黑体辐射定律测量
实验报告
课程名称红外与微光
姓名
学号
一、实验名称：黑体辐射功率与温度关系测量
二、实验目的
1、掌握黑体辐射理论；
2、了解空腔黑体；
3、了解热像仪使用。
三、原理
黑体辐射理论是二十世纪初光量子理论的重要起源之一。普朗克(Planck)针对黑体辐射提出了光不连续的能量假设,成功解释了黑体辐射的光谱分布,是光量子的最重要的证据.黑体辐射理论不仅是量子力学和光量子理论的重要基础依据,黑体辐射的重要结论也是现代测量的重要基础. 所谓黑体是指入射的电磁波全部被吸收，既没有反射，也没有透射( 当然黑体仍然要向外辐射)。显然自然界不存在真正的黑体，但有些物体在某些波段上是较好的黑体。例如图1所示的空腔,腔体上开有一个小孔,波长远小于小孔光从小孔入射后,由于腔壁的多次吸收,光基本上被全部吸收．当腔体保持一定的温度时,黑体以确定的谱分布向外辐射电磁能量.
（1）.空腔黑体中的每一个电磁波模式（频率为ν）的可能能量为某一个最小值ε的整数倍ε?
n，…
3，…，ε?
0，ε?1，ε?
2，ε?
（2）. 该最小值正比于频率ν
ν
εh
=
根据以上假设，用统计理论，求得著名普朗克黑体辐射公式：
1
)/exp(85
-=
T k hc d hc
d B λλ
λ
πλρλ
利用该公式，可求得维恩位移定理 λm T=2.898×103 (μm ·K) 和史蒂芬－玻尔兹曼定律
4
)(T
T W σ=
?∞
---?=-=0
4
2
8
3
43
3
..10
687.51
)exp(
8K
m
W x dx x k
c
h B
πσ
本实验项目的任务是用热像仪测量史蒂芬－玻尔兹曼定律。如图所示，黑体辐射经大口径红外锗透镜聚焦，入射到240320?红外焦平面阵列探测器上，阵列探测器输出的信号送入图像采集卡， 再送入计算机内存，经过驱动软件，读出并显示红外图像。
四、实验器材：
热像仪、黑体、图像采集卡、计算机、V型调整架、适配器。
五、实验内容
1、图像灰度积分。
六、实验步骤：
1．固定好热像仪，使镜头正对黑体辐射源的辐射孔。设定热像仪的对比度和亮度均为0（最接近0的值）对热像仪进行校准。
2. 打开黑体，设定好主回路控制值，调节好加热功率。黑体开始升温。
3. 打开采集程序，观察图像是否对准并选择好处理区域，使积分区域位于黑体辐射孔内。记录下积分区域的大小。
4. 待黑体被控对象的测量值到达待测温度后，抓取并保存图像，进行灰度积分，记录好积分结果及对应的温度值。
5. 重复步骤3．4直至测量完所有欲测的温度点。
七、实验数据及结果分析：
1. 实验数据
采集矩形的左上角坐标：X=85，Y=68; 矩形的高度为143，宽度为167；面积：143*167=23881;
2. 绘出黑体辐射灰度积分与温度四次方关系曲线:
数据分析：
1、从黑体辐射灰度积分与温度四次方关系曲线的图形可以看出：（i）当温度从100.8 0C到1450C，即温度的四次方（温度＋273）4从19523478035(K^4)到30528476176（K^4），黑体辐射灰度积分和温度四次方基本满足线性关系；（ii）当温度从1450C到2100C时，黑体辐射灰度积分和温度四次方不满足线性关系，而是黑体辐射灰度积分不随温度的四次方变化,基本稳定在一个值附近。分析：根据史蒂芬－玻尔兹曼定律4
Wσ
=，黑体单位面积发射的辐射功率与其温
(T
T
)
度的四次方成正比。结合实验数据，当温度在100.80C到1450C，测得的黑体辐
射功率和温度四次方成正比，满足史提芬—波尔兹曼定理；当温度在1450C到2100C，测定的黑体辐射功率基本不变，这很可能是因为我们所使用的热像仪等仪器测量达到饱和。
八、实验结论：
1、在仪器工作范围内，我们测得的黑体辐射灰度积分与温度的四次方成正比，而黑体辐射灰度积分与黑体辐射功率成正比，所以黑体辐射功率与黑体温度的四次方成正比，验证了史蒂芬—波尔兹曼定律。
九、总结及心得体会：
1、这次实验在使用热成像仪时，要注意一些操作上的顺序；在实验过程中，测量的时候并不是很复杂。
2、实验中，调节成像的清晰度十分重要，不然测出来的数据是不准确的。
3、实验过程中，一定要拉好窗帘，不然外界的光会影响实验。
十、对本实验过程及方法、手段的改进建议：
我觉得,可以不可以先不开黑体辐射源测一个当前的辐射度,就当做背景,然后在测黑体时把这个背景值减去,是不是要更准确一点。
十一、思考题
1、在红外热成像仪的使用过程中，如何判断成像是否清楚？如果成像模糊，该
怎么处理？
答：我们是利用一个比较尖的东东（实验中用的是一只笔的笔尖），放在和物体在一起的地方，从热成像仪的成像情况看，如果对于比较尖的东东成像清晰，则我们认为此时成像清楚；否则我们继续调节热成像仪的焦距。如果成像模糊，第一检查光路，看光路是否合适；第二，调节热成像仪的位置和焦距，使成像清晰。
2、在红外热成像仪中采用锗透镜或者硅材料作为窗口材料有什么优点？
答：既然要作为窗口材料，锗透镜或者硅材料必须要透过红外光波，根据半导体知识，我们知道锗透镜或者硅材料是透过红外波段的光波的。而且为了让仪器测量准确，我们自然希望窗口材料只通过红外光，其他光波就最好不要透过，就相当于是一个滤波器，在网上查的一些资料中可以看出，锗透镜或者硅材料作为窗口材料可以基本透过红外光波，对其他光波有这样的性质。
普朗克黑体辐射公式推 导 The document was finally revised on 2021
普朗克黑体辐射公式的推导 所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。 辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。 实验得到： 1. Wien 公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： ννννρνd T C C d )/ex p(231-=
