第四章 平稳随机过程
第一节 平稳过程的概念
一、两类平稳过程 1.严平稳过程
定义1 设
为随机过程，如果对任意正整数n 及任意
，
及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量
与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即
的n 维分布函数Fn 满足：
),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切
,2,1,=i x i 成立
则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。
定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有
证：首先利用柯西—许瓦兹不等式
可以证明 ，即自相关函数存在。
又由于 为严平稳过程，故对任意
有相同的分布，
所以
再由s 、t 的任意性可知
又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有
))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是
[])
,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程
定义2 设有随机过程
，且对任意t ，
，如果
)
(),()(ττμX X X R t t R t =+=常数
则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。
以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。
严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征
设
为平稳过程，且
，则
)]([t X E X =μ为常数，称其为均值。
)]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数）
)]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）
)]([2t X D X =σ为常数，（方差）
])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=为τ的一元函数，（自协方差函数） 它们之间有以下关系：
（3）2)()(X X X R C μττ-=
事实上，])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=2)]()([X t X t X E μτ-+=2)(X
X R μτ-= 例1：（随机热噪声）
设
是两两不相关的随机序列，即对任意
。
又设对任意的正整数n, ，于是自相关函数为
且均值函数
，故 为平稳过程。
例2.（随机相位波）
设
其中A ，ω为常数， 证明
为平稳过程。
证：由于 即其概率密度为
于是
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++⋅+=+∧
∧)cos()cos(),(θτωωθωτt A t A E t t R X
⎰+∞
∞
-+++=θθθωτωθωd f t t A )()cos()cos(2
⎰+++=π
θθωτωθωπ20
2
)cos()cos(2d t t A
⎰
+++=π
θωτθτωωπ
20
2]cos )22[cos(4d t A
τωcos 2
2A =（仅与τ有关）
例3.（随机电报信号）
考虑随机过程
，其状态空间X={-1,1}，并对任意
有 ，并假定对任意的t 和△t ，在区间(t, t+△t)
内X(t)正、负号变化次数
为常数。讨论
。
解：
当0≥τ时，事件
}
)()({}1)()({同号与ττ+==+t X t X t X t X ∞
===∆+=0}2)({}),()({k k N t t t t X τ上符号变化偶数次在
于是 ∑∞
=∞===⎭⎬⎫⎩⎨⎧===+00}2)({2)(}1)()({k k k N P k N P t X t X P τττ
∑∞
=-=02)!
2()(k k e k λτ
λτ 同样分析，事件
}
)()({}1)()({异号与ττ+=-=+t X t X t X t X ∞
=+==∆+=0}12)({}),()({k k N t t t t X τ上符号变化奇数次在
于是.
∑∞
=∞=+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==-=+0
0}12)({}12)({}1)()({k k k N P k N P t X t X P τττ
∑∞
=-++=0
12)!12()(k k e k λτ
λτ
进而便得
}1)()({1}1)()({1)]()([),(=+⨯+-=+⨯-=+=+ττττt X t X P t X t X P t X t X E t t R X
∑∑∞=-∞
=-+++-=02012)!
2()()!12()(k k k k e k e k λτ
λτλτλτ ∑∑∞=-∞
=-+-++-=0
2012)!2()()!12()(k k k k e k e k λτ
λτλτλτ
τ
λλτλτλτλτ
λτ220
!)(----∞
=-===-=∑e e e e k e
k k 当0<τ时，只要令τ+='t t ，则有
)]()([),(),(τττ-''='-'=+t X t X E t t R t t R X X
τ
λτλτ2)(2))](()([---==-+''=e
e t X t X E 总之，)(),(2τττλX X R e t t R ==+-
故
为平稳过程。
三、联合平稳过程
