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义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
14
二、典型例题
1
计算
x2
L
利用极坐标
,
y2L ds:,r 其a中cLo 为圆s( 周x 2y2)ax.
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
2
原式 = a 2 t sin t d t
0
a2tco tsitn 0 2
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
11
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
A d S(ro A n t)dS (A n )d sdA id vv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
13
（三）场论初步
梯度 graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
7
曲线积分 当R2上平面L时 曲 , 线
f(M)dLf(x,y)d.s
三重积分 当R3上区时 域 ,
f(M)df(x,y,z)dV
曲线积分 当R3上空间时 曲, 线
f(M)d f(x,y,z)d.s
曲面积分 当R3上曲S时 面 ,
f(M)df(x,y,z)dS. S 8
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
4
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
5
（二）各种积分之间的联系
L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
9
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)] 1zx2 zy2dxdy
Dxy
(ds面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
6
积分概念的联系
n
f(M )dl i0m f(M )i,f(M )点函数 i 1
定积分 当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x
a
二重积分 当R2上区D时 域,
f(M)df(x,y)d. D
二代一定 (与方向有关)
3
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
22
ds r2r2d ad
y
Байду номын сангаас
原式 =
L
ax ds
2
2
a2co2s ad
2a2 2 cos d 2a2
o
r t
0
ax
说明: 若用参数方程计算, 则
L : xa 2(1cot)s(0t2)
ya2sint
ds x2y2dt a d t
15
2
2 计算 (2ay)dxxd,y其中L为摆线 L xa(tsitn ), ya(1cot)s
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
1
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
2
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
12
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
LPdQ x d y D( Q x P y)dx或dyLQd P xd y D( P x Q y)dxdy
A(M)为平面向量场
L A 推ds 广D(ro A k t A )d (M x)为 dy空间 L(A 向 n )d量 sD 推d 场 广A id vxdy
其中 L P d Q x d (P c y o Q s c o )dss
PdydQ z dzdxRdxdy
(PcosQcos Rcos)ds
10
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d s bf[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 ))