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 ννπνρνd kT C d Jeans Rayleigh 2 38= -公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是 4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以 给定的频率 v 振荡； （2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10 626.634 -? 4，普朗克的推导过程： 把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为 ).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α αk C 2,1=
普朗克黑体辐射公式的推导 所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。 辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。 实验得到： 1.Wien 公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在 高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而 实 验测得的黑体辐射的能量密度是4 T E σ=，该 式 叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634 -? 4，普朗克的推导过程： 把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为) .(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ， 为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1= 每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在( )νννd +,内的自由度数为()ννd g ，
普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导 1 引言 马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。 这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
2 公式推导 2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导 黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε?== （1） 用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)= 则（1）式可分解为三个方程： 22 2 22 222200 0x y z d X k X dx d Y k Y dy d Z k Z dz ?+=???+=???+=?? 其中2222x y z k k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为： 112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin ) x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n ?=?及0D E ?=可得：
黑体辐射实验 任何物体都有辐射和吸收电磁波的本领。物体所辐射电磁波的强度按波长的分布与温度有关，称为热辐射。处于热平衡状态物体的热辐射光谱为连续谱。一切温度高于0K 的物体都能产生热辐射。黑体是一种完全的温度辐射体，能吸收投入到其面上的所有热辐射能，黑体的辐射能力仅与温度有关。任何普通物体所发射的辐射通量都小于同温度下的黑体发射的辐射通量；其辐射能力不仅与温度有关，还与表面的材料的性质有关。所有黑体在相同温度下的热辐射都有相同的光谱，这种热辐射特性称为黑体辐射。黑体辐射的研究对天文学、红外线探测等有着重要的意义。黑体是一种理想模型，现实生活中是不存在的，但却可以人工制造出近似的人工黑体。辐射能力小于黑体，但辐射的光谱分布与黑体相同的温度辐射体称为灰体。 [实验目的] 1.理解黑体辐射的概念。 2.验证普朗克辐射定律。 3.验证斯特藩一玻耳兹曼定律。 4.验证维恩位移定律。 5. 学会测量一般发光光源的辐射能量曲线。 [实验原理] 1.黑体辐射的光谱分布—普朗克辐射定律 德国物理学家普朗克1900年为了克服经典物理学对黑体辐射现象解释上的困难，推导出一个与实验结果相符合的黑体辐射公式，他创立了物质辐射（或吸收）的能量只能是某一最小能量单位（能量量子）的整数倍的假说，即量子假说，对量子论的发展有重大影响。他利用内插法将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利—金斯公式衔接，提出了关于黑体辐射度的新的公式—普朗克辐射定律，解决了“紫外灾难”的问题。在一定温度下，单位面积的黑体在单位时间、单位立体角内和单位波长间隔内辐射出的能量定义为单色辐射度，普朗克黑体辐射定律为： 式中：第一辐射常数) (1074.3221621m W hc C ??==-π第二辐射常数)(104398.122K m k hc C ??== -其中，h 为普朗克常数，c 为光速，k 为玻耳兹曼常数。 黑体光谱辐射亮度由下式给出： 图1-1给出了T L λ随波长变化的图形。每一条曲线上都标出黑体的绝对温度。与诸曲线的最大值相交的对角直线表示维恩位移定律。
