直线和圆的位置关系重难点突破
一、直线和圆位置关系的分类及数量刻画
突破建议：
1．为了更好地帮助学生理解直线和圆的三种位置关系，教学中教师应该抓住现实生活中的具体实例，向学生展示；也可以从动态角度看，将直线和圆作相对运动，在动态变化中观察体会直线和圆的三种位置关系．
2．教学中，教师可借助信息化手段，演示直线和圆的位置变化，利用计算机软件的测量功能，实时测量圆半径的大小和圆心到直线的距离，并测算它们的数量关系，以帮助学生认识其中的规律．
例1已知⊙O的半径r=5cm，圆心O到直线l到的距离为d，则
(1)当d=7cm时，直线l与⊙O；
(2)当d=5cm时，直线l与⊙O；
(3)当直线l与⊙O相交时，直线l与⊙O有个公共点，d的取值范围是．
解析：
（1）、（2）两个小题直接由数量关系进行位置关系的判断，而第（3）小题则是从位置关系出发，进而推得d与r的数量关系，从不同角度设计直线和圆的位置关系问题，可以加深学生的理解．
例2如图1，已知Rt△ABC的斜边，直角边．
(1)以为圆心，半径分别为2cm，4cm的两个圆与直线有怎样的位置关系？
(2)以B为圆心，当半径为多长时，与相切？
解析：
第（1）题先由勾股定理求得BC边的长为3cm,即圆心B到直线AC的距离为3cm,再由其与半径的数量关系进行位置关系的判断，分别为相离和相交；第（2）小题则是从位置关系出发，进而推得BC与r的数量关系，从两个角度设计问题，可以加深学生对直线和圆位置关系的理解．
二、直线和圆位置关系的判定与性质
突破建议：
1．在研究直线和圆的位置关系时，是从其几何特征（公共点的个数）和代数特性（圆心到直线的距离与半径的关系）两个角度来刻画的．教学中可以类比点与圆的位置关系，让学生思考直线和圆有怎样的位置关系，以强化分类讨论问题的思想．在师生共同总结归纳三种等
价关系的结论后，教师应该设计一些不同形式的训练习题，从不同角度加强直线和圆位置关系的理解．例如可以通过编制不同类型的习题，如判断题、选择题等及时检测学生对知识的理解掌握情况．
2．在运用直线和圆的位置关系的判定与性质解决综合性较强的问题时，要注意前后知识的联系，并能做到用运动变化的观点看待问题．在解决具体问题过程中，始终把握好两个关系（位置关系与数量关系）之间的等价关系．
例3如图2，已知∠AOB=30°，M为OA边上一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M．若点M在OA边上运动，则当⊙M与OB相切时，求OM的长．
图2
解析：作MP⊥OB，当⊙M与OB相切时，意味着点M到直线OB的距离等于⊙M的半径，即MP=2cm，因为∠AOB=30°，∠MPO=90°，所以OM=4cm．本题将动态变化的图形静态化，综合使用了含特殊角的直角三角形的性质及直线和圆位置关系的判定，从而解决问题．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 （第2课时） 一、教学目标 【知识与技能】 能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。 【过程与方法】 经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯. 【情感态度与价值观】 体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性. 二、课型 新授课 三、课时 第2课时,共3课时。 四、教学重难点 【教学重点】 切线的判定定理及性质定理的探究和运用. 【教学难点】 切线的判定定理和性质的应用.
