八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形教案（新版）
北师大版
直角三角形
课题
直角三角形（第一课时）
课型
新授课
教学
目标
1．知识目标：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别
两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
重点
难点
重点：①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识
别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．
教具 准备
学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；
课时
安排
1课时
教学过程与教学内容
教学方法与学法
1：创设情境，引入新课
通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB，B 1C⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少? B 1C 1呢?
解：在Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm ， ∴BC＝12 AB ＝1
2 ×10＝5 cm ．
∵CB 1⊥AB，∴∠B+∠BCB 1＝90° 又∵∠A+∠B＝90° ∴∠BCB 1 ＝∠A＝30°
在Rt△ACB 1中，BB 1＝12 BC ＝12 ×5＝ 5
2
cm ＝2．5 cm ．
让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明
∴在Rt△C 1AB 1中，∠A＝30°
＝12 AB ＝1
2
形的性质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而∴S 梯形AC DE ＝2 (a+b)(a+b) ＝ 2 (a+b)．
∴S△ABE＝2
c ∴2 (a+b) 2 c + 2 ab + 2 即2 a + ab + 2 b ＝2 c 论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜
教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题
2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
重点难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
教具准备
学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验
用）；
课时
安排
1课时教学过程与教学内容教学方法与学法
1：复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。
那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．要求学生完成，一位学生的过程如下：
已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AB=A C，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点
让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明
在于“在证明△ABD≌△ACD 时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD 和△ABC 中，AB=AB ，∠B=∠B，AC=AD ，但△ABD 与△ABC 不全等)” ．
也有学生认同上述的证明。
教师顺水推舟，询问能否证明：“在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．”，从而引入新课。
2：引入新课
（1）．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ 证明：在Rt△ABC 中，AC=AB 2
一BC 2
(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2
一B'C'2
(勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)． 教师用多媒体演示：
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示． 从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到“等边对等角”的证法是正确的． 练习：判断下列命题的真假，并说明理由：
A '
B'
C '
C B
A
E
2
1
B D
C
A
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．
已知：R△ABC 和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD 、B'D'分别是AC 、A'C'边上的中线且BD —B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 证明：在Rt△BDC 和Rt△B'D'C'中， ∵BD=B'D',BC=B'C',
∴Rt△BDC≌Rt△B 'D 'C ' (HL 定理)． CD=C'D'．
又∵AC=2CD，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'． ∴在Rt△ABC 和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '， ∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．
通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。 3：做一做
问题 你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．
（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。）
4：议一议
如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?
'
D A '
B '
C '
C D
B
A
把它们分别写出来．
这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．
(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战) 5： 例题学习 如
图
，
在
△ABC≌△A'B'C'中，CD ，C'D'分别分别是高，并且A
C
＝
A'C'
，
CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA 证明全等；也可以寻求么∠B=∠B'，这样就有AAS ；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS ．……注意到题目中，通有CD 、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL 定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D 'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．
证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高(已知)， ∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC 和Rt△A'D'C'中， AC=A'C'(已知)， CD=C'D' (已知)，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)． ∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC 和△A'B'C'中， ∠A=∠A' (已证)，
'
C C A
D B '
'
'
B
D
A