黑体辐射实验 （一）、实验目的要求 1、掌握黑体基本理论 2、掌握黑体辐射能量的测量和任意发射光源的辐射能量的测量 3、学会利用相同的装置验证黑体的辐射定律 （二）、实验原理与设备 黑体的基本理论 物体在一定的温度下发出电磁辐射，如果理想热辐射体表面温度已知，那么其辐射特性就可以完全确定。 黑体在温度T时的光谱辐射出射度M等于普适函数。1900年，普朗克根据他提出的量子理论建立了的准确表达式，得到了与实验完全相同的结果。这就是著名的普朗克辐射公式。 式中：＿＿第一辐射常量，其值为3.7418 ＿＿＿第二辐射常量，其值为1.4388； M＿＿单位为. 普朗克公式是光辐射的一个重要的基本公式。从这个公式出发，可以推导出其他有关的辐射公式。 根据基尔霍夫定律可知，绝对黑体的总辐射出射度只是温度的函数，1879年斯忒藩根据实验得到一条经验定律：绝对黑体的积分辐射出射度与其热力学温度的四次方成正比。1884年，玻尔兹曼根据热力学理论推导出了与斯忒藩经验定律相一致的结果，因此，称为斯－玻定律。 将上式对所有波长积分，就得到绝对黑体的积分辐射出射度， 即＝
此式为斯忒藩－玻耳兹曼定律，其中称为斯忒藩－玻尔兹曼常量。斯忒藩－玻尔兹曼定律表明，黑体的全辐射出射度与热力学温度的四次方成正比。因此，温度T微小的变化，就会引起辐射出射度很大的变化。 凡温度在绝对零度以上的物体均能够发出红外辐射，其辐射的峰值波长与物体的温度有确定的关系： 式中λm ——物体辐射的峰值波长 T——物体的温度 B——常数（2898μm·K） 此为辐射度学中的维恩位移定律，意为只要物体有温度，则一定有固定波长的辐射，自然界的物体温度如果在 -40℃～3000℃（233K～3273K）范围，则根据上述公式，峰值辐射波长在0.88～12μm之间，即人们通常所说的红外波段。 2．实验装置及工作原理 WGH–10性黑体实验装置,油光栅单色仪,接受单元,扫描系统,电子放大器,A/D采集单元,电压可调的稳压溴钨灯光源,计算机及打印机组成.该设备集光学,精密机械,电子学，计算机技术与一体. 溴钨灯光源，可调溴钨灯供电源，红外光栅单色器，红外滤光片，硫化铅（PbS）光接收器，光调制器，信号采集单元，数据采集与单色仪控制软件及计算机等。 主机部分有以下几部分组成：单色器，狭缝，接收单元，光学系统以及光栅驱动系统等。红外单色器光路采用C －T型，如图1。
普朗克公式的那些事 材料科学与工程学院材料物理张培学号：1043011023 19世纪末，经典统计物理学在研究黑体辐射时遇到了巨大的困难：由经典的能量均分定理导出的瑞利-金斯公式在短波方面得出同黑体辐射光谱实验结果相违背的结论。同时，维恩公式则仅适用于黑体辐射光谱能量分布的短波部分。也就是说，当时还未能找到一个能够成功描述整个实验曲线的黑体辐射公式。为了解决经典物理学19世纪末面临的“紫外灾难”，普朗克吸收了维恩公式和瑞利－金斯公式的长处，利用热力学理论和熵能关系，于1900年10月19日“猜测”出了普朗克公式，经鲁本斯实验验证完全正确，很好地解决了前人的黑体辐射理论与实验结果的矛盾。b5E2RGbCAP 物理学中，普朗克黑体辐射定律<也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）<英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率的函数： p1EanqFDPw 这个函数在时达到峰值。 如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为
注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而和并不等价。它们之间存在有如下关系：DXDiTa9E3d 通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换： 下表中给出了函数中每一个物理量的意义和单位： 物理量 含义 国际单位制 厘M-克-秒制 辐射率，在单位时 间内从单位表面积和单 位立体角内以单位频率 间隔或单位波长间隔辐 射出的能量 焦耳·秒-1·M -2·球面度 -1·赫兹-1，或焦耳·秒-1·M -2·球面度- 1·M -1 尔格·秒-1·厘M-2·赫兹-1·球面度-1 频率 赫兹 (Hz> 赫兹 波长 M (m> 厘M
