梁的应力及强度计算

Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max

M maxy1 IZ

1106 15.2 25.6 104

59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax

M maxy2 IZ

1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压

23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论：矩形截面最省料；圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上：在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法：
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围： ①弹性范围—正应力小于比例极限； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
M图
20kNm
20kNm
-
-
+
20kNm
50
拉应力对于A或B截面
M图
3.25kNm
15kNm
-
s My 15106 200 13.8MPa压
IZ
2.172 108
习题9-3
❖倒T形梁受力情况及截面尺寸如图， 求最大拉应力和最大压应力之比， 并说明分别发生在何处。
❖解：⑴、作梁的 剪力图和弯矩图
⑵、计算应力
10kN/m
40kN
10kN/m 50
50
sl

20106 (250 96.4) 102 106
30.1MPa
150
拉应力对于D
sl

20 106 96.4 102 106
18.9MPa
压应力对于A或B截面
sy
20 106 96.4 102 106
18.9MPa
压应力对于D截面
sy

20 106 (250 96.4) 102 106

30.1MPa
§9-2 梁的正应力强度条件
• 梁的危险截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上
危险截面位于梁中部
危险截面位于梁根部
• 梁的最大正应力
梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处
一、梁的正应力强度条件
s max
并画出该截面上的正应力分布图。
C截面的弯矩值为
6kN A
CD
a b
B c 20
Mc=1.5kNm ⑵、计算应力
0.5m 0.5m 1m
Q图
+
3kN
3kN
-
M图
+
3kNm
20
d
70
6.56MPa
6.56MPa
IZ

bh3 12

70 140 12
16 10 6 mm 4
sa

MC ya IZ
1.5106 70 16 106
15.1MPa
sy
s l max

MC y2 Iz

10106 139 40.3106
34.5MPasl
梁的弯曲强度不够。
木梁所受荷载如图所示，材料容许应力[σ]=10MPa。试设计如 下三种截面尺寸，并比较用料量：1、高宽比h/b=2的矩形；2、 边长为a的正方形；3、直径为D的圆形。
三种典型截面对中性轴的惯性矩
矩
形 截
Iz

bh3 12
面
实
心 圆
d 4
I z 64
截
面
截面为外径D、内径
d(a=d/D)的空心圆:
Iz

D4
64
(1a 4 )
❖解：1、作剪力图和弯矩图
❖例、简支梁受均布荷载作用， q=3.5kN/m ,梁截面为矩形，
M

1 ql2 8

1 3.5 32 8
B截面
slmax
M B y1 Iz

20106 61 40.3106

30.3MPas
l

s ymax

M B y2 Iz

20106 139 40.3106
69MPa s y
C截面
s ymax

MC y1 Iz

10106 61 40.3106
6.08MPa拉
sB

MyB IZ

3.9106 50 58.32 106
3.38MPa拉
+
1 ql2 8
M图
sC

MyC IZ

3.9106 90 58.32106
6.08MPa压
❖例、简支梁受力如图， P=15kN ,a=2m,l=6m,截面为No20b工字
❖解：⑴、作梁的 剪力图和弯矩图
a)
A
Q图
10kN 10kN
⑵、计算应力
C 0.7m
D 0.7m
B 0.7m
IZ

bh3 12
120 200 12
8 10 7 mm 4
120
10kN
+
-
s上

My IZ


7 106 100 8 107

8.75MPa压
10kN
M图
+
7kNm
d(a=d/D)的空心圆:
Wz

D3
32
(1 a 4 )
二、梁的正应力强度计算
s max

M max Wz
[s ]
1、强度校核: 2、截面设计:
s max [s ]
Wz

M max
[s ]
3、确定梁的许可荷载: M max [s ]Wz
❖例：外伸梁受力、支承及截面尺寸如图。材料的容许拉应力
3.9kNm
b×h=120mm ×180mm,跨度
2、计算应力
l=3m.试计算跨中横截面上A、 B、C三点处的正应力。
Iz

bh3 12
1 12
120 180 3
180
q
58.32 10 6 mm 4
A l
1 ql 2
+
B
Q图
- 1 ql
2
sA

MyA IZ

3.9106 90 58.32 106
6.56MPa压
sb

M C yb IZ
1.5106 50 16 106
4.69MPa压
sc

MC yc IZ
1.5106 0 16 106
0
sd

MC yd IZ
1.5106 50 4.69MPa拉
16 106
习题9-2
❖9-2、试求梁的最大正应 力及其所在位置。
习题8-39
50kN
解：1、求支座反力
30kN RA 10KN RB 70KN
A D
5m
5m
B
C
5m
Mmax MB 150KNm
Q(KN) 10 M(KNm)
2、求弯曲正应力
30
Iz

