 cos2x＋C
2
4
有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
x2 a2 C
以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C
⒃
dx x2 a2

1 ln 2a
xa xa
C
⑵ ∫xα dx＝ 1 x1 C (α ≠-1)
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2
1
x2
dx

arctan x a
C
⑾
1 dx arcsin x C
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
解 :
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
3x2
dx
(1 x 1 1 1 )dx 1 x2 x ln | x | 1 C
3 3 x x2
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
用几次分部积分公式才可以求出结果。
例5：求∫x2e-2xdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2e2xdx 1 x2e2x 2x( 1 e2x )dx
2
2
1 x2e2x xe2xdx 1 x2e2x ( 1 xe2x 1 e2xdx)
x 1 1
元，令u
x

1
则原式＝

u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入

x
1 1
1
dx
2
u
u
1
du

2
(1
u
1 )du 1
2[u ln u 1] C 2 x 1 2ln | x 1 1| C
这就是第二换元积分法。
例 求 sin x x dx
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x6是x5的一个原函数
6
∴ x5dx 1 x6 C 6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sin xdx cosx C
解:设x asect,则dx asect tantdt, x2 a2 a tant

1 dx
x2 a2
a sect tan tdt a tan t
sectdt ln sect tan t C1
ln x a
x2 a2 a
C1 ln x
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
例2 求∫2sin2xdx
解：设u＝2x，则du＝2dx ∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu
＝－cosu＋C＝－cos2x＋C
注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。
例3
求
x (x2 1)4 dx
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
63
x
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π ／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
a
1
a costdt
x

dx
a2 x2
a cost
dt t C arcsin a C
(2)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝atant换元。
例17 求
1 dx
a2 x2
解:设x a tant,则dx asec2 tdt, a2 x2 asect
dx


x4 1
1 x2

1
1 x2
dx

(x2 1)dx
1 1 x2
dx
1 x3 x arctanx C 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3x exdx (3e)x dx (3e)x C 3x ex C
ln(3e)
1 ln 3
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例1 求 x 12 dx
解 : x 12 dx (x2 2x 1)dx x2dx 2 xdx dx

3
(x 1)2 d(x 1)
(x
1
1) 2
d(x
1)

2
(x
5
1) 2

2
(x
3
1) 2

C
5
3
例 求∫sin3xcosxdx
解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝ 1 sin4x＋C
4
二、第二换元积分法
例如，求
1 dx ，把其中最难处理的部分换
2
2
2
2
1 x2e2x 1 xe2x 1 e2x C
2
2
4
由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的
次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
1 dx a2 x2
a sec2 tdt a sect
sectdt ln sect tan t C1
ln
a2 x2 a

x a
C1
ln
a2 x2 x C
(3)如果被 例18 求
积
函数含有
1 dx
x2

a
2
x2 a2
，可以用x＝asect换元。
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
五、 基本积分公式的应用
例7 求∫(9x2＋8x)dx
解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
例10
求
x4 1 x2 dx
解:
x4 1 x2
(x2
x 1) 4
dx

1 2
u 4 du


1 6
u 3

C


1 6(x2 1)3

C
例5 求 2xex2 dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
2xex2 dx ex2 2xdx eudu eu C ex2 C
例7 求 tan xdx
解
:

tan
xdx


sin x c os x
dx
设u＝cosx，则du＝-sinxdx

tan
xdx


c
1 os
x

(
sin
x)dx


1 u
du
ln | u | C ln | cosx | C
当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。
例 求 x x 1dx
解: x x 1dx [(x 1) x 1 x 1]dx
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷

1 x
a
dx ln
xdx
|x
ax
|
C
C
ln a
第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存 在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有 F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区 间上的一个原函数。
解 : 令 x t,则x t 2 , dx 2tdt

sin
x
x
dx


sin t
t

2tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt

2
sin
tdt

2 c
ost

C

2
cos
x C
(1)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝asint换元。
例16 求
1 dx
a2 x2
解:设x a sin t,则t arcsin x , dx a costdt, a2 x2 a cost
a2 x2
a
例5 求 1 dx
解 :
1
x2
dx

x 5
x 2dx


2
3
x2
C
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1 x2
解:
1 dx arcsin x C 1 x2
又
1 1 x2