实验十 黑体辐射实验 实验者：头铁的小甘 引言： 任何物体，只要温度大于绝对零度，就会向周围发生辐射，这称为温度辐射。 黑体是指能够完全吸收所有外来辐射的物体，处于热平衡时，黑体吸收的能量等 于辐射的能量，由于黑体具有最大的吸收本领，因而黑体也就具有最大的辐射本 领。这种辐射是一种温度辐射，辐射的光谱分布只与辐射体的温度有关，而与辐 射方向及周围环境无关。 6000o K 5000o K 4000o K 3000o K 图 1 黑体辐射能量分布曲线 黑体辐射 p lanck 公式 十九世纪末，很多著名的科学家包括诺贝尔奖获得者，对黑体辐射进行了 大量实验研究和理论分析，实验测出黑体的辐射能量在不同温度下与辐射波长的 关系曲线如图 1 所示，对于此分布曲线的理论分析，历上曾引起了一场巨大的风 波，从而导致物理世界图像的根本变革。维恩试图用热力学的理论并加上一些特 定的假设得出一个分布公式－维恩公式。这个分布公式在短波部分与实验结果符 合较好，而长波部分偏离较大。瑞利和金斯利用经典电动力学和统计物理学也得 出了一个分布公式，他们得出的公式在长波部分与实验结果符合较好，而在短波 部分则完全不符。如图 2。因此经典理论遭到了严重失败，物理学历史上出现了 一个变革的转折点。 实验原理： Planck 提出：电磁辐射的能量只能是量子化的。他认为以频率ν做谐振动 的振子其能量只能取某些分立值，在这些分立值决定的状态中，对应的能量应该 是某一最小能量的 h ν整数倍，即 E=nh ν,n=1,2,3,…，h 即是普朗克常数。在 此能量量子化的假定下，他推导出了著名的普朗克公式 )() 1(35 1 2--= Wm e C E T C T λλλ
量子力学结课论文： 对普朗克黑体辐射公式的推证及总结
摘要：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。基于能量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公式： ρv dν=8πhν3 3 ? 1 e hv kT?1 普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径［1］。本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。 关键词：黑体辐射能量量子化普朗克公式麦克斯韦-玻尔兹曼分布 1.普朗克的量子化假设： 黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光子的能量. 且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量（h=6.62606896×10?34J?S） 2.普朗克公式的推导过程： 2.1任意频率ν下的辐射能量：
假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N 的原子可吸收或发出频率为ν的光子，其中N g 为这些原子中处在基态的原子数，N e 为处在激发态（此处指可由基态原子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n 为频率为ν的光子平均数。则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式[2]知： N e ∝N e ?E e N g ∝ N e ?E g 由此可得 N e N g =e ?Ee ?Eg =e ?h ν(2.1.1) 平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱因斯坦系数关系［3］可得：N g n=N e (n+1)(2.1.2) 结合(2.1.1)，可解得：n =1 e h νkT ?1(2.1.3) 则该状态下光子总能量为： ε0= nhv =hv e h νkT ?1 (2.1.4) 2.2 v ~v +d v 频率段中可被体系接收的频率数目 设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为L x ，L y ，L z 。体积为V 0。不妨先讨论一维情况： 体系线宽为L ，则L 必为光子半波长的整数倍，设其波数为K ，有
黑体测量实验 【实验目的】1、理解和掌握黑体辐射的基本规律，加深对能量量子性的理解； 2、验证斯忒藩—波尔兹曼定律； 3、验证维恩—位移定律。【实验仪器】 WGH-10型黑体实验装置 【实验原理】 1、黑体辐射 任何物体，只要其温度在绝对零度以上，就向周围发射辐射，这称为温度辐射。黑体是一种完全的温度辐射体，即任何非黑体所发射的辐射通量都小于同温度下的黑体发射的辐射通量；并且非黑体的辐射能力不仅与温度有关，而且与表面的材料性质有关。而黑体的辐射能力则仅与温度有关。黑体的辐射亮度在各个方向都相同，即黑体是一个完全的余弦辐射体。 辐射能力小于黑体，但辐射的光谱分布与黑体相同的温度辐射体称为灰体。 2、黑体辐射定律 （1）黑体辐射的光谱分布—普朗克辐射定律 黑体的光谱辐射出射度为：???? ?? -=1251 T C T e C M λλλ 式中：第一辐射常数：2161m w 1074.3??=-C 第二辐射常数：K w 104396.122??=-C （2）黑体的全辐射出射度—忒藩—波尔兹曼定律 黑体的全辐射出射度为： 40 T d M M T b δλλ?∞ == T 为黑体的绝对温度，δ为 忒藩—波尔兹曼常数， () 428234 5K m w/10670.5152??==-c h k πδ
k 为波尔兹曼常数，h 为普朗克常数，c 为光速。 （3）维恩—位移定律 光谱亮度的最大值的波长λmax 与它的绝对温度T 成反比， T b =m a x λ b 为常数，K m 10896.23??=-b 【实验步骤】 1、将WGH-10型黑体实验装置电源的电压凋节旋钮凋节至最小值，然后打开电源和接收器的电源，过1~2分钟后，可以打开桌面上WGH-10型黑体实验系统的软件。 2、根据溴钨灯工作电流--色温对应表，凋节光源的驱动电流（不能超过 2.5A ！）。 3、实验中要测量两个温度下的黑体 辐射曲线。学生可任意测两个温度（不 要高过2940K ，即不能使光源的驱动电 流超过2.5A ）下的黑体辐射曲线。过高 的温度，对溴钨灯的工作寿命有很大的 影响，建议测量在2.5A 以下进行。 4、以驱动电流为2.5A ，对应溴钨灯（近 似为黑体）的色温为2940K 为例。先测 量一组仪器的基线，参数设置如图所示
