数列基础知识点和方法归纳
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数列基础知识点和方法归纳
一.等差数列的定义与性质
定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质:{}n a 是等差数列
(1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;
(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2;
(3)项数为偶数n 2的等差数列{}
n a ,有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ
(4)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,
有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-
练习题:
1.已知}{n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a 等于( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S 等于( ) A .13 B .35 C .49 D . 63
3.已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d = A.-2 B.-
12 C.1
2
D.2 4.在等差数列{}n a 中, 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于( ) A .18 B 27 C 36 D 9
5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++=( ) A .63 B .45 C .36 D .27
6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若535a a =则
9
5
S S = 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若972S =,则249a a a ++=
8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且53655,S S -=则4a =
9、设等差数列}{n a 的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求:}{n a 的通项公式a n
及前n项的和S n ;
10.已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .
二.等比数列的定义与性质
定义:
1
n n
a q a +=(q 为常数,0q ≠),11n n a a q -=.
等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=
,或G =
前n 项和:()11(1)
1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩(要注意!)
性质:{}n a 是等比数列
(1)若m n p q +=+,则m
n p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --,,……仍为等比数列,公比为n q . 注意:由n S 求n a 时应注意什么?
1n =时,11a S =;
2n ≥时,1n n n a S S -=-.
练习题
1.已知a ,b ,c ,d 是公比为2的等比数列,则
d
c b
a ++22等于( ) A .1 B .21 C .41 D .8
1
2.已知}{n a 是等比数列,且0>n a ,243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=,那么53a a + 的值是( )
A .5
B .6
C .7
D .25 3.在等比数列}{n a 中,485756=-=+a a a a ,则10S 等于( ) A .1023 B .1024 C .511 D .512 4.等差数列}{n a 中,1a ,2a ,4a 恰好成等比数列,则
4
1
a a 的值是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
5.等比数列}{n a 中,首项81=a ,公比2
1
=q ,那么它的前5项的和5S 的值是( )
A .231
B .233
C .235
D .237
6.已知等比数列}{n a 中,102=a ,203=a ,那么它的前5项和5S =__________。
7.等比数列}{n a 的通项公式是n n a -=42,则5S =__________。
8.在等比数列}{n a 中,已知5127=•a a ,则111098a a a a •••=__________。 9.设三个数a ,b ,c 成等差数列,其和为6,又a ,b ,1+c 成等比数列,求此三个数。
三.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
如:数列{}n a ,122111
25222
n n a a a n +++=+……,求n a
[练习]数列{}n a 满足1115
43
n n n S S a a +++==,,求n a
(2)叠乘法(累乘法)【形如
()1
n
n a f n a -=】 如:数列{}n a 中,1131
n n a n
a a n +==+,,求n a
[练习]数列{}n a 满足()111
1,2n n n a a a n n
--==
≥,求n a