《线段的垂直平分线》典型例题教学文案
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《线段的垂直平分
典型例题
典型例题
例1如图,已知:在ABC中, C 90 , A 30 , BD平分ABC交
AC于D.
求证:D在AB的垂直平分线上.
B
分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB的垂直平分线上,只
需证明BD DA即可•
证明::C 90, A 30 (已知),
••• ABC 60 (Rt的两个锐角互余)
又••• BD平分ABC (已知)
1
DBA — ABC 30 A.
••• BD AD (等角对等边)
••• D在AB的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
例2.如图,已知:在ABC中,AB AC,BAC 120,AB的垂直平分线交AB 于E,交BC于F。
求证:CF 2BF
分析:由于BAC 120 , AB AC,可得 B C 30,又因为EF垂直平分AB,连结AF,可得AF BF .要证CF 2BF,只需证CF 2AF,即证FAC 90就可以了.
证明:连结AF,
••• EF垂直平分AB (已知)
••• FA FB (线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等)
•- FAB B (等边对等角)
••• AB AC (已知),
••• B C (等边对等角)
又•••B AC 120 (已知),
••• B C 30 (三角形内角和定理)
••• BAF 30
••• FAC 90
••• FC 2FA (直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半)
••• FC 2FB
说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题.
例3.如图,已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD,交BC延长线于
F,连结AF。
求证: B CAF。
分析:B与CAF不在同一个三角形中,又 B , CAF所在的两个三角形不全等,所以欲证 B CAF,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD,可得FA FD,因此FAD ADF,又因为
CAF FAD CAD,B ADF BAD,而CAD BAD,所以可证明CAF B.
证明:T EF垂直平分AD (已知),
••• FA FD (线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等)•
••• FAD ADF(等边对等角)
••• B ADF BAD (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
CAF FAD CAD,
又BAD CAD(角平分线定义),
••• B CAF
说明:运用线段的垂直平分线的定理或逆定理,能使问题简化,如本例题
中,EF垂直平分AD,可以直接有结论FA FD,不必再去证明两个三角形全例4•如图,已知直线I和点A,点B,在直线I上求作一点P,使PA PB.
分析:假设P点已经作出,则由PA PB,那么根据“到线段两端点距离相
等的点在这条线段的垂直平分线上”可知,点P在线段AB的垂直平分线上•而点
P又在直线I上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线I的交点
作法:1连结AB.
2.作线段AB的垂直平分线,交直线I于点P. 则P即为所求的点.
说明:在求作一个点时,要考虑该点具备什么样的特点,如它到一条线段的两个端点距离相等,它就在连结这两点的线段的垂直平分线上,如果它到一个角的两边的距离相等,它就在这个角的平分线上.