安顺市2019年中考数学试题及答案
特别提示:
1.本卷为数学试题单,共26个题,满分150分,共6页。考试时间120分钟。
2.考试采用闭卷形式,用笔在特制答题卡上答题,不能在本题单上作答。
3.答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项,并根据本题单各题的编号在答题卡上找到答题的对应位置,用规定的笔进行填涂和书写。
一、选择题(本大题10个小题,每小题3分,共30分) 1. 2019的相反数是( )
A. -2019
B. 2019
C. -
20191 D. 2019
1
2. 中国陆地面积约为9600 000 km 2
,将数字9600 000用科学记数法表示为( )
A. 96 ×105
B. 9.6×106
C. 9.6×107
D. 0.96×108
3. 如图,该立体图形的俯视图是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算中,计算正确的是( )
A. (a 2
b)3
=a 5
b 3
B. (3a 2)3
=27a 6
C. a 6
÷a 2
=a 3
D. (a+b)2
=a 2
+b
2
5. 在平面直角坐标系中,点P (-3,m 2
+1)关于原点对称点在(
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 6. 如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上,若∠1=350
,则∠2的度数是( )
A. 350
, B. 450
, C. 550
, D. 650
,
7.如图,点B 、F 、C 、E 在一条直线上,AB ∥ED ,AC ∥FD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是( )
第6题图
第7题图
A. ∠A =∠D
B. AC =DF
C. AB =ED
D. BF =EC
8.如图,半径为3的⊙A 经过原点O 和点 C (1 , 2 ),B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点,则tan ∠OBC 为( )
A.
3
1
B. 22
C.
322 D. 4
2
9.如图,在菱形ABCD 中,按以下步骤作图:
①分别以点C 和点D 为圆心,大于
2
1
CD 的长为半径作弧,两弧相交于M 、N 两点; ②作直线MN ,且MN 恰好经过点A ,与CD 交于点E ,连接BE .则下列说法错误的是( ) A. ∠ABC =600
, B. S △AB E =2 S △A DE
C. 若AB =4,则BE =74
D. sin ∠CBE =
14
21 10. 如图,已知二次函数y =ax 2
+bx+c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,OA =OC 则由抛物线的特征写出如下结论:
① abc>0; ② 4ac -b 2
>0;
③ a -b+c >0; ④ ac+b+1=0.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)
11. 函数y =2-x 自变量x 的取值范围为___________. 12. 若实数a 、b 满足|a +1|+2-b =0,则a+b =___________.
13.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r =2,扇形的圆心角θ=1200
,则该圆锥母线l 的长为___________.
14. 某生态示范园计划种植一批蜂糖李,原计划总产量达36万千克,为了满足市场需求,现决定改良蜂糖李品种,改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万千克,种植亩数减少了
20
第9题图
第10题图
第13题图
第8题图
亩,则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克?设原计划平均亩产量为x 万千克,则改良后平均每亩产量为1.5 x 万千克,根据题意列方程为___________. 15. 如图,直线l ⊥x 轴于点P ,且与反比例函数y 1=
x k 1(x>0)及y 2=x
k
2(x>0)的图象分别交于A 、B 两点,连接OA 、OB ,已知△OAB 的面积为4,则k 1-k 2=___________.
16. 已知一组数据x 1 ,x 2 ,x 3, …, x n 的方差为2,
则另一组数据3x 1 ,3x 2 ,3x 3, …, 3x n 的方差为__________.
17. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC =900
,且BA =3, AC =4,点D 是斜边BC 上的一个动点,过点D 分别作
DM ⊥AB 于点M, DN ⊥AC 于点N,连接MN,则线段MN 的最小值为__________.
18. 如图,将从1开始的自然数按下规律排列,例如位于第3行、第4行的数是12,则位于第45行、第7列的数是__________.
三、解答题(本大题共8个小题,满分88分,解答应写出必要的文字说明或演算步骤) 19.(本题8分)
计算:(-2)-1-9+cos600+(20182019-)0+82019×(-0.125)2019
.
20.(本题10分)
先化简(1+32
-x )÷96122+--x x x ,再从不等式组???+<<-4
2342x x x 的整数解中选一个合适的x
的值
第15题图
第17题图
第18题图
代入求值.