普朗克黑体辐射公式推 导 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
普朗克黑体辐射公式的推导 所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。 辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。 实验得到： 1. Wien 公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： ννννρνd T C C d )/ex p(231-=
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 ννπ νρνd kT C d Jeans Rayleigh 238= -公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是 4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡； （2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10 626.634 -? 4，普朗克的推导过程： 把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为 ).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α αk C 2,1= 每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在( )νννd +,内的自由度数为()ννd g ，
黑体辐射出射度曲线绘制 实验报告 姓名： 学号： 班级：
黑体辐射出射度曲线绘制 一、 实验目的： 学习和巩固黑体辐射定律，验证普朗克辐射定律、斯蒂芬—玻尔兹曼定律、维恩位移定律；了解单色仪的工作原理及基本结构。 二、 实验内容： 按照实验指导书的要求和步骤操作仿真黑体实验的装置，验证黑体相关定律。 三、 实验设备： WHS-型黑体实验装置，计算机，打印机等。 四、 实验原理： 黑体是一个能完全吸收并向外完全辐射入射在它上面的辐射能的理想物体。黑体的光谱辐射量和温度之间存在精确的定量关系，确定了黑体的温度，就可以确定其他的辐射量，因此黑体辐射定律在辐射度学中起了基准作用，占据十分重要的地位。 自然界中不存在绝对黑体，用人工的的方法可以制成尽可能接近绝对黑体的辐射源。钨的熔点约为3695K ，充气钨灯丝的光谱辐射分布和黑体十分相近，因此可以用来仿真黑体。CIE 规定分布温度2856K 的充气钨丝灯作为标准A 光源，以此实现绝对温度为2856K 的完全辐射题的辐射，即标准照明体A 。本次试验所用的WHS-1黑体实验装置就是以溴钨灯模拟黑体的辐射源，通过改变灯丝的电流来模拟改变黑体的色温。 描述黑体辐射定律的普朗克公式以波长表示的形式为： 1)exp(1),(2510-=T c c T M λλλ (1) 其中第一辐射常数21621m W 107418.32??==-hc c π；第二辐射常数K m 104388.122??==-k hc c ，k 为玻尔兹曼常数，c 为光速。 由于黑体是朗伯辐射体，因此可以得到黑体的光谱辐亮度表示式如下： 1)e x p (1 ),(2510-=T c c T L λπλλ (2)
普朗克的假设 在热力学中，黑体（Black body），是一个理想化的物体，它能够吸收外来的全部电磁辐射，并且不会有任何的反射和透射。随着温度上升，黑体所辐射出来的电磁波则称为黑体辐射。
“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定律预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背 马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机。）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。 这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释
光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。 爱因斯坦的光电子假设
基尔霍夫热辐射定律 基尔霍夫热辐射定律（Kirchhoff热辐射定律），德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出的传热学定律，它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。 简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1（α=1），而实际物体的吸收比则小于1（1>α>0）。基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。 ?M为实际物体的辐射出射度，M b为相同温度下黑体的辐射出射度。 而发射率ε的定义即为 所以有ε=α。 所以，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。 而对于漫灰体，无论是否处在热平衡下，物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。 不同层次的表达式 对于定向的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为 对于半球空间的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为 对于全波段的半球空间，其基尔霍夫热辐射定律表达式为 ?θ为纬度角，φ为经度角，λ为光谱的波长，T为温度。
