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构造函数法证明不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法
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≤0,对任意正数 a、b,若 a<b,则必有(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
( A)af (b) ≤bf (a) ( B)bf (a) ≤af (b) ( C)af (a) ≤f (b) bf (b) ≤f (a)
2、( 2007 年,安徽卷)已知定义在正实数集上的函数
其中 a>0,且
,求证:
(D)
3、已知函数
,求证:对任意的正数 、 , 恒有
1、从条件特征入手构造函数证明 【例 1】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 x >- 恒成立,且常数 a, b 满足 a>b, 求证:. a >b
【变式 1】若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 > ,且 为奇函数 .
求不等式
< 的解集 .
【变式 2】若函数 y= 是定义在 上的可导函数且满足不等式 > .
求不等式 的解集 .
2、移项法构造函数 【例 2】已知函数 ,求证:当 时,恒有
分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数
,从其导数入手即可证明。 3、作差法构造函数证明 【例 3】已知函数
求证:在区间 上,函数 的图象在函数
的图象的下方; 分析:函数
图象在函数 的图象的下方 问题,设
构造函数法证明不等式的八种方法
利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、 导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。
解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调 性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是 用导数证明不等式的关键。
4、换元法构造函数证明 【例 4】( 2007 年,山东卷)证明:对任意的正整数 n,不等式
都成立 . 分析:本题是山东卷的第( II )问,从所证结构出发,只需令
,则问题转化为:当 时,恒有 成立,现构造函数 ,求导即可达到证明。
5、对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 【例 5】证明当
6、构造形似函数 【例 6】证明当 7、构造二阶导数函数证明导数的单调性 【例 7】已知函数
继续阅读
(1) 若 f(x) 在 R 上为增函数 , 求 a 的取值范围 ;(2) 若 a=1, 求证 :x > 0 时 ,f(x)>1+x
8、主元法构造函数 【例 8】(全国)已知函数
(1) 求函数
的最大值; , 证明 :
(2) 设
. 【思维挑战】
1、( 2007 年,陕西)
是定义在( 0,+∞)上的非负可导函数,且满足
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