21.(本题10分)
安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y (千元)与每千元降价x (元)(0 (1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元? 22. (本题10分) 阅读以下材料: 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年), 纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系. 对数的定义:一般地,若x a =N (a >0且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N,比如指数式24 =16可以转化为对数式4=log 216,对数式2=log 525,可以转化为指数式52 =25. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质: log a (M?N )=log a M + log a N (a >0, a ≠1, M >0, N >0), 理由如下: 设log a M =m, log a N =n ,则M =a m , N =a n , ∴ M?N =a m ?a n =a m+n ,由对数的定义得 m+n =log a (M?N ) 又∵m+n=log a M + log a N ∴log a (M?N )=log a M + log a N 根据阅读材料,解决以下问题: (1)将指数式34 =81转化为对数式__________; (2)求证:log a N M =log a M - log a N (a >0, a ≠1, M >0, N >0), (3)拓展运用:计算log 69 + log 68 -log 62=_________. 23.(本题12分) 近年来,在习近平总书记“既要金山银山,又要绿水青山”思想的指导下,我国持续的大面积雾霾天 第21题图 气得到了较大改善.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解C.基本了解;D.不了解.根据调查统计结果,绘制了如图所示的不完整的三种统计图表. 请结合统计图表,回答下列问题: (1)本次参与调查的学生共有_________,n =_________; (2)扇形统计图中D 部分扇形所对应的圆心角是________度; (3)请补全条形统计图; (4)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾的知识竞赛,某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中充分摇匀,一个人先从袋中随机摸出一个球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数,则小明去,否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平. 24.(本题12分) (1)如图①,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,点E 是BC 的中点,若AE 是∠BAD 的平分线,试判断AB,AD,DC 之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法:延长AE 交DC 的延长线于点 F ,易证△AEB ≌△FEC 得到AB =FC ,从而把AB,AD,DC 转化在一个三角形中即可判断. AB, AD, DC 之间的等量关系________________________; (2)问题探究:如图②,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AF 与DC 的延长线交于点F ,点E 是BC 的中点,若AE 是∠BAF 的平分线,试探究AB,AF,CF 之间的等量关系,并证明你的结论. 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程度的扇形统计图 表1 图1 对雾霾天气了解程度的条形统计图 25. (本题12分) 如图,在△ABC 中,AB =AC,以AB 为直径的⊙O 与边BC,AC 分别交于D,E 两点,过点D 作DH ⊥AC 于点H. (1)判断DH 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)求证:点H 为CE 的中点; (3)若BC =10,cosC =5 5 ,求AE 的长. 26. (本题14分) 如图,抛物线y = 21x 2+bx+c 与直线y =2 1 x+3分别相交于A, B 两点,且此抛物线与x 轴的一个交点为C ,连接AC, BC. 已知A(0,3),C(-3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线对称轴l 上找一点M ,使|MB -MC |的值最大,并求出这个最大值; (3)点P 为y 轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ,问:是否存在点P 使得以A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若还在存在,请说明理由. 第26题图 第25题图 参考答案 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1.A . 2. B . 3. C . 4. B . 5. D. 6.C. 7. A . 8. D. 9.C. 10.B. 二、填空题 11.x ≥2. 12. 1. 13.6. 14.205.193636=+-x x 或(205.14536=-x x ) . 15.8. 16.18. 17. 5 12 (或 2.4 ) 18.2019. 三、解答题(本大题共8个小题,满分88分,解答应写出必要的文字说明或演算步骤) 19.(8分)解:原式=- 21-3+2 1 +1-1 …………………………………………………………(5分) =-3 …………………………………………………………(8分) 20.(10分)解:原式=) 1)(1()3(3232 -+-?-+-x x x x x ………………………………………………(4分) = 1 ) 3(+-x x …………………………………………………………(6分) 解不等式组? ??+<<-4234 2x x x 得-2 ∴其整数解为-1, 0 , 1, 2, 3 ………………………………………………(9分) ∵要使原分式有意义, ∴x 可取0 ,2. ∴当x =0 时,原式=-3 ……………………………………………………(10分) (或当x =2 时,原式=- 3 1 ) 21.