参考文献 ?杨世铭，陶文铨。《传热学》。北京：高等教育出版社，2006年：356-379。 ?王以铭。《量和单位规范用法辞典》。上海：上海辞书出版社 普朗克黑体辐射定律 普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱 物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck's law, Blackbody radiation law）是用于描述在任意温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率 的函数[1]： 这个函数在hv=2.82kT时达到峰值[2]。 如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为[3]
实验七 黑体辐射 Black-body Radiation 任何物体，只要其温度在绝对零度以上，就向周围发射辐射，这称为温度辐射；只要其温度在绝对零度以上，也要从外界吸收辐射的能量。处在不同温度和环境下的物体，都以电磁辐射形式发出能量，而黑体是一种完全的温度辐射体，即任何非黑体所发射的辐射通量都小于同温度下的黑体发射的辐射通量；并且，非黑体的辐射能力不仅与温度有关，而且与表面的材料的性质有关，而黑体的辐射能力则仅与温度有关。在黑体辐射中，存在各种波长的电磁波，其能量按波长的分布与黑体的温度有关。 实验目的(experimental purpose) 1.了解黑体实验的发展历史，明确光谱辐射曲线的广泛应用； 2.了解黑体实验仪器组件，明确测量过程与分析要素； 3.明确黑体实验设计思想,掌握黑体辐射原理与定律。 实验原理(experimental principle) 任何物体都具有不断辐射、吸收、发射电磁波的本领。辐射出去的电磁波在各个波段是不同的，也就是具有一定的谱分布。这种谱分布与物体本身的特性及其温度有关，因而被称之为热辐射。为了研究不依赖于物质具体物性的热辐射规律，物理学家们定义了一种理想物体——黑体(black body)，以此作为热辐射研究的标准物体。 所谓黑体是指入射的电磁波全部被吸收，既没有反射，也没有 透射( 当然黑体仍然要向外辐射)。显然自然界不存在真正的黑体， 但许多地物是较好的黑体近似( 在某些波段上)。 黑体不仅仅能全部吸收外来的电磁辐射，且发射电磁辐 射的 能力比同温度下的任何其它物体强。 黑体辐射指黑体发出的电磁辐射。黑体辐射能量按波长的分布仅与温度有关。对于黑体的研究，使得自然现象中的量子效应被发现。
4.1普朗克黑体辐射理论 【学习目标】 1．了解什么是热辐射及热辐射的特性，了解黑体与黑体辐射。 2．了解黑体辐射的实验规律，了解黑体热辐射的强度与波长的关系。 3．了解能量子的概念。 【学习过程】 一、黑体与黑体辐射 1．热辐射：我们周围的一切物体都在辐射__________，这种辐射与__________有关，所以叫热辐射。2．黑体 如果某种物体能够____________入射的各种波长的电磁波而不发生________，这种物体就是绝对黑体，简称黑体。 3．黑体辐射：黑体虽然不反射___________，却可以_________________电磁波。 注意：①一般物体的辐射与__________、____________、_______________有关，但黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的______________有关。 ②绝对黑体不存在，是理想化的模型 二、黑体辐射的实验规律 1．辐射强度按波长分布与温度的关系 特点：随温度的升高 ①各种波长的辐射强度都在_____________； ②辐射强度的最大值向_____________方向移动。 2．经典物理学所遇到的困难 （1）维恩的经验公式：__________符合，____________不符合。 （2）瑞利-金斯公式：___________符合，_____________荒唐。 3．超越牛顿的发现 1900年10月，_______________在德国物理学会会议上提出黑体辐射公式与实验结果非常吻合。 三、能量子 （1）普朗克的假设： 组成黑体的振动着的带电微粒能量只能是某一最小能量值ε的__________， 这个不可再分的最小能量值ε叫做__________。 （2）能量子公式： ε＝hν，其中ν是电磁波的频率，h称为______________，h＝6.62607015×10-34J·s。 （3）能量的量子化： 在微观世界中能量是量子化的，或者说是微观粒子的能量是________的。
