第五节振型向量正交性

《结构动力学》小论文关于多自由度体系主振型正交性的几点思考姓 名：×× 学 号：U2009158×× 专业班级: 土木工程0905班 指导老师：龙晓鸿完成时间：2012年3月21日 关于多自由度体系主振型正交性的几点思考教材中对于多自由度体系主振型的正交性证明过程中，经过简单的变形之后，得到下式：和不同频率相应的主振型相对于质量矩阵M 来说，是彼此正交的： 以及不同频率相应的主振型相对于刚度矩阵M 来说，是彼此正交的： 上述得到式①和式②的前提都是在不同频率k l ωω≠下，那么我们有必要讨论一下，当k l ωω=时，主振型还是否能保持这种正交性。

一、 在重频()k l ωω=情况下主振型的正交性在重频情况下，一般来说是不正交的，但由于之间是线性独立的，那么，可以通过一些正交化手段和线性组合的方式，来找到使式①及式②成立的向量。

设多自由度体系有多个相同频率，且假设为12ωω=，则计算对应的阵型时，由方程组可以令1,2,,i n =L ，可得出n 个向量方程，其中有两个是不独立的。

我们不妨将最后两个方程去掉，同时将方程中与对应的振型向量()i Y 的最后两个元素1,n n y y -有关的项移动到方程的右边化作：22221111111,211,221,111,111,11,2222,11,11,21,22,11,11,1,()()()() ()()()() n n n n n n n n n i i i n i n n i n i n n i n i n n k m y k m y k m y k m y k m y k m y k m y k m y ωωωωωωωω-------------++-=-----++-=----L L L 2222,112,112,212,222,112,1122,12, ()()() ()n n n n n n n n n n n n n n n n nk m y k m y k m y k m y ωωωω--------------⎫⎬-++-=----L L ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭④任意给定1,n n y y -两组线性独立的值()()111,n n y y -和()()221,n n y y -，例如可令对于给定的以上两组值，从方程组④解出其余2n -个()1,2,,2j y j n =-L的两组解，分别记作()1j y 和()2j y ，与⑤组合为第一主振型和第二主振型此组合的第一主振型和第二主振型显然不是唯一的，为保证它们之间满足正交性条件，将()2Y 改为(2)(1)Y cY +也是方程④的解，c 由以下正交性条件确定解出待定系数c从而得到相互独立且正交的第一主振型和第二主振型。