bh3 12
1 12
156 400 3
40
832 10 6 mm 4
bh2 6

b 4b2 6

2106 mm3
b 3 3 10 2 mm h 23 3 102 mm
正方形
WZ
a3 6
2 106 mm3
a 3 12 102 mm
圆形
WZ

D3
32

2 106 mm3
D 3 64 102 mm

3、比较用料量
A矩 : A正 : A园
A
P
QP
M
Pa
Pa B
P
x P
x Pa
纯弯曲: 某段梁的内力只有弯矩没
有剪力时，横截面上只有正 应力，该段梁的变形称为纯 弯曲。如AB段。 横力弯曲：
某段梁的内力既有弯矩又 有剪力时，横截面既有正应 力又有剪应力，则该段梁的 变形称为横力弯曲。
试验与假设
现象
1
2
c
d
a
b
1
2
1
2
M M
c 1 c
❖截面上边缘有最大压应力， 下边缘有最大拉应力
❖例、梁截面为No10槽钢。试计算悬臂 解：1、作剪力图和弯矩图
梁内最大拉应力和最大压应力。
q=2kN/m
y1
M max

1 2
ql 2

1 2

2 12
1k Nm
A
B 1m
2KN 1KNm
z
y
y2
2、计算梁的最大应力
Iz=25.6×104mm4,y1=15.2mm,
s下

My IZ

7 106 100 2 108

8.75MPa拉
b)
5kN
10kN
A
B
C
D
1.5m
1.5m
1.5m
No40a
Q图
-
2.5kN
10kN 7.5kN
+
❖解：⑴、作梁的 剪力图和弯矩图
⑵、计算应力
由弯矩图可知最大 应力产生B截面上
查表得工字形 Iz=2.1720×108mm4
M
a
b
M
1
2
压缩区 y
Z
中性 轴
拉伸区
二、纯弯曲梁Biblioteka 截面上的应力公式(弯曲正应力)：yyz
距中性轴y处的正应力
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
s My
Iz
横截面上 某点正应力
该截面对中性轴 的惯性矩
s My
Iz
s max

M maxymax Iz
1、纯弯曲梁横截面上某一点的正应力与截面的弯矩和该点 到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯性矩成反比。
[σL]=32MPa,材料的容许压应力[σy]=70MPa,试校核梁的正应 力强度.
q=10kN/m
B
P=20kN
D
A C
2m
3m
1m
IZ 40.3106 mm4 z y1 y1 61mm
y2 y2 139mm
20kNm M图
10kNm
解：1、作剪力图和弯矩图
M B 20KNm MC 10KNm
M max M C 30 KNm
2、求弯曲正应力
I z 23.7 106 mm 4
x ymax 100 mm
x s max

M maxymax IZ

30106 100 23.7 106

126.58MPa
习题9-1
❖10-1 矩形截面简支梁如图，试求C ❖解：⑴、作梁的 截面上a、b、c、d四点处的正应力， 剪力图和弯矩图

M maxymax IZ
令
WZ

IZ ymax
s max

M max Wz
Mmax:梁的最大弯矩；
Wz:截面对中性轴z的抗弯截面系数，它反映了截 面尺寸和形状对弯曲构件强度的影响。
Wz的单位：mm3
梁的正应力强度条件为：
s max

M max Wz

[s
]
用脆性材料制成的梁，由于抗拉与抗压性能不同，即 [σl] ≠ [σy]，故采用上下不对称于中性轴的梁截面形状， 同一截面有两个抗弯系数，如图:
2 d d
a
a
1 1
bb
2 2
M M
中性层：构件内部既不伸长也不 收缩的纤维层。 中性轴：横截面与中性层的交线。
且横 纵 与向 向 轴线 线 线变 由 垂形 直 直前 线 。为 变
直为 线曲 ，线 变。 形 后 仍 为 直 线 ，
假设
①②
平单 面向 假受 设力
假 设
M>0
1
2
c
d
W1

IZ y1
,
W2

IZ y2
z y1 y2
负弯矩情况下：
s l max

M max W1
[s l ]
s
y m ax

M max W2
[s
y]
三种典型截面对中性轴的抗弯截面系数
矩形截面
Wz

IZ ymax

bh3 12
/h 2

bh2 6
实心圆截面
d 3
Wz 32
截面为外径D、内径
第九章 梁的应力及强度计算
❖ §9-1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 ❖ §9-2 梁的正应力强度条件 ❖ §9-3 梁的剪应力强度条件 ❖ §9-4 提高梁弯曲强度的措施
§9-1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、弯曲构件横截面上的应力
M>0
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t M 正应力s
M
M smax
aP
由弯矩图可知最大应力
CA 2m
D
BE
2m 2m
2m
Q图 20kN
+
20kN
+
-
产生A、D或B截面上
50 150
yc

150 50 25 50 200150 150 50 50 200

96.4mm
Iz

150 503 12
150 50 96.4 252
M图
20kN
钢。试计算梁内最大正应力。
解：1、作剪力图 和弯矩图
P
P
M max 15 2 30kNm
A
CD
B
a
a
No20b
❖2、计算梁的最大应力
l
Iz=2500cm4
H=200mm
P
+
Q图
P-
s max

M maxymax IZ

30106 100 25 106
M图
120MPa
+
Pa
Pa
10KN/m 解：1、作剪力图和弯矩图
C
A
20KN 1m
B
D
4m
2m
30KN
30KN
20
20
QKN