地球a
b
c 万有引力航天
一、“中心天体－圆轨道”模型
【应用知识】由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律列出圆周运动的动力学方程。
1、对中心天体可求质量和密度
2、对环绕天体可求线速度、角速度、周期、向心加速度、向心力、轨道所在处的重力加速度
3、可求第一宇宙速度
例1．如图所示，a 、b 、c 是环绕地球在圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们质量关系是m a =m b ＜m c ，则： A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度 B ．b 、c 的周期相等，且小于a 的周期
C ．b 、c 的向心加速度大小于相等，且大于a 的向心加速度
D ．b 所需向心力最小
例2、我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的181 ，月球的半径约为地球半径的14
,地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为( D )
A .0.4km/s
B .1.8km/s
C .11km/s
D .36km/s
二、“同步卫星”模型
同步卫星具有四个一定
1、 定轨道平面
2、 定运行周期：T ＝24h
3、 定运动高度：km R GMT h 4322106.34⨯=-=π
4、 定运行速率：s km /0.3=υ
例3．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12h 内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球的自转周期为T ，不考虑
大气对光的折射。
例4．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2;地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3.地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等.则（ ）
A.F 1=F 2＞F 3
B.a 1=a 2=g ＞a 3 3122)4arcsin(gT R T t ππ=
C.v 1=v 2=v ＞v 3
D.ω1=ω3＜ω2
三、“天体相遇”模型 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近，条件是)3,2,1(221 ==-n n t t πωω 两天体相距最远，条件是)3,2,1()12(21 =-=-n n t t πωω
例5．A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。
（1）求卫星B 的运动周期
（2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星
相距最近（O 、B 、A 在同一直线上）则至少经过多长时间，他们再
一次相距最近？
答案：
四、“地球自转忽略”模型
在地球表面，分析计算表明，物体在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应，近似地认为质量为m 的物体的重力等于所受的地球引力，即2R Mm G mg =。所以，地表附近的重力加速度为2R
M G g =，利用这一思路，可推出“黄金代换式”2gR GM =。若物体在距地面高h 处，则有2)
('h R Mm G mg +=，所以在距地面高h 处的重力加速度为2
)('h R M G g += 例6．“神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为m 的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度时，加速度a=g/2，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的17/16，已知地球的半径为R ，g 为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度。
例7．地球同步卫星到地心的距离r 可由r 3
=2
22π4c b a 求出.已知式中a 的单位是m ，b 的单位是s ，c 的单位是m/s 2.则（ ）
A.a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度
B.a 是地球半径，b
是同步卫星绕地心运动的周期，
c 是同步卫星的加速度
C.a 是赤道周长，b 是地球自转的周期，c 是同步卫星的加速度
D.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度
五、考虑自转模型
指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴（某点）做匀速圆周运动，其特点为
（1） 具有与星球自转相同的角速度和周期
（2） 万有引力除提供物体做匀速圆周运动的向心力外，还要产生重力。
例8．如果一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验，他先利用手表，记下一昼夜的时间T ，然后，用弹簧秤测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力仅为两极的90%。试写出星球的平均密度的表达式。
例9．地球赤道上的物体重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（ ）
A.g /a 倍
B.a a g /）（+倍
C.a a g /）（-倍
D.a g /倍 六、“双星”模型
对于双星问题要注意：
（1） 两星球所需的向心力由两星球间的万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相
等；
（2） 两星球绕两星球间连线上的某点（转动中心）做圆周运动的角速度或周期的大小相
等
（3） 两星球绕转的半径r 1、r 2的和等于两星球间的距离L ，即L r r =+21
例10．在天文学上把两个相距相近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星。已知两颗恒星质量分别为m 1、m 2，两星之间的距离为L ，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度。
例11．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m 。
