章末检测
一、选择题
1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a ＜1
b
B.－a ＜b C ．a 2＜b 2 D ．|a |＞|b | 答案 A
解析 A 正确，B ，C ，D 可举反例排除，如对B 、C ，设a ＝－9，b ＝1，对D ，设a ＝－1，b ＝2即可．
2．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1，2}
C ．{0，1，2，3}
D ．{－1，0，1，2，3} 答案 C
解析 由(x ＋1)(x －2)<0解得集合B ＝{x |－1 3．不等式组? ??? ?x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( ) 答案 B 解析 特殊点(0，0)验证即可． 4．已知不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 答案 C 解析 易知? ??－b a ＝－1＋2＝1，2a ＝－1×2????? ?a ＝－1，b ＝1， ∴a ＋b ＝0. 5．下列各函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋1 x B ．y ＝sin x ＋1 sin x ，x ∈? ???0，π2 C ．y ＝ x 2＋3 x 2＋2 D ．y ＝x －2x ＋3 答案 D 解析 A 中x ＜0，y ＜0，不合题意，B 中等号成立时sin x ＝1 sin x ，即sin x ＝1，与x ∈? ?? ??0，π2矛盾，C 中等号成立时 x 2＋2＝ 1x 2＋2 ，得x 2＝－1，不合题意．D 中，y ＝(x －1)2＋2≥2. 6．若－2x 2＋5x －2＞0，则4x 2－4x ＋1＋2|x －2|等于( ) A ．4x －5 B ．－3 C ．3 D ．5－4x 答案 C 解析 ∵－2x 2＋5x －2＞0，∴1 2＜x ＜2， ∴2x ＞1，x ＜2， 原式＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1－2(x －2)＝3. 7．在△ABC 中，三顶点分别为A (2，4)，B (－1，2)，C (1，0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及其边界上运动，则m ＝y －x 的取值范围为( ) A ． B ． C ． D ． 答案 C 解析 直线m ＝y －x 斜率k 1＝1＞k AB ＝2 3， ∴经过C 时m 最小为－1，经过B 时m 最大为3. 8．不等式组? ????x 2－1＜0， x 2－3x ＜0的解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |－1＜x ＜3} 答案 C 解析 ∵x 2－1＜0，∴－1＜x ＜1， ∵x 2－3x ＜0，∴0＜x ＜3，∴0＜x ＜1. 9．某旅行社欲租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型客车不多于A 型客车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元 答案 C 解析 设租A 型客车x 辆，B 型客车y 辆时，租金为z 元， 则z ＝1 600x ＋2 400y ， x ，y 满足?????x ＋y ≤21， y －x ≤7， 36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ， 画出可行域如图： 直线y ＝－23x ＋z 2 400过点A (5，12)时纵截距最小， ∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元． 10．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( ) A.????0，1a 1 B.????0，2a 1 C.????0，1a 3 D.??? ?0，2a 3 答案 B 解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i x (a i x －2)<0.又a 1>a 2>a 3>0， ∴0 ∵2a 3>2a 2>2a 1>0，∴0 二、填空题 11．若x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________． 答案 －5 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 12.已知a ，b ∈R ＋ 且a ＋b ＝1，那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋ 1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋1 2b ≥22中，正确的序号是________． 答案 ①②③ 解析 ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1， ∴ab ≤? ?? ??a ＋b 22＝14，ab ＋1ab ≥174，(a ＋b )2 ＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝2， ∴a ＋b ≤ 2.故①②③正确，而④不正确． 13．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为________． 答案 解析 ∵a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ， ∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0. 又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分， ∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0，1)时，z max ＝3. ∴z ∈． 14．已知f (x )＝32x －k ·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为________． 答案 (－∞，22) 解析 f (x )＝(3x )2－k ·3x ＋2＞0， ∴k ＜（3x ）2＋23x ＝3x ＋23x ， 3x ＋2 3 x ≥2 3x ·23x ＝22，当且仅当3x ＝2 3 x 时，等号成立．∴k ＜2 2. 15．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件? ????2x －y －6≤0， x －y ＋2≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞ 0)的最大值为40，则5a ＋1 b 的最小值为________． 答案 94 解析 不等式组?????2x －y －6≤0， x －y ＋2≥0 的可行域如图中阴影部分所示． 直线2x －y －6＝0和x －y ＋2＝0的交点为A (8，10)． 