五、课前准备 课件、图片、圆规、直尺等. 六、教学过程 （一）导入新课 教师问：转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2） 学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的． （二）探索新知 探究一切线的判定方法 教师问：如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4） 学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径． 由d=r得到直线l是⊙O的切线． 教师问：已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）
教师作图,学生观察并思考： （1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 出示课件6：教师归纳: 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 应用格式: ∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A, ∴BC为⊙O的切线. 教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？（出示课件7） 学生观察交流后口答：(1)不是,因为没有垂直. (2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A. 教师强调：在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线. 教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8） 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线;
24．2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系 教学目标 1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系． 2．理解记忆割线、切线、切点等概念． 3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系． 预习反馈 阅读教材P95～96，完成下列知识探究． 1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离． 4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交?d ＜r ；直线l 和⊙O 相切?d ＝r ；直线l 和⊙O 相离?d ＞r ． 例题讲解 例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程． (1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm. 【解答】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交． 【跟踪训练1】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆． 当r 满足0 第 1 课时直线和圆的地点关系 教课目的 1.使学生从详细的案例中认知和理解直线与圆的三种地点关系并能归纳其定义。 2.让学生经过察看、看图、列表、剖析、对照，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数目关系， 揭露直线和圆的关系。 3.经过“类比转变”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是广泛联系、互相转变的辨证唯心主义思 想。要点：直线和圆的三种地点关系 难点：直线和圆的三种地点关系的性质与判断的应用。 课前准备 师：多媒体课件、圆规、直尺生：直尺、圆规、硬币 教课过程 【教课备注】一、创建情境，引入新知 【教课提示】 海上日出是特别壮美的情景，再配以巴金的《海上日出》中那优美的语句。播放一轮红日从海平面升起的照片抽象出直线与圆都有哪几种地点关系，引入新知。 二、目标导学,研究新知 目标导学 1 ：正确地察看出圆相关于直线运动的过程中，有几种地点关系？ 问题 1 ：假如我们把太阳当作一个圆，地平线当作一条直线，那你能依据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种地点关系吗？ 问题 2：请同学在纸上画一条直线，把硬币的边沿看作圆，在纸上挪动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化状况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？多媒体出示图片， 告诉学生察看任务，引出课题。 【教课提示】 教师用多媒体演示。 【教课说明】学生着手操作、察看、发现、归纳出直线和圆的公共点个 问题3：依据上边你的察看发现结果，你以为直线与圆的地点关系能够分为几类？你数的变化状况. 分类的依照是什么？分别把它们的图形在底稿纸上画出来。 填一填：请自学课本P96 页上半部分，并达成下表。 【教课说明】让学 生先自主研究，再 小组合作，剖析、 总结、沟通。 判一判：（ 1 ）直线与圆最多有两个公共点. （ 2）若直线与圆订交，则直线上的点都在圆上. （ 3）若 A 是⊙ O 上一点，则直线AB 与⊙ O 相切 . （ 4）若 C 为⊙ O 外一点，则过点 C 的直线与⊙ O 订交或相离 . （ 5）直线 a 和⊙ O 有公共点，则直线 a 与⊙ O 订交 . 教师重申：依据直线与圆的地点关系的定义，能够从公共点的个数来判断，但这不常用。 目标导学 2 ：类比点与圆的地点关系研究直线与圆的地点关系的性质与判断方法 问题1：方才同学们用直尺在圆上挪动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化 外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数目关系呢？ 问题 2：如何用量d( 圆心与直线的距离) 来鉴别直线与圆的地点关系呢？ 【教课提示】判一 判第（ 5）小题学 人教版初三数学上册直线和圆的位置关系及其判定的教学反思 《直线和圆的位置关系》教学反思 我用动画引入直线和圆的交点个数，学生的注意力被集中，然后把这一现象转化为研究直线和圆的问题上来，好奇心被调动起来，学习的积极性很高.