(10分)解:(1)设一次函数解析式为: y =kx+b 当x =2, y =120 当x =4, y =140 ∴? ??=+=+14041202b k b k ……………………………………………………(2分) ∴? ? ?==10010 b k ∴y =10x+100 ……………………………………………………(4分) (2) 由题意得: (60-40-x )(10 x+100 ) =2090 (或(20-x )(10 x+100 ) =2090) ……………………(6分) x 2-10x +9=0 解得:x 1=1. x 2=9 ∵让顾客得到更大的实惠 ∴x =9 ……………………………………………………(9分) 答:商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元. …………………………(10分) 22.(10分)解:(1)4= log 381(或log 381=4) …………………………………………(3分) (2) 证明:设log a M =m, log a N =n ,则M =a m , N =a n , ………………………(4分) ∴N M =n m a a =a m -n ,由对数的定义得m -n =log a N M ……………………………(5分) 又∵m-n =log a M -log a N …………………………………………(6分) ∴log a N M =log a M -log a N …………………………………………(7分) (3) 2. ( 或写成log 636给2分) …………………………………………(10分) 23.(10分)解: (1) 400. …………………………………………(1分) 35% …………………………………………(2分) (2) 126; …………………………………………(4分) (3)如图 ……………………………………(6分) (4) 解: 第一次 开始 1 2 3 4 第二次 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 两次和 3 4 5 3 5 6 4 5 7 5 6 7 (两次之和可写可不写) ………………………………(9分) 共有12种等可能的结果,其中和为奇数的结果有8种 ∴P(小明去)=128=32 …………………………………………(10分) ∴P(小刚去)=1-32=3 1 …………………………………………(11分) ∵32≠3 1 ∴不公平. …………………………………………(12分) 24.(12分) (1) AD =AB+DC …………………………………………(3分) (2) AB =AF+CF …………………………………………(4分) 证明:如图②,延长AE 交DF 的延长线于点G …………………………………………(5分) ∵E 是BC 的中点, ∴CE =BE , ∵AB ∥DC ,∴∠BAE =∠G. 在△AEB 和△GEC 中 ?? ? ??=∠=∠∠=∠CE BE GEC AEB G BAE ∴△AEB ≌△GEC ∴AB =GC. …………………………………………(10分) ∵AE 是∠BAF 的平分线 ∴∠BAG =∠FAG , ∵∠BAG ∠G , ∴∠FAG =∠G , ∴FA =FG, ∵CG =CF + FG, ∴AB =AF+CF …………………………………………(12分) 25.(12分) (1)解:DH 与⊙O 相切.理由如下: 连接OD ∵OB =OD ∴∠B =∠ODB , ∵AB =AC ∴∠B =∠C , ∴∠ODB =∠C , ∴OD ∥AC ∵DH ⊥AC ∴OD ⊥DH ∵OD 是⊙O 半径. ∴DH 与⊙O 相切. ……………………………… …………………………………………(8分) (3)连接AD ∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90°,∴AD ⊥BC ∵AB =AC ∴DC = 21BC =2 1 ×10=5 ∵在Rt△A DC 中 cosC = AC DC =55 ∴AC =55 ∵在Rt△DHC 中 cosC =CD HC =5 5 ∴HC =5 ∵点H 为CE 的中点 ∴C E =2C H =25 ∴AE =AC -C E =35 ……………………………… ………………………………………(12分) 26.(14分)解:(1)①将A (0,3),C (-3,0)代入y = 2 1x 2 +bx+c 得 ?????=+-=0329 3c b c 解得??? ??==3 25c b ∴抛物线的解析式是y = 21x 2+2 5 x+3 …………………… ………………………………………(4分) (2)由???? ?? ? ++=+=32 5213 2 1 2x y x y 解得???==3011y x ,???=-=1422y x ∵A (0,3), ∴B(-4,1) ①当点B 、C 、M 三点不共线时, |MB -MC |< B C ②当点B 、C 、M 三点共线时, |MB -MC |=B C ∴当点、C 、M 三点共线时,|MB -MC |取最大值,即为B C 的长, 过点B 作x 轴于点E ,在Rt△B EC 中,由勾股定理得B C =22CE BE +=2 ∴|MB -MC |取最大值为2 …………………… ………………………………………(8分) (3)存在点P 使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似. 设点P 坐标为(x, 32 5 212++x x ) (x>0) 在Rt△B EC 中,∵BE =CE =1, ∴∠BCE =450, 在Rt△ACO 中,∵AO =CO =3, ∴∠ACO =450 , ∴∠ACB =1800 -450 -450 =900 , AC =32. 过点P 作PQ ⊥PA 于点P ,则∠APQ =900 ……………………………………(10分) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点G ,∵∠ PQA =∠APQ =900 ∠ PAG =∠QAP, ∴△PGA ∽△QPA ∵∠ PGA =∠ACB =900 ∴①当 AG PG =AC BC =3 1 时,△PAG ∽△BAC ∴ 31 332 5212= -++x x x 解得x 1=1, x 2=0, (舍去) ∴点P 的纵坐标为21 ×12+2 5×1+3=6, ∴点P 为(1,6)………………………………(12分) ②当 AG PG =BC AC =3时,△PAG ∽△ABC ∴3 332 5212=-++x x x 解得x 1=-3 13 (舍去), x 2=0(舍去), ∴此时无符合条件的点P 综上所述,存在点P (1,6) …………………… ………………………………………(14分)