由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b ， 又a ＞0，b ＞0， 所以－a b ＜0.所以当x ＝8，y ＝10时，z ＝ax ＋by 取得最大值40，即8a ＋10b ＝40. 所以5a ＋1b ＝????5a ＋1b 4a ＋5b 20＝54 ＋????5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝9 4，当且仅当5b ＝2a 时，等号成立． 三、解答题 16．若实数x ，y ，z 满足y ＋z ＝3x 2－4x ＋6，y －z ＝x 2－4x ＋4.试确定x ，y ，z 的大小关系． 解 因为y －z ＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2≥0，所以y ≥z . 又y ＋z ＝3x 2－4x ＋6，y －z ＝x 2－4x ＋4， 所以z －x ＝（y ＋z ）－（y －z ）2－x ＝1＋x 2－x ＝????x －122 ＋3 4 ＞0，所以z ＞x ，即y ≥z ＞x . 17．已知集合A ＝???? ??x ??2x 2－2x －3＜ ????123（x －1）， B ＝{x |log 13 (9－x 2)＜log 13 (6－2x )}，又A ∩B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＜0}，求a ＋b 的值． 解 由2x 2－2x －3＜ ??? ? 123（x －1） ＝23－3x ， 得x 2＋x －6＜0， 解得－3＜x ＜2，故A ＝{x |－3＜x ＜2}． 由log 13 (9－x 2)＜log 13 (6－2x )， 得???? ?9－x 2＞0， 6－2x ＞0，9－x 2 ＞6－2x ， 解得－1＜x ＜3，故B ＝{x |－1＜x ＜3}， A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}， 所以方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根为－1和2， 则a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3. 18．函数f (x )＝ 2－ x ＋3 x ＋1 的定义域为A ，g (x ) ＝lg 的定义域为B . (1)求A ； (2)若B ?A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)令2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1 x ＋1≥0， ∴x ＜－1或x ≥1，∴A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}． (2)由题意知，(x －2a )＜0， 讨论a ＋1与2a 的大小． ①若a ＋1＞2a ，即a ＜1时，B ＝(2a ，a ＋1)， ∴B ?A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1?a ≤－2或1 2≤a ＜1. ②若a ＋1＝2a ，即a ＝1时，B ＝?(舍去)． ③若a ＋1＜2a ，即a ＞1时，B ＝(a ＋1，2a )． ∵B ?A ，∴2a ≤－1或a ＋1≥1?a ＞1， 综上：a ∈? ??? ?? a |a ≤－2或a ≥12且a ≠1. 19．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 解 设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 台、y 台，总利润是P 百元， 则P ＝6x ＋8y ，约束条件为???? ?30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ∈N ，y ∈N ， 可行域如图阴影部分中的整数点： P ＝6x ＋8y 可化为 y ＝－34x ＋18P ，其可看做一组斜率为－3 4 的平行直线， 由图知直线y ＝－34x ＋1 8 P 过点M 时，纵截距最大，这时P 也取最大值，由?????30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110， 解得M (4，9)． ∴P max ＝6×4＋8×9＝96(百元)． 故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润96百元． 20．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元． (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？ 解 (1)设该船捕捞n 年后的总盈利为y 万元．则 y ＝50n －98－ ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102. 所以当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为y n ＝－2????n ＋49n －20 ≤－2? ?? ?2 n ·49n －20＝12， 当且仅当n ＝49 n ，即n ＝7时等号成立． 所以，当捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元． 21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足a 2＋(y 1＋y 2)a ＋y 1y 2＝0. (1)求证y 1＝－a 或y 2＝－a ； (2)求证函数f (x )的图象必与x 轴有两个交点； (3)若f (x )＞0的解集为{x |x ＞m 或x ＜n }(n ＜m ＜0)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0. (1)证明 ∵a 2＋(y 1＋y 2)a ＋y 1y 2＝0， ∴(a ＋y 1)(a ＋y 2)＝0，得y 1＝－a 或y 2＝－a . (2)证明 当a ＞0时，二次函数f (x )的图象开口向上，图象上的点A 或点B 的纵坐标为－a ，小于零， ∴图象与x 轴有两个交点； 当a ＜0时，二次函数f (x )的图象开口向下，图象上的点A 或点B 的纵坐标为－a ，大于零， ∴图象与x 轴有两个交点． ∴二次函数f (x )的图象必与x 轴有两个交点． (3)解 ∵ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＞m 或x ＜n }(n ＜m ＜0)， ∴a ＞0，b ＞0，c ＞0. 从而方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为x 1＝1m ，x 2＝1 n ，则方程cx 2－bx ＋a ＝0的两个根为x 1＝－ 1m ，x 2＝－1n . ∵n ＜m ＜0，∴－1n ＜－1m ， ∴不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为??? ???x ? ?x ＞－1m 或x ＜－1n .
相关主题
文本预览