在探索直线和圆的位置关系时注意数与形的结合，利用公共点的个数来判断直线与圆的位置关系是从型的角度来判断的，利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断是从数的角度来判断的，前者比较直观，后者是最常用的一种判断方法,两种方法相互结合有利于学生更好的掌握.从学生的课堂反应情况来看，基本完成了所设计的教学目标，尤其学生的自主学习和小组合作效果很好，发挥了小组的群体作用.但学生利用圆心到直线的距离与半径的数量关系判断直线与圆的位置关系运用依然不熟练，应继续强化训练. 通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点： 1、教学目标明确，重难点突出，教学环节环环相扣，具有很强的逻辑性，探究新知过程适合学生的发展规律。 2、在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。 3、新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学， 为此，在小组汇报结论之后我及时地进行总结归纳，让学生在以后解决实际问题过程中能一下子找到切入点，培养学生解决实际问题的能力。 4、小组合作中，团队精神发挥得很好 同时，我也感觉到本节课的教学有不妥之处，主要有以下几点：1、对于我们学生的情况，初三的教学始终没有摆脱灌输式教学，尽管课上也让学生自主操作、思考，但老师讲的太多，没有给予学生足够 九年级上册数学重难点题型全攻略 一、直线与圆的位置关系 重点掌握直线与圆的相切、相交、内含三种位置关系的判定方法及位置关系，并理解垂直于半径并且过半径外端点的直线是圆的切线，切线长相等． 二、三角形的重心与外心 重心：三条中线的交点；外心：三条垂直平分线的交点．掌握三角形重心和外心的位置及确定方法． 三、函数与图像的关系 函数是研究变量与图像间的对应关系，要善于从函数的角度研究图像，从图像的角度研究函数关系．学会从图像中获取信息，体会数形结合思想． 四、锐角三角函数的应用 重点掌握锐角三角函数的定义及运用．锐角三角函数是解直角三角形中重要的恒量，经常在计算、证明等题中出现，要注意这些知识点的运用． 五、圆与正多边形 圆是一种特殊的曲线，它具有一切曲线的性质；正多边形是特殊的平面图形，每个内角都相等，每个外角都相等且和为360°，它有许多特殊的性质．在计算、证明中经常遇到，要善于运用所学过的知识点解决问题． 六、概率与统计初步 这部分涉及较多的概念，要对这些概念正确理解，并能熟练运用．在解决问题时，要善于从统计和概率的角度去分析问题． 七、相似三角形的应用 相似三角形是特殊的三角形，要掌握它的特殊性质及运用．在解直角三角形中经常用到相似三角形；在解含字母的图形问题时，也经常用到相似三角形；在求多边形的面积时，也经常先化为若干个三角形，利用相似三角形的性质求出每一个三角形的面积，再求出多边形的面积．这部分涉及到的知识点较多，在中考中经常出现，必须熟练掌握． 八、解直角三角形的应用 解直角三角形是重要的知识之一，在解直角三角形时，要灵活运用各种方法．如：勾股定理、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中经常出现，必须熟练掌握． 九、圆锥的侧面积与全面积 圆锥的侧面积与全面积是立体几何初步中的重要知识之一．在计算圆锥的侧面积和全面积时，要灵活运用各种方法．如：扇形的面积公式、直角三角形的面积公式等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中也经常出现，必须熟练掌握．十、圆的切线性质与判定 圆的切线性质与判定是重要的知识之一，在解决圆的切线问题时，要灵活运用各种方法．如：切线的判定定理、垂直于半径且过半径外端的直线是圆的切线等．这部分涉及到的知识点较多，在中考中也经常出现，必须熟练掌握． 24.2.2 直线和圆的位置关系 一、教材分析 1 、教材的地位和作用。 圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用. 2、教学目标： 根据学生已有的认知的基础及本课的教材的地位、作用，依据教学大纲的确定本课的教学目标为： （1）知识目标： a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。 b、根据定义来判断直线和圆的位置关系， 会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。 c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。 2）能力目标： 让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。此外，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳的思想的认识。 3）情感目标： 在解决问题中，教师创设情境导入新课，以观察素材入手,像一轮红日从海平面升起的图片，提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆的公共点的变化。 3.教材的重点难点 直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。 4.在教学中如何突破这个重点和难点 解决重点的方法主要是：（1）由学生观察老师展示的一轮红日从海平面升起的照片提出问题，能不能我们学过的知识把它们抽象出几何图形再展示出来（让学生尝试通过日出的情境画出几种情况），(2)把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种位置关系。是什么？）。 在说直线与圆的位置关系时，如何突破这个难点：（1）突破直线和圆不能有两个以上的公共点，让学生讨论，最后明确否定（因为直线和圆有三个或三个以上的公共点，那么这与不在同一条直线上的三点就可以作一个圆，相矛盾）。 (2)把直线在圆的上下移动，引导学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，并让他们发现直线与圆的公共点的个数，揭示直线和圆相交、相切、相离的定义，归纳直线和圆的三种位置关系。 （3）突破直线和圆有唯一一个公共点是直线和圆相切（指直线与圆有一个并且只有一个公共点，它与有一个公共点的含义不同）。 （4）突破直线和圆的位置关系的（如果圆O的半径为r，圆心到直线的距离为d，1,直线l与圆 O相交 <=> d 直线和圆的位置关系重难点突破及预设方案 （二）、提供平台引导探究 让学生在练习本上画一个圆，把直尺当作直线，移动直尺，观察直线和圆的位置。并在练习本上画出直线和圆的几种不同的位置关系。然后我请同学到黑板上把自己所画的展示出来。共同得出直线和圆的三种位置关系。(板书：相离，相切，相交) 观察⊙0与直线L的运动 由上观察归纳得： （1）直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。 （2）直线与圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线 （3）直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 思考：直线与圆有第四种关系吗？即直线与圆是否有第三个交点？ 练习一：判断正误： 1直线与圆最多有两个公共点（） 2若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。（） 3若A、B是⊙O外两点，则直线AB与⊙O相离。（） 4若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。（） 练习二：生活中还有哪些例子,都给我们直线与圆的位置关系的印象.你能举出1—2个实例吗? (展示课件切割钢管) 问题1：能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？-------直线与圆的公共点的个数 问题2：是否还有其它的方法来判断直线与圆的位置关系？ 直线与圆的位置关系： d表示圆心O到直线L的距离，r表示⊙O的半径 当d>r时，直线L与⊙O相离 当d=r时，直线L与⊙O相切 当d 2021 中考数学难点突破：圆相关的位置关系〔含答案〕1•在Rt^ABC 中，/ C= 90° BC = 3 cm, AC = 4 cm,以点C 为圆心，以2.5 cm 为半径画圆，那么O C与直线AB的位置关系是〔〕 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.如图，点P在O O夕卜，PA、PB分别与O O相切于A、B两点，/ P= 50 °那么/ AOB 等于〔〕 第2题图 A. 150° B. 130° C. 155° D. 135° 3.如图，圆O是Rt A ABC的外接圆，/ ACB = 90° / A = 25。过点C作圆O的切线, 交AB的延长线于点D，那么/ D的度数是〔〕 第 3 题图 A. 25° B. 40° C. 50° D. 65° 4•如图，AB是O O的直径，AC切O O于点A , BC交O O于点D，假设/ C = 70 °那么 / AOD的度数为〔〕 A. 70° B. 35° C. 20° D. 40 ° 第 4 题图 5•如下图，AB是O O的直径，点C为O O外一点，CA , CD是O O的切线，A, D为切点，连接BD，AD，假设/ ACD = 30°那么/ DBA的大小是〔〕 第5题图 A. 15° B. 30° C. 60 ° D. 75° 6.如图，O O过正方形ABCD的顶点A、B,且与CD相切，假设正方形ABCD的边长为2,那么O O的半径为〔〕 A. 1 B. -2 C.4 D. 5 第6题图 7•如图，AB为O O的直径，AB = 6, AB丄弦CD，垂足为G, EF切O O于点B ,Z A =30°连接AD、OC、BC.以下结论不正确的是〔〕 第7题图 A. EF // CD B. △ COB是等边三角形 C. CG= DG D. BC 的长为2 n 8•如图，O O 是厶ABC 的内切圆，假设/ ABC = 70。，/ACB = 40。，那么/ BOC = _____ 第二十四章圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 学习目标：1.了解直线和圆的位置关系． 2.了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念． 3.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的 数量关系． 4.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算． 重点：理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系． 难点：会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算． 一、知识链接 1.点和圆的位置关系有几种(画图表示)？ 2.如何用数量关系来判断点和圆的位置关系呢？ 二、要点探究 探究点1：用定义判断直线与圆的位置关系 问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ 要点归纳：如图1，直线和圆没有公共点，我们说直线l与圆相离； 如图2，直线和圆只有一个公共点，我们说直线l与圆相切，直线l叫做圆的切线，这个点叫做切点； 如图3，直线和圆有两个个公共点，我们说直线l与圆相交，直线l叫做圆的割线. 判一判 1.直线与圆最多有两个公共点. ( ) 2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. ( ) 3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切. ( ) 4.若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离. ( ) 5.直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交. ( ) 探究点2：用数量关系判断直线与圆的位置关系 问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？ 要点归纳：设圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有： ＜r； ＝r； ＞r； 练一练 1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： (1)若d=4cm，则直线与圆，直线与圆有个公共点. (2)若d=6cm，则直线与圆，直线与圆有个公共点. (3)若d=8cm，则直线与圆，直线与圆有个公共点. 2.已知⊙O的半径为5cm，圆心O与直线AB的距离为d，根据条件填写d的范围： (1)若AB和⊙O相离，则； (2)若AB和⊙O相切，则； (3)若AB和⊙O相交，则 . 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm． 方法总结：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d. 【变式题1】Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？ 【变式题2】Rt△ABC，∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆 24.2.2直线和圆的位置关系 前事不忘，后事之师。