常微分方程积分曲线 29

dN N )N = r (1 − dt Nm
dx dt = a( y − x), dy = −xz + cx − y, a = 10,b = 8 3, c = 28 dt dz 分支与混沌！ 分支与混沌！ dt = xy − bz,
天气预报模型（ 方程） 天气预报模型（Lorenz方程）: 方程
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程， 因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应 是一门与实际联系比较密切的数学课程 该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程， 该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该 应用数学方法研究微分方程本身的问题上 把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上. 把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 数学分析中的隐函数问题 由方程
F ( x, y ) = 0
(*)
来确定隐函数，上述方程（ ）是众所周知的隐函数方 来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 它是函数方程中最简单的一种。 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。 的未知函数。
u a = 24 0 C
.
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
分析
了解有关物体温度变化的基本规律： 了解有关物体温度变化的基本规律：热量 总是从温度高的物体向温度低的物体传导； 总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在 一定的温度范围内（ 一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温 度在内），一个物体的温度变化速度与这一物 度在内），一个物体的温度变化速度与这一物 ）， 体和其所在介质温度的差值成比例， 体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛 顿（Newton）冷却定律 ）冷却定律.
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
前面介绍一些物理背景， 前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的 其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、 其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分 支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大 支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等， 量的微分方程问题 同样在社会科学的一些领域里也存在着 量的微分方程问题. 微分方程问题 微分方程的问题. 微分方程的问题
(有阻力)
A P
M Q
mg
d 2ϕ µ dϕ g 1 + + sin ϕ = F (t ) (有阻力及外力） 2 dt m dt l ml
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
问题三
d 2 I R dI I + =0 电路电流方程； ：R-L-C电路电流方程； 2 + 电路电流方程 dt L dt LC
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
在数学分析中， 在数学分析中，不定积分问题 F ( x) = ∫ f ( x) dx ，实际上 是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下： 是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下： 函数的概念叙述如下 的已知连续函数， 设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足下列方程： 满足下列方程：
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
微分方程是数学中的古老分支之一． 微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 是数学中的古老分支之一 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题． 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
，这样的方程，就成为（一阶）微分方程 这样的方程，就成为（一阶）
改写（1.1）为：
d (u − ua ) = −kdt (u − ua )
(1.2)
变量u和 被分离出来了 被分离出来了,对上式两边积分得到 变量 和t被分离出来了 对上式两边积分得到 ： ln(u − u a ) = −kt + c1 (1.3) 是积分常数，对上式进行变形又得到： 其中 c1 是积分常数，对上式进行变形又得到：
u − u a = e − kt + c1
由此， 由此，令 c = e c ，有：u = u a + ce − kt (1.4)
1
代入初始条件，并整理得到： 代入初始条件，并整理得到： 图解
图解
解曲线
u = 24 + 126e −0.051t
(1.5)
分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温 分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力 偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力 工具． 工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工 程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了 程技术中的有关问题． 重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究 重大进展， 还有许多问题． 还有许多问题．
dy = f (x) dx
(**)
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
返回
二、微分方程的定义
方程（ ）和方程（ ）共同之处在于未知的都是函数， 方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数，不 同处在于方程（ ）中只有未知函数本身，而方程（ ） 同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出 未知函数的导数， 现了未知函数的导数 这种情况不仅在研究数学时会遇到， 现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而 且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干 且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、 社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时， 社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能 直接找到所研究的那些量之间的依赖关系， 直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它 们和其变化率（导数）之间的规律，于是， 们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导 数的方程叫做微分方程. 数的方程叫做微分方程 叫做微分方程
问题四： 电路电流方程； 问题四：R-L电路电流方程； 电路电流方程
d 2I I + =0 2 dt LC
其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、 其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、 天气预报模型（ 方程） 天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等 方程 人口增长模型（ 人口增长模型（Logistic）: ）
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
2、什么是常微分方程？ 、什么是常微分方程？ 常微分方程
定义：在所讨论的微分方程中， 定义：在所讨论的微分方程中，当未知函数是一元函数 称为常微分方程 而未知函数是多元函数时， 常微分方程， 时，称为常微分方程，而未知函数是多元函数时，称为 偏微分方程. 偏微分方程 常微分方程： 常微分方程：y '+ y ' ' = 0
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
返回
第二节 微分方程的基本概念
1、微分方程 、
定义： 定义：把包含未知函数导数的方程叫做 微分方程.例 例 如方程（ ） 如方程（1.1）.