黑体辐射出射度曲线绘制 一、目的：学习和巩固黑体辐射定律，验证普朗克辐射定律、斯蒂芬-玻尔兹曼等定律；了解单色仪的工作原理及基本结构。 二、内容：按照实验指导书的要求和步骤操作仿真黑体实验装置，验证黑体相关定律。 三、设备：WHS-型黑体实验装置，计算机，打印机等。四、 原理： 黑体是一个能完全吸收并向外完全辐射入射在它上面的辐射能的理想物体。 黑体的光谱辐射量和温度之间存在精确的定量关系，确定了黑体的温度，就可以确定其他的辐射量，因此黑体辐射定律在辐射度学中起了基准的作用，占据十分重要的地位。 自然界不存在绝对黑体，用人工的方法可以制成尽可能接近绝对黑体的辐射源。钨的熔点约为3695K ，充气钨丝灯的光谱辐射分布和黑体十分接近，因此可以用来仿真黑体。CIE 规定分布温度2856K 的充气钨丝灯作为标准A 光源，以此实现绝对温度为2856K 的完全辐射体的辐射，即标准照明体A 。本次实验所用的WHS-1黑体实验装置就是以溴钨灯模拟黑体的辐射源，通过改变灯丝的电流来模拟改变黑体的色温。 描述黑体辐射定律的普朗克公式以波长表示的形式为： (1) M 0(λ,T)= c 1 λ51 exp (c 2λT )?1式(1)中，第一辐射常数；第二辐射常数c 1=2π?c 2=3.7418?10?16W ?m 2 ；；为光速。 c 2=?c k =1.4388?10?2 m ?K k 为玻尔兹曼常数c 由于黑体是朗伯辐射体，因此可以得到黑体的光谱辐亮度表示式如下： (2) L 0(λ,T)= c 1 πλ51 exp (c 2λT )?1斯蒂芬-玻尔兹曼定律描述的是黑体的辐射出射度与温度之间的关系： (3) M 0(T )=σT 4 (W m 2)式(3)中， 称为斯蒂芬-玻尔兹曼常σ=c 1π415c 42=5.6696?10?8(W ?m 2?K ?4 )数。 黑体光谱辐射是单峰函数，其峰值波长满足维恩位移定律： (4) λm T =b (μm ?K)式(4)中，常数。 b = c 24.9651=2898 μm ?K 保护层查所有复杂设况进行自
近代物理实验报告 指导教师： 得分： 实验时间： 2010 年 06 月 02 日， 第 十四 周， 周 三 ， 第 5-8 节 实验者： 班级 材料0705 学号 200767025 姓名 童凌炜 同组者： 班级 材料0705 学号 200767007 姓名 车宏龙 实验地点： 综合楼 505 实验条件： 室内温度 ℃， 相对湿度 %， 室内气压 实验题目： 黑体辐射 实验仪器：（注明规格和型号） WGH-10型黑体实验装置（光栅单色仪、接收单元、扫描系统、电子放大器、转换采集、电流可调的溴钨灯光源、计算机及打印机组成）试验装置的光学系统如图所示。 实验目的： 通过测量黑体辐射的能量分布曲线及普朗克常量，加深对黑体辐射问题的理解。 实验原理简述： 历史上很多物理学家都企图用经典理论解释黑体辐射规律。如Kirchhoff 、Boltzzman 、Wilhelm 、Rayleigh 等。他们得到了一些与之有关的公式： Boltzzman Equation ：W k S N ln = Wilhelm Equation ： T a e b T R λλλ/5),(--= Rayleigh-Jeans formula ： ννπννd kT c d T E 2 38),(=
Planck 提出：电磁辐射的能量只能是量子化的。他认为以频率ν做谐振动的振子其能量只能取某些分立值，在这些分立值决定的状态中，对应的能量应该是某一最小能量的h ν整数倍，即E=nh ν,n=1,2,3,…在此能量量子化的假定下，他推导出了著名的普朗克公式： 1 8),(/33-=kT h e d c h d T E νν νπνν 因为λλννλd c d c 2,/= = 所以 18),(/5-= kT hc e d hc d T E λλ λπλλ 它与实验结果符合得很好。Planck 提出的能量量子假说具有划时代的意义，标志了量子物理学的诞生。 考虑到单色辐射能密度E （λ，T ）与单色辐射度R （λ，T ）之间的关系： ),(4 ),(T R c T E λλ= 此式还可以写成如下形式 12),(/5 2-= kT hc e d hc d T R λλλπλλ Planck 公式经过微分后得到Wilhelm 位移定律： 965.4=T k hc m λ Planck 公式经积分后可以得到Stefan-Boltzmann Law 40 ),()(T d T E T E σλλ==?∞ 不同的人提出的辐射理论表达为公式曲线之后的图形如右所示， 可见还是存在一定的差别的。 实验步骤简述： 1、 实验内容 1 绘制不同温度下的黑体辐射能量曲线 2 验证普朗克辐射定律 3 验证维恩位移定律 4 验证斯特藩-玻尔兹曼定律 2、 实验步骤 （1） 检查仪器连线，调节狭缝宽度。 （2） 打开溴钨灯电源，打开控制箱电源，预热。
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普朗克黑体辐射公式的推导 所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。 辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。 实验得到： 1. Wien 公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： ννννρνd T C C d )/ex p(231-=