《战国策·赵策》 圣哲学校蔡雨欣 第1课时直线和圆的位置关系 【知识与技能】 掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法. 【过程与方法】 通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想. 【情感态度】 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 【教学重点】 直线与圆的三种位置关系及其数量关系. 【教学难点】 通过数量关系判断直线与圆的位置关系. 一、情境导入，初步认识 问题1 在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？ 问题2 在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙，你能发现钥匙在移动的过程中，它与直线l的公共点的个数的变化情况吗？ 【教学说明】 从人们常见的太阳的东升西落的问题开始，然后学生通过移动钥匙环，亲身 体会到现实生活中的数学知识，更加形象地表明了直线和圆的位置关系.先由学生交流、操作，观察发现直线与圆的位置关系，可让同学分别演示每一种情况，并写出交点的个数. 二、思考探究，获取新知 1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念 由前面的两个探究情景可知：直线与圆有如下三种位置关系： 如图（1），直线l与⊙O有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，直线l叫做⊙O的割线. 如图（2），直线l与⊙O只有一个公共点，这时我们说直线l与⊙O相切，直线l叫做⊙O的切线，这一个公共点叫做切点. 如图（3），直线l与⊙O没有公共点，我们说这条直线l与⊙O相离. 【归纳结论】用直线和圆的交点个数可确定直线与圆的位置关系. ①直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交. ②直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切. ③直线与圆没有公共点时，直线与圆相离. 【教学说明】 这里归纳总结这个结论，是为了让学生能更好的掌握用直线与圆交点个数的方法，来确定直线与圆的位置关系.但判断直线与圆的位置关系常用的方法是下面讲述的数量关系. 2.直线和圆的位置关系的性质和判定 思考在上面的图（）、（2）、（3）中，设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的三种不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来你能根据d与r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？（学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.） 【归纳结论】直线l与⊙O相交d＜r；（两个交点） 2023年人教版初中九年级数学直线和圆的位置关系（精华版教案三） 学习目标： 1．了解直线和圆的位置关系的有关概念． 2．理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有： 直线L和⊙O相交 d l (a) (b) 相离相交 (c) （2）如图，在纸上画一条直线 L ，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线L 的公共点的个数吗？ 发现：直线与圆有如下三种位置关系： 归纳：直线和圆有两个公共点，直线和圆 ，这条直线叫做圆的 ． 直线和圆有一个公共点，直线和圆 ，•这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 ． 直线和圆没有公共点，这条直线和圆 ． 探究2: 设⊙O 的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d ，•在直线和圆的不同位置 关系中，d 和r 具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d 和r 的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？ （a ） （b ） （c ） 直线L 和⊙O 相交 d r ，如图（a ）所示； 直线L 和⊙O 相切 d r ，如图（b ）所示； 直线L 和⊙O 相离 d r ，如图（c ）所示． 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1．圆的直径是13cm ，如果直线与圆心的距离d 分别如下，判断直线与圆的位置关系？并说明公共点的个数. ⑴ 4.5cm ⑵ 6.5cm ⑶ 8cm 24．2点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.1点和圆的位置关系 1．结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系． 2．知道确定一个圆的条件；掌握三角形外接圆及三角形的外心的概念． 3．掌握反证法，并会应用于有关命题的证明． 阅读教材第92至95页，完成下列问题． 知识探究 1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________. 2．经过已知点A可以作________个圆，经过两个已知点A、B可以作________个圆，它们的圆心在____________________上；经过不在同一条直线上的A、B、C三点可以作________个圆，即不在同一条直线上的________个点确定一个圆． 3．经过三角形的________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的____________的交点，叫做这个三角形的外心． 锐角三角形的外心在三角形________；直角三角形的外心在三角形____________；钝角三角形的外心在三角形________；任意三角形的外接圆有________个，而一个圆的内接三角形有________个． 4．用反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论________________； ②从这个假设出发，经过推理论证得出________； ③由________判定假设________，从而得到原命题成立． 自学反馈 1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是____________． 2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是________．