高中数学常用的解题方法与技巧PPT课件

⑴求证: P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上.
⑵设 P(1, 1) 在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的
坐标.
⑴用反证法
y Q yx
P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 )
不妨设 0 x1 x2 x3
则 y1 y2 y3 0
P
求证: (a1 1)(a2 2) (a7 7) 必是偶数.
构造:a1 1 a2 2 a7 7 是偶数
10
思考 2: 求证:在四面体 ABCD 中,必有某个顶点,从它发出
的三条棱作为三边可以构成一个三角形.
从最大棱的角度来分析突破
11
思考 3:(1997 年全国高中联赛题)
设双曲线 xy 1 的两支为 C1、C2 ,如图,正三角形 PQR 三顶点位于此双曲线上.
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才
显而易见的矛盾(如和已行知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定 结论 命题的结论正确.
9
思考1 思考2 思考3
思考 1: 设 a1, a2 , , a7是1, 2, , 7 的一个排列,
反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是
就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从 “正面难解决,就从反面思考”的思维方式就是我们 通 常 所 说的 ——反 证 法 ,是 间接 证 法的 一 种 ,它是 数 学证明的大法,历史上许多著名的命题,例如“ 2 为 无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的.
还有没有其他方法
5
思考 4:
已知
1 m2
1 m
3
0, n4
n2
3
且
1 m
n2
,
求 mn4 n2 的值.3 构造一元二次方程.
m2
思考 5: 已 知 x, y, z 为正数 且 xyz( x y z) 1 ,求表达
式 ( x y)( y z)的最小值. 构造三角形的面积. 2
6
思考 6:
还有其他形式 (如跳跃数学归纳法):
⑴验证 p(n0 )、p(n0 1)、p(n0 2)、 、p(n0 r 1) ; ⑵假设 p(k) ( k ≥ n0 )成立, 那么可推出 p(k r) 也成立.
下面通过练习来品味其中的思维.
源自文库
13
思考1
思考2
思考3
思考 1:
设 a、b 为正整数, n 为正整数,
2
构造法: 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所
求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得 问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形， 构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例， 构造抽屉，构造算法等.
前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造 法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但 怎样“构造”，却没有通用的构造法则.下面通过 实例说明.
R C 1 x
⑵关键证明
Q与R
关于直线
y
x
对称 C2
课外思考二
12
数学归纳法(知识点见教程第 138 页) : 形式 1(第一数学归纳法):
⑴验证 p(n0 ) 成立; ⑵假设 p(k) ( k ≥ n0 )成立,那么可推出 p(k 1) 也成立. 形式 2(第二数学归纳法):
⑴已知命题 P(n0 ) 成立； ⑵若当 n0 ≤ n ≤ k 时命题 P(n) 都成立,则 P(k 1) 成立； 由（1）（2）可知命题 P(n) 都成立.
反证法被人们誉为“数学家最精良的武器之 一.”,是证明数学命题的一种重要方法，对于那些 含有否定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题， 尤为适宜.
8
思考1 思考2 思考3
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
( (
x y
1)2003 2)2003
2002( x 2002( y
1) 1 2) 1
,则
x
y
__3___
.
4
思考 3: 若 a 1, b 1, c 1 , a, b, c 为实数, 求证: ab bc ac 1
构造一次函数 f ( x) (b c) x bc 1
将数字 1,2,3,…,n 填入 n 个方格里,每格一个数字,
则标号与所填数字均不相同的填法有多少种?
令an 符合条件的填法数,增加数n1和标号为n1的方格.
对于 an 中每一个填法,我们将第 k 格的数移到第n 1 格,而将 n 1填入第 k 格,得符合条件的填法 nan 种;
对于 n 个数时,仅有第 k 格填入的数是 k (1≤ k ≤ n) ,
3
思考1,2 思考3 思考4,5 思考6
思考 1: (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a, b,c 满足
a 2
b2
bc c2
8a 7 0 bc 6a 6
0
,那么
a
的取值范围是(
D)
(A) (, ) (B) ,1 9, (C)(0, 7) (D)1,9
思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x, y R ,且满足
其他 n 1个数填法符合条件为 an1 ,我们也将第 k 格的数移
到第 n 1格,而将 n 1填入第 k 格,得符合条件的填法nan1
种,于是,共有 an1 nan nan1 ,易知 a1 0, a2 1 .
…
…
an
…n
n!
i 1
(1)i
1 (n ≥ 2) 为所求.
i! 课外思考一
7
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
1
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说：“竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”