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。 2. Rayleigh-Jeans 公式 ννπνρνd kT C d Jeans Rayleigh 2 38= -公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且 ∞→=?∞ v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是 4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。 3. Planck 黑体辐射定律 1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以 给定的频率 v 振荡； （2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 得到： νννπνρνd kT h C h d ??? ? ??-=1)/exp(1 833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10 626.634 -? 4，普朗克的推导过程： 把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为 ).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α αk C 2,1=
实验十八 黑体辐射实验 一、实验目的 1. 了解黑体和一般发光体辐射强度的关系； 2. 掌握测量一般发光光源的辐射能量曲线的方法 3. 验证普朗克辐射定律； 4. 验证斯忒藩一波耳兹曼定律； 5. 验证维恩位移定律； 二、黑体辐射和实验基本理论 1．黑体辐射 任何物体，只要绝对不为零，就会向周围发射辐射，这称为热辐射。黑体是一种完全的热辐射体，即，任何非黑体所发射的辐射通量都小于同温度下的黑体发射的辐射通量。在热平衡下，黑体的辐射能力则仅与温度有关。黑体的辐射亮度在各个方向都相同，即黑体是一个完全的余弦辐射体。辐射能力小于黑体，但辐射的光谱分布与黑体相同的温度辐射体称为灰体。 2．黑体辐射定律 （1）黑体辐射的光谱分布——普朗克辐射定律 普朗克提出，在空腔辐射体中电磁辐射的能量是量子化的。根据这一假定，在某一温度下达到平衡时，黑体的光谱辐射度可表示为： ) 1e (C )1e (1hc 2E T 2C hc 5155 2T -λ=-λλπ=λλ（瓦/米3） （18-1） 式中c 为光速，h 为普朗克常数，C 1 = 3.74×10-16 （瓦米2）、常数C 2 = 1.4398?10-2（米开尔文）。 黑体光谱辐射亮度由下式给出： π = λλT T E L （瓦/米3球面度） （18-2） 图18-1 黑体的频谱亮度L λT 随波长变化
图2-1 给出黑体的频谱亮度随波长的变化，其中每一条曲线上都标出黑体的绝对温度。与诸曲线的最大值相交的对角直线表示维恩位移定律。 （2）黑体的积分辐射——斯忒藩—波尔兹曼定律 此定律用辐射度表示为， 40 T T T d E E δ=λ=?∞ λ（瓦特/米2） （18-3） T 为黑体的绝对温度，δ为斯忒藩—波尔兹曼常数， δ =2 345c h 15k 2π= 5.670×10-8 （瓦/米2?开尔文4） （18-4） 其中，k 为波尔兹曼常数，h 为普朗克常数，c 为光速。 由于黑体辐射是各向同性的，所以其辐射亮度与辐射度有关系 π = T E L （18-5） 于是，斯忒藩—波尔兹曼定律也可以用辐射亮度表示为 4 T L π δ= （瓦特/米2?球面度） （18-6） （3）维恩位移定律 光谱亮度的最大值的波长 λmax 与它的绝对温度T 成反比， T A max = λ （18-7） A 为常数，A=2.896?10-3 （米×开尔文）。 这一波长对应的黑体光谱辐射亮度由式（18-1）、（18-2）和（18-7），有 ) 1e (C 1E L T max 2 C max 5max 1 T max -λ π= π = λλ=4.10T 5?10-6（瓦特/米3?球面角?开尔文5 ） 随着温度的升高，绝对黑体光谱亮度的最大值的波长向短波方向移动。 三、实验装置和测量 1．实验仪器 本实验主要仪器为WGH-10型黑体实验装置，其由光栅单色仪，接收单元，扫描系统，电子放大器，A/D 采集单元，电压可调的稳压溴钨灯光源，以及计算机组成。
黑体普朗克公式推导 1． 空腔内的光波模式数 在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。 设空腔为立方体，如下图 x 图1 立方体空腔 沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是 ??? ? ? ? ??? =?=?=?222λλλq z n y m x (1) 式中m 、n 、q 为正整数。 将x x k λπ 2= 代入(1)式中，有 x m k x ?= π 则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： x x m x m k x ?=?--?= ?π ππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：
??? ? ? ? ????=??=??=?z k y k x k z y x πππ (2) 因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 V z y x k k k z y x 3 3 ππ= ???= ??? (3) x k y 图2 波矢空间 在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为 ()k k k k k d 4d 3 4 34233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。 根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以 2 d 8d 422k k k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为 V k k V V M k 2 23 d /2ππ== (6)