【压轴卷】数学高考模拟试题附答案

3
25．已知函数 f (x) | x 1|
（1）求不等式 f (x) | 2x 1| 1的解集 M （2）设 a,b M ，证明： f (ab) f (a) f (b) .
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
基本事件总数 n
C35C
2 2
10
，他第
1 （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径
的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
10．若实数 满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A． C．10
B．1 D．12
11．在同一直角坐标系中，函数
y
1 ax
避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重
点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大
题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以
又 PQ | OF | c ，| PA | c , PA 为以 OF 为直径的圆的半径， 2
A为圆心| OA | c ． 2
P
c 2
,
c 2
，又
P 点在圆
x2
y2
a2 上，
c2
c2
a2 ，即 c2
a2,
44
2
e2
c2 a2
2．
e 2 ，故选 A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
i2 1.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基 础题.
5．A
解析：A
【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 2 种，由排列组合的知识可得，不 同的放法总数是： 2C63 40 种.
(
1 2
,
0）且单调递增，各选项均不符合.综上，选
D.
【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是
不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
12．B
解析：B
【解析】
得到的偶函数解析式为
y
sin
2
x
8
sin
2x
4
，显然
4
.
【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，
考点：古典概型的计算.
7．B
解析：B 【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a 2d, a d, a, a d, a 2d ,则
a 2d a d a a d a 2d ,解得 a 6d ,又
a 2d a d a a d a 2d 5,
a
1,则
a
2d
a
2
为顶点的
三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数
经过平面区域的点 时，
取最大值
.
【点睛】 解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确 程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】 本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选 项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
21．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 .
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
22．已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
6 ，以椭圆的 2 个焦点与 1 个短轴端点 3
为顶点的三角形的面积为 2 2 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为 k 的直线 l 过椭圆的右焦点 F，且与椭圆交与 A, B 两点，以线段 AB 为
直径的圆截直线 x 1 所得的弦的长度为 5 ，求直线 l 的方程．
23．已知函数 f x ax3 bx c 在点 x 2 处取得极值 c 16.
本题选择 A 选项.
6．C
解析：C 【解析】 试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有 36 种，满足|a-b|≤1 的有 （1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）
（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共 16 种情况，则概率为； p 16 4 36 9
14．函数
f
x
x2 2, x 0
的零点个数是________．
2x 6 lnx, x 0
15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2cm ，圆心角为 2 的扇形，则此圆锥的高为 3
________ cm .
a x 1 , x 1
16．已知函数 f (x) (x a)2
，函数 g(x) 2 f (x) ，若函数 y f (x) g(x) x 1
C． 3 i
D． 3 i
5．将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子，每个盒子放一
个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( )
A．40 B．60
C．80 D．100
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数
恰有 4 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为______．
17．如图所示，平面 BCC1B1⊥平面 ABC，ABC＝120，四边形 BCC1B1 为正方形，且 AB＝BC
＝2，则异面直线 BC1 与 AC 所成角的余弦值为_____．
18．已知函数 f (x) x(ln x ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________．
字，把乙猜的数字记为 b，其中 a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵
犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A． 1 9
B． 2 9
C． 4 9
D． 7 18
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙
M N {-2,0,2}，故选 D．
考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．
4．B
解析：B 【解析】
【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最
后结果. 【详解】
由题意得，复数
1
i 2
i3
i
1 i
3i
1
i
3i i
i
3
i ．故应选
B
,
y
loga
x
1 2
(a
0
且
a
1)
的图象可能是
（）
A．
B．
C．
D．
12．将函数 y sin 2x 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，
8 则 的一个可能取值为( )
A．
B．
C． 0
D．
4
二、填空题
13．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
a 6
4 3
a
4 3
,故
选 B.
8பைடு நூலகம்B
解析：B 【解析】 试题分析：集合
考点：集合的交集运算.
9．A
，故选 B.
