初中数学整式乘法的直观解释
初中数学整式乘法的直观解释
义务教育数学课程标准指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，……几何直观可以帮助学生直观地理解数学”．在整式乘法的学习过程中，利用拼图这一几何直观的手段，不但可以促进学生对乘法公式的理解，还能帮助学生有效积累拼图直观与公式推理互相印证的数学活动经验，使他们加深对数形结合重要思想的感悟，使他们的数学能力上升到一个新的水平．
1 乘法公式的直观解释
例1 （2006，包头）利用如图1所示的几何图形的面积可以表示的公式是（）（A）22()()
-=-+-（B）
a b a a b b a b
22
2
2
-
a+
=
-
ab
b
)
(b
a
（C）2
22
2
+
a+
=
+（D）
ab
b
(b
)
a
22()()
-=+-+
a b a a b b a b
b a a
b
图1
解析：大正方形被分割成四个四边形，所以
大正方形的面积等于四个四边形面积的和，从而222()a b a ab ab b +=+++=222a ab b ++，故选C ．
拓展：（2011，青岛）如图1，把边长为a +b
（a ≠b ）的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小．
提示：依题意，22M a
b =+，2N ab ab ab =+=，所以222M N a b ab -=+-2()a b =-，因为a ≠b ，所以2()0a b ->，故0M N ->，M>N ．
例2 （2007，甘肃白银）从边长为a 的大
正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，如图2（1），然后拼成一个如图2（2）所示的平行四边形．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
（A ）222()a
b a b -=- （B ）222()2a b a ab b +=++
（C ）222()
2a b a ab b -=-+ （D ）22()()a b a b a b -=+-
（1） （2）
图2
解析：图2（1）中阴影部分的面积是22a b -，分割成四个相同的等腰梯形后，相对两个梯形的高之和为（a b -），从而图2（2）中平行四边形的高为()a b -，底为（a +b ），面积是()()a b a b +-，故选D ．
例 3 （2009，内江）在边长为a 的正方形
中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）如图3
（1），把余下的部分拼成一个矩形，如图3（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
（A ）2222)(b ab a b a ++=+ （B
）2222)(b ab a b a +-=- （C ）))((22b a b a b a -+=- （
D ）222))(2(b ab a b a b a -+=-+
a
（1） （2）
图3
解析：图3（1）中，阴影部分的面积是两
正方形面积之差22a
b -，图3（2）中，阴影部分是长为（a +b ）、宽是（a -b ）的长方形，其面积是()()a b a b +-，故利用图3可以验证))((22b a b a b a -+=-，应选C ．
例4 （2006，湖北荆门）在边长为a 的正
方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再沿虚线剪开，如图4（1），然后拼成一个梯形，如图4（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）
（A ）22()()a b a b a b -=+- （
B ）222()2a b a ab b +=++ （
C ）222()2a b a ab b -=-+ （
D ）222()a
b a b -=-
a
（1） （2）
图4
解析：图4（1）中阴影部分的面积是22a b -，该图被分割成两个直角梯形后，每个梯形的两底分别为a 和b ，高为()a b -，从而每个梯形的面积是1()()2
a b a b +-，所以图4（2）的面积是()()a b a b +-。故选A ．事实上，不用拼成图4（2），直接用图4（1）亦可验证22()()a b a b a b -=+-．
例5 （2007，鄂尔多斯）如图5（1），在
边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，如图5（2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是
（用字母表示）．
a
（1） （2）
图5
解析：图5（1）的分割方式同例4，每个直角梯形的高为()a b -，从而图5（2）中的矩形的宽为()a b -，
又该矩形的长为()a b +，所以其面积为()()a b a b +-．可以验证的乘法公式是22()()a b a b a b -=+-．
例6 （2007，衢州）如图6是由边长为a
的正方形剪去一个边长为b 的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式22()()a b a b a b -=+-．
b a
b a
图6
（1）请你通过对图的剪拼，画出三种不同
拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画出剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
（2）选择其中一种拼法写出验证上述公式
的过程．
解析：此题是对例3至例5中所分析内容的
综合考察，不再赘述．
2 整式乘法的拼图诠释
