由一道课本习题引发的教学反思

二 、错 因 剖 析
原因 １ 学生受思维定 势的影响 ，机械模仿．因为在 “ 对立 事 件 ”这 节课 中 ，课 本 给 出的 例题 ，在 求 “ 至 少 …… ” 、 “ 至 多 ……”等事件 的概 率时 ，一般通过先 求其对 立事件 的概率来
解 显得 简便．而本 题恰好 相反 ，学生 不分情 况仍生 搬硬套 导致
有２ 封信与信封标号一致” ，Ｂ＝“ 恰有 ３ 封 信与信封标号一致” ， Ｃ＝“ 恰有 ４封信与信封标号一致 ” ，即 “ ５封信与信封标 号都一
．故 Ａ＋ ＋Ｃ即为事 件 “ 至少 有两 封信与信 封标号 一致 ” ， 笔者在讲 了 “ 对立事件”这节课 唇，布置了一道课本习题 ： “ 今 致 ”
不 同的装法种数 ａ ｓ ＝５ １ 一ｃ ｌ ａ ４ 一ｃ ； ｎ ３ 一ｃ ； 啦一１ ＝４ ４ ．记事件 Ａ ＝
学生作业本上典 型的错误 解法是 ：记事件 Ａ＝“ 至少有两封 信与信封 的标号一致 ” ，则 其对立 事件为 ＝“ 没有一 封信与信
封的标号一致” ，然后根据 Ａ） ＝１ 一Ｊ Ｄ （ Ａ） 计算．
错 误．
“ 至少有 两封信 与信 封 的标 号 一致 ” ，Ｂ：“ 恰有 一 封信 与信 封
标 号一致 ” ， Ｃ＝“ 没有一 封信 与信封 的标号一致” ，即 “ ５封信与
信封标号都不同” ，事件 Ａ的对立事件 为 “ 至多有一 封信 与信 封
的标 号一 致 ” ，即 事 件 ＋Ｃ，显 然 事 件 Ｂ、Ｃ互 斥 ，故 Ｐ （ Ａ） ＝ Ｐ （ ｃ） －１ 一
摘 要 ：由一 道课本 习题 的批 改 ，剖析 了学生 产生错误 的原
三 、解 法探 究
因 ，对正确 解法进行 了深入探Hale Waihona Puke Baidu究 ，并从备课 、渗透数 学思想方 法与数 学文化等方 面进行 了反思．
关键词 ：课本 习题 ； 数 学思想方法；教 学反 思
探究 １ 由于求 “ ５封信 与信 封标 号都不同的装法种数”确 有 一定难 度 ，能否反难则正 ，直接从正面人手思考 ，记 Ａ＝“ 恰
有 一封信 与信封 的标 号一致 ”两种情况 ．
１ ７ ４ ８ ） 的儿 子丹 尼尔 ・ 伯努 利 （ Ｄ ａ ｎ ｉ ｅ ｌ Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ ，１ ７ ０ ０ —１ ７ ８ ２ ）
原因 ３ 分类 计数原理与分 步计数原理不会灵 活应用 ，在求 提 出来 的 ，大意 如下 ：“ 一个人写 了 ｎ封不 同的信及 相应 的 ｎ个 “ 没有一封 信与信封的标号一致 ”这一事件所 包含的基本事件数 信 封 ， 他 把 这 ｎ封 信 都 装 错 了 信 封 ， 问 都 装 错 信 封 的 时发生困难 ． 事实上 ，这属于全错位排列 问题 ，其难度 已超 出学 装 法 有 多少 种 ？ ” 这个 问题 曾被 著名 数 学 家 欧拉 （ Ｌ ｅ ｏ ｎ ｈ ａ ｒ ｄ ，
与信 封标号都不 同的装法种数 ” ，设 “ ｉ 封信与信封 的标号都 不
同的装法 种数 ”为 （ ｉ ＝２ ，３ ，４ ，５ ） ，用 枚举 法易得 ａ ｓ ＝１ ，
、
错 解 呈 现
ｓ ：２ ａ ．现在先求 ａ ４ ，显然 ４封信 分别装入 ４个信封 的装法种 数 共有 ＝４ １种 ，它们可 以分成 以下 四类 ：４封信都与信封标 号 不 同 ，恰有 ３封信 与信封标 号不 同，恰有 ２封信 与信封标 号不 同 ，４封信都 与信封标号 相同．于是 有 ４ Ｉ －ａ ４ ＋ｃ ； Ⅱ ３ ＋Ｃ ｊ ｏ ， ２ ＋１ ， 所以ｏ ４ ＝４ １ 一Ｃ １ ｓ —ｃ ａ ； 啦一１ ＝９ ．同理可得 ，５ 封信 与信 封标 号都
一
至少有两封 信与信封标号 一致的概率 ． ”批改作业 后 ，这道题错 误率之 高出乎笔者 的意料 ，为什么这 样一道 “ 朴实无 华 、平淡
无奇 ”的题 目有如 此多 的学 生犯错 ？这引起 了笔者深 深的思考
和强烈的探究愿望．
一
’
Ａ；一 １ ２ ０’
探 究 ２ 若先求其 对立 事件 的概 率 ，则关 键是求出 “ ５封信
生平时的解 题水平 ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ２ — １ ６
Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ，１ ７ Ｏ ７ 一ｌ ７ ８ ３ ） 称为 “ 组合数 论 ”的一个妙 题．很 多数 学
作者简 介：施 永新 （ １ ９ ６ ３ 一） ，男 ，江苏海 门人 ，副教授 ，主要 从事数学教育与数 学教 育技 术研 究
１ ７
中国
２ ０ １ ３年 第 ９期
Ｚ ＨＯＮＧＧＵＯ Ｓ ＨＵＸＵＥ Ｊ Ｉ Ａ０ＹＵ
参考书上都用容斥 原理解这个 问题 ，求得 ｎ 封 信与信封标号 都
＾ ５
一
（ 原因 ２ 学生不善于正确地将一个 复杂事 件分解成几个互斥 ｌ—Ｐ
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事件的和 ，不会 正确地表述一个事件 的对立事件． “ 至少有两封
探究 ３ “ ５ 封信 与信 封标 号都不同的装法种数” ，其 实是数 信与信封的标号一致 ” ，其对立事件应是 “ 至多有一封信与信封 学史上有名的 Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ — Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 装错信封 问题 的特例 ，装错信封问 的标号一致 ” ，即包含 “ 恰有一封信 与信 封的标号一致 ”和 “ 没 题是 由当时著名 数学家约翰 ・ 伯努利 （ Ｊ ｏ ｈ ａ ｎ ｎ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ ，ｌ ６ ６ ７ —
Ｂ＋Ｃ ） ＝ Ｊ ｐ （ Ａ） ＋Ｊ ｐ （ ＋ 有标号 为 １ ，２ ，３ ，４ ，５的五封信 ，另有 同样标号 的五个信封． 又显然事件 Ａ、Ｂ、Ｃ彼此互斥，所以 Ａ＋
现将五 封信任意地装 人五个 信封 中 ，每个信 封装一封 信 ，试求 “ ｐ ｆ 、 一 墨 — — ＋ 王 — 一 ＋＿ ｌ ＿ ， 一 Ｌ