解析：A 【解析】 【分析】 准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求双曲线的离 心率．
【详解】
设 PQ 与 x 轴交于点 A ，由对称性可知 PQ x 轴，
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五
人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A． 5 钱 4
B． 4 钱 3
C． 3 钱 2
D． 5 钱 3
8．设集合
，
，则
=（ ）
A． B．
C．
D．
9．设 F 为双曲线 C： x2 a2
y2 b2
(1)求 a, b 的值；
(2)若 f x 有极大值 28 ，求 f x 在3,3 上的最小值．
24．如图，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF 平面 ABCD ， EF / / AB ， BAF 90 ， AD 2 ， AB AF 1，点 P 在线段 DF 上.
（1）求证： AF 平面 ABCD； （2）若二面角 D AP C 的余弦值为 6 ，求 PF 的长度.
b
log5
m
，代入化简得到
1 a
1 b
logm
10
2
，得到答案.
【详解】
2a 5b m ，则 a log2 m ， b log5 m ，
故
1 a
1 b
logm
2
logm
5
logm
10
2, m
10 .
故答案为： 10 .
【点睛】 本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
14．2【解析】【详解】当 x≤0 时由 f（x）=x2﹣2=0 解得 x=有 1 个零点；当 x
B．关于 xOy 平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
3．设集合 M {x | x2 2x 0, x R}， N {x | x2 2x 0, x R}，则 M N （ ）
A．0
B．0, 2
C． 2, 0
D． 2,0, 2
4．
1
i 2
i3
i
（
）
A． 3 i
B． 3 i
所以他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率是 p m 3 ． n 10
故选：A． 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根
据排列、组合求得基本事件的总数和第 2 次、第 3 次两次均命中所包含的基本事件的个数 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
【压轴卷】数学高考模拟试题附答案
一、选择题
1．某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命中的
概率是 ( )
A． 3 10
B． 2 5
C． 1 2
D． 3 5
2．在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于 x 轴对称
2
次，第
3
次两次均命中包含的基本事件个数
m C22C13C22 3 ，由此能求出他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率，得到答案．
【详解】
由题意某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，
因为基本事件总数 n C35C22 10 ，
他第 2 次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m C22C13C22 3 ，
2．A
解析：A
【解析】点 P(3,4,5)与 Q(3，－4，－5)两点的 x 坐标相同，而 y、z 坐标互为相反数，所
以两点关于 x 轴对称．
考点：空间两点间的距离.
3．D
解析：D 【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，-2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{ 0，2}，所以
当0
a
1 时，函数
y
ax
过定点 (0,1)
且单调递减，则函数
y
1 ax
过定点 (0,1)
且单调递
增，函数
y
loga
x
1 2
过定点
(
1 2
,
0)
且单调递减，D
选项符合；当
a
1时，函数
y
ax
过定点 (0,1)
且单调递增，则函数
y
1 ax
过定点 (0,1)
且单调递减，函数
y
loga
x
1 2
过定点
＞0 函数 f（x）=2x﹣6+lnx 单调递增则 f（1）＜0f（3）＞0 此时函数 f（x）只 有一个零点所以共有 2 个零点故答案为：
解析：2 【解析】 【详解】
当 x≤0 时，由 f（x）=x2﹣2=0，解得 x= 2 ，有 1 个零点；
当 x＞0，函数 f（x）=2x﹣6+lnx，单调递增， 则 f（1）＜0，f（3）＞0，此时函数 f（x）只有一个零点， 所以共有 2 个零点． 故答案为：2． 【点睛】 判断函数零点个数的方法 直接法（直接求零点）：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的 曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多 少个零点， 图象法（利用图象交点的个数）：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴交点的个数
19．如图，用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使
用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有
种（用数字作
答）．
20．已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 3，外接球的表面积为16 ，则正三棱锥 P ABC 的体积为________. 三、解答题
sin
2x
4
选择合适的
值通过诱导公式把
sin
2x
4
转化为余弦函数
是考查的最终目的.
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案 为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
解析： 10
【解析】 【分析】
变换得到
a
log 2
m
，