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是________． 义务教育基础课程初中教学资料 24.2．2 直线和圆的位置关系 第一课时 教学内容 1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；•直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念． 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d 直线L和⊙O相交⇔d 学到点和圆的位置关系．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ， (b) (c) 则有：点P 在圆外⇔d>r ，如图（a ）所示； 点P 在圆上⇔d=r ，如图（b ）所示； 点P 在圆内⇔d 点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念. 2. 理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【一】:九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理 点、线和圆的位置关系 一、本节学习指导 和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。本节有配套学习视频。 二、知识要点 1、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有 d＜r ＜====＞点P在⊙O内； d＝r ＜====＞点P在⊙O上； d＞r ＜====＞点P在⊙O外。 注点和圆的位置关系只有在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。 2、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下 （1）相交直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么 直线l与⊙O相交＜====＞ d 3、切线的判定和性质 （1）、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。 4、切线长定理 （1）、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。 （2）、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角。 如右图中圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。 5、过三点的圆 （1）、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （2）、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。如图圆 O是△ABC的外接圆 （3）、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的 交点，它叫做这个三角形的外心。 合作探究 探究点1 直线与圆的三种位置关系及实际应用 知识讲解 (1)直线和圆的三种位置关系: ①相离:一条直线和圆没有公共点. ②相切: 一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点. ③相交:一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. (2)判断直线和圆的位置关系: 设⊙O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d . 直线l 和⊙O 相交r d <⇔； 直线l 和⊙O 相切r d =⇔； 直线l 和⊙O 相离r d >⇔. 注意 要判断一条直线与圆的位置关系有两种方法:一看直线与圆的公共点的个数;二看圆心到直线的距离d 与圆的半径之间的关系. 典例剖析 例1 如下图，在ABC Rt ∆中，cm AC ACB 6,90==∠ ，cm BC 8=，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有何位置关系？为什么？ （1）cm r 4=；（2）cm r 8.4=；（3）cm r 6=. 解析 过C 作AB CD ⊥,垂足为D ，求出CD 的长，比较r 与CD 的大小即可判断⊙C 与直线AB 的位置关系. 答案 如图，过C 作AB CD ⊥于D .在ABC Rt ∆中，cm AC ACB 6,90==∠ ，cm BC 8=，则cm AB 10=. 又BC AC CD AB S ABC ⋅=⋅=∆2 121, 所以BC AC CD AB ⋅=⋅. 即8610⨯=⨯CD ,所以)(8.4cm CD =. （1）当cm r 4=时，r CD >，⊙C 与直线AB 相离. （2）当cm r 8.4=时，r CD =，⊙C 与直线AB 相切. （3）当cm r 6=时，r CD <，⊙C 与直线AB 相交. 类题突破1 ⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，且r d ,是方程02092 =+-x x 的两根，则直线l 为⊙O 的位置关系是________________. 答案 相交或相离 点拨 方程02092=+-x x 的两根为5,421==x x ， 5,4==∴r d 或4,5==r d . 当5,4==r d 时，r d <，直线l 为⊙O 相交； 当4,5==r d 时，r d >，直线l 为⊙O 相离. 探究点2 切线的判定定理 知识讲解 （1）定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （2）在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出圆与直线公共点时，常连接过 点和圆、直线和圆的位置关系一、知识点. 7.三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切 圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫圆的外切三角形 到三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 二、标准例题： 例1：已知⊙O 的半径OA 长为2,若OB ＝3,则可以得到的正确图形可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】解：∵⊙O 的半径OA 长为2,若OB ＝3, ∴OA ＜OB, ∴点B 在圆外, 故选：A ． 