《余弦定理》ppt课件

cosACD cosACB
x2 即
72
7
2
2
27 x
2x2 72 42 2 7 2x
C
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
b
a
提炼：设a是最长的边，则
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
12
判断三角形的形状
例3、在△ABC中，a cos A bcos B, 试确定此三角形的形状．
3 2
5
3.
a
7 14
10
练习
1.在ABC中，若a 3 1,b 3 1,
c 10,则ABC的最大角的
度 数 为__1_2__0__ ___.
2.在ABC中 ， 已 知a2 b2 bc c2 ,
则A为（ C ）
A. 3
B. 6
C. 2
3
D.
或
2
33
11
思考2：
由推论我们能判断三角形的形状吗?
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
2
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
CB
ba,求, CA边
c. b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c2 c c (a b) (a b)
﹚
aa2abb
2
b22aabbcos
C
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b2 2ab cos C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
a2 b2 c2 2bc cos A
2
52 5 3 2 5 5 3cos30
a
b
Bc
A
25
a 5,
7
由正弦定理 a b 得 sin A sin B
sin B
b sin
A
5 1 2
1
a
52
C
b
a
Ac
B
B A 30o
C 180o A B 120o
8
例2：在ABC中，已知sinC 3 ,sin C cos C 0, 5
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
b
a
Ac
B
5
归纳
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
且a 2,b 5,求边长c.
B
解：
5
sin C 0且sin C cosC 0 cosC 0 C 2 A
则cosC 1 sin2 C 4 5
由余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC
c2 4 25 2 2 5 4 29 16 45 5
c3 5
9
二、已知三角形的三边解三角形
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
4
思考1：
余弦定理
已知三边,怎样求三个角呢？ C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
例2、在ABC中，已知a 7,b 3, c 5,
求最大角和sin C.
解：Q a c b,A>C>B.
cos A b2 c2 a2 32 52 72 1 ,
2bc
235 2
A 120. 故最大角为 120.
由正弦定理 a c 得 sin A sin C
sin C c sin A 5
1
复习回顾
正弦定理：
abc sin A sin B sin C
2R
变型： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
可以解决两类有关三角形的问题:
（1）已知两角和任一边。学科网 （2）已知两边和一边的对角。
利用余弦定理，可以解决：
b
a
Ac
B
（1）已知三边，求三个利角用；余弦定
理可以解决什
（2）已知两边及夹角么，类求型第的三三边角和其他两个角。
形问题？
（3）判断三角形的形状。
6
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中，已知b 5, c 5 3, A 30o,
求边a和角B、C的值
C
解：由余弦定理知，
13
当a＝b时，△ABC为等腰三角形； 当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得：2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，
即sin2A＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，
∴2A、2B∈(0,2π)，
故有2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝ . ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
14
三、已知两边及一角解三角形
例4，如图，梯形ABCD中，AB || CD，CD 2，AC 19，
BAD 60o,求梯形的高DE
D2
C
解：
19
百度文库
A
E
B
在ADC中，DC 2，AC 19，