定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数 或 定义的注 联系自变量、未知函数及它的导数(或 联系自变量 微分)的关系式 数学上称为微分方程. 微分 的关系式,数学上称为微分方程 的关系式 数学上称为微分方程
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
假设： 假设：设物体在时刻的温度为 化速度以
du dt
u = u(t )
，则温度的变
来表示。 来表示。注意到热量总是从温度高的
u0 > u a
物体向温度低的物体传导的。因而 物体向温度低的物体传导的。 差
u0 − u a
，所以温
恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却， 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故
第一章 绪论
主要内容
序：什么是方程？ 什么是方程？ 微分方程及其应用 微分方程及其应用 及其 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念 小结
重点：理解微分方程的解等基本概念。 重点：理解微分方程的解等基本概念。 难点：微分方程的解（ 难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。 特解、通解）、积分曲线、方向场。 ）、积分曲线
2
二阶， 二阶，线性
2 x
x y ' '+3 xy '+4 y = ( x − 1)e
物体在低温环境中的温度变化过程和情况. 物体在低温环境中的温度变化过程和情况.
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
问题二：数学摆（下图）的运动方程 下面三个方程 下面三个方程). 问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程
O
d ϕ g = − sin ϕ 2 dt l
2
Fra Baidu bibliotek
d 2ϕ µ dϕ g + + sin ϕ = 0 2 dt m dt l
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
返回
三、物体冷却过程的数学模型
问题一：将某物体放置于空气中，在时刻 t = 0 时， 问题一：将某物体放置于空气中， 测量得它的温度为 u 0 = 150 0 C ，10分钟后测量得温度为 分钟后测量得温度为 u1 = 100 0 C. 问题与要求：决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系， 的关系， 问题与要求： 并计算20分钟后物体的温度。 并计算 分钟后物体的温度。 分钟后物体的温度 基本假设： 基本假设：空气的温度保持为
du dt
温度变化速度 到：
恒为负。因此由牛顿冷却规律得 恒为负。
du = −k (u − ua ) dt
du dt
(1.1)
其中k是比例常数，方程（ ）就是物体冷却过程的数学模型， 其中 是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未 是比例常数 知函数u及它的 一阶 知函数 及它的(一阶 导数 及它的 一阶)导数 。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分 的逆运算问题，也可以用函数的概念 函数的概念叙述如下： 函数的概念
设
是自变量 x 的已知连续函数 ,试求 试求 函数 y = y (x) 满足方程
f (x)
dy = f ( x) dx
(**)
分析： 上述（ ）方程就是一个典型的微分方程 微分方程. 分析： 上述（**）方程就是一个典型的微分方程
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
第一节 微分方程的定义
一、序及方程
在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程 初等数学中 曾经学习过代数方程，三角方程， 中又学习过高次代数方程， 元线 和对数方程等等。 高等代数中又学习过高次代数方程 和对数方程等等。 在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线 性代数方程组。 这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而 有一个共同点， 性代数方程组。 这些方程（ 要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等 要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等 根或解）。但在 数学中 常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。 数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在 这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值， 这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值， 而是一个函数。这类方程称为函数方程。 而是一个函数。这类方程称为函数方程。 函数方程
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
数学分析中所研究的函数， 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 中所研究的函数 程中量与量之间的一种关系， 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 稍为复杂的一些运动过程时， 即函数)往往不能直接写出来， 关系 (即函数 往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 即函数 往往不能直接写出来 量和它们的导数(或微分 间的关系式 量和它们的导数 或微分)间的关系式 或微分 间的关系式.