数值分析第一章学习小结

若
其中 m 是整数，
是 0 到 9 中的一个
数字，
.如果 a 作为数 x 的近似值，且 a 具有 n 位有效数字，则
若
其中 m 是整数，
数字， .如果 a 作为数 x 的近似值，如果|e 有 n 位有效数字。 结论：有效数字位数越多，绝对误差越小。
2.2.3 误差估计的基本方法 1.（1）对于一元函数：
而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算 法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同 时也可以减少计算次数，提高计算效率。
对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起 来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑 也相对较多。
2.2.1 误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。
其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与 传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。
2.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差 e 指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差：
k 位。从小数点后的第 k 位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数 字。
有效数字第二种定义：设数 x 的近似值
其中 m 是整
数，
是 0,1,2， ，9 中的任意数，但
,若
则 具有 k 位有效数字。
通过学习总结出下面几个结论： （1）若 a 是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数 字都是有效数字。 （2）将任何数乘以 10p（p=0，±1，±2，…）等于移动该数的小数点，并不影 响其有效数字。 （3）有效数字相同的两个近似值的绝对误差不一定相同。 （4）准确值被认为具有无穷多位有效数字。
中任意的矩阵 A
2.当一个问题中需要向量范数和矩阵范数时，向量范数和矩阵范数应该是相容 的。
对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对于任一个 x∈Rn，A∈Rn×n，满足
，则所给的向量范数和矩阵范数是相容的 。
设在 中给定了一种向量范数，对任意矩阵
，令
，由此定义的矩阵范数与给定的向量范数相容，将这种范数称 为从属于所给定的向量范数的矩阵范数。
从有效数字的定义可以知道，由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的 末位数字到第一位非零数字都是有效数字。
2.（1）相对误差与有效数字的关系：
若近似数
具有 n 位有效数字，则其相对误差
。
若近似数
的相对误差
近似数至少具有 n 位有效数字。 结论：有效数字位数越多，相对误差越小。
则该
（2）绝对误差与有效数字的关系：
3.设 A=
,则：
矩阵 A 的列范数
矩阵 A 的谱范数 矩阵的行范数
弗罗贝尼乌斯范数
4.设矩阵
的某种范数
为算子范数时，还有
成立。
，则 为非奇异矩阵，并且当这种范数
三、 本章思考题
问题： 向量和矩阵有多种范数，如 1 范数、2 范数、∞范数。而作为向量和矩阵“大
（1）能控制舍入误差的传播。 （2）合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数将小数吃掉。
（3）避免两个相近的数相减。 （4）避免接近零的数做除数，防止溢出。 （5）简化计算步骤，尽量减少运算次数。
2.3 向量范数与矩阵范数
2.3.1 向量范数 1.向量范数满足三个条件： （1） 正定性 （2） 齐次性 （3） 成立三角不等式 2.对于 中的任一向量 1- 范数（列范数） 23- 范数（欧氏范数） 4-
数值分析
第1章 绪论 --------学习小结
一、 本章学习体会
通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之 前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误 差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。
误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算， 或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法， 其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。
是 0 到 9 中的一个 （ ）则 a 具
（2）二元函数：
( f (a,b)) f (a,b) (a) f (a,b) (b)
x
y
（3）n 元函数：
设
存在足够高阶的导数，a 是自变量 x 的近似值，则
是
的近似值。
如果wk.baidu.com
且比值
不是很大，则
2.算数运算误差：
2.2.4 算法及计算复杂性 在数值计算中，要注意遵循一些原则，以保证数值稳定性。
向量范数 与矩阵范数
2.1 数值分析的研究对象
研究对象
方法的构造 求解过程的理论分析
数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括 方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各 种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内
容。
2.2 误差知识与算法知识
绝对误差限：
（2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。
相对误差：
相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位
的半个单位。
（3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设 a 是 x 的近似值，如果 a 的误差绝对值不超过 x
的第 k 位小数的半个单位，即
则称近似值 a 准确到小数点后第
本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。 虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还 是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希 望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。
二、 本章知识梳理
绪论
数值分析 的研究对象
误差知识 与算法知识
P-范数
则有
∞-范数
3.在空间 中可以引进各种向量范数，且它们都满足下述向量定理：
设
是 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无关的数 m 和
M（0<m<M）,使下列关系成立。
也就是说，向量 x 的某一范数可以任意小（大）时，该向量的其它任意一种 范数也会任意小（大）。
2.3.2 矩阵范数 1.定义在 上的实值函数 称为矩阵范数，如果对于 和 B，阵范数满足下列条件： （1） 非负性 （2） 齐次性 （3） 成立三角不等式 （4） 相容性