总结：本题考查了点与圆的位置关系,解题的关键是根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系,难度不大． 例2：已知AB 是 O 的直径,弦CD 与AB 相交,BAC 40∠=︒． (1)如图,若D 为弧AB 的中点,求ABC ∠和ABD ∠的度数； (2)如图,若D 为弧AB 上一点,过点D 作 O 的切线,与AB 的延长线交于点P ,若DP//AC,求∠OCD 的度数． 【答案】(1)∠ABC=50°,45ABD ∠=︒；(2)∠OCD=25°. 【解析】(1)如图1,连接OD , ∵AB 为直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC=90°-∠BAC=50°, ∵D 为弧AB 的中点,180AOB ∠=︒, ∴ 90BOD ∠=︒, ∵OD OB =, ∴ 45ABD ∠=︒； (2)如图2,连接OD , ∵DP 切 O 于点D , ∴OD DP ⊥,即90ODP ∠=︒． 由DP AC ,又40BAC ∠=︒, ∴40P BAC ∠∠==︒． ∵AOD ∠是ODP 的一个外角, ∴130AOD P ODP ∠∠∠=+=︒． ∴ 65ACD ∠=︒． ∵,40OC OA BAC ∠==︒, ∴40OCA BAC ∠∠==︒． ∴ 654025OCD ACD OCA ∠∠∠=-=︒-︒=︒． 总结：本题主要考查了切线的性质、圆周角定理,圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90° .熟练掌握相关性质和 点、直线与圆的位置关系 历年中考题 1．(2019年，26，14分)如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B. (1)若∠A＝30°，求证：P A＝3PB； (2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝1 2(90°－∠P)成 立．请你写出推理过程． 2．(2020年，26，14分)如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD 的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是EB的中点，∠C＝90°，连接AF. (1)求证：直线CD是⊙O切线； (2)若BD＝2，OB＝4，求tan ∠AFC的值． 考点自测 1．(2016·毕节中考)如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD＝CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过点D作DF⊥AB于点F，∠BCD ＝2∠ABD. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若∠A＝60°，DF＝3，求⊙O的直径BC的长． 2．如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，点D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于点F ，AC ＝FC . (1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长． 3．(2018·毕节中考)如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E ，过点E 作AB 的垂线交AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ，且∠ABG ＝2∠C . (1)求证：EG 是⊙O 的切线； (2)若tan C ＝1 2 ，AC ＝8，求⊙O 的半径． 2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：直线与圆的位置关系（附答案） 1．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（） A．0≤b＜2B．﹣2C．﹣22D．﹣2＜b＜2 2．已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．平行 3．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个 4．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（） A．相交B．相离C．相切D．以上都不是5．已知⊙O的直径为13cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是（） A．相交B．相切C．相离D．相交或相切6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是（） A．r＝B．r＞C．3＜r＜4D． 7．在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（） A．相交B．相切 C．相离D．以上三者都有可能 8．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（） A．以P A为半径的圆B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆 9．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（） A．相交B．相离C．相切D．以上都不是10．如图，已知点A（﹣6，0），B（2，0），点C在直线上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（） A．1B．2C．3D．4 11．半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA＝10，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交12．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（3，4），半径为5，那么y轴与⊙P的位置关系是（） A．相离B．相切C．相交D．以上都不是13．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）人教版数学上册九年级《直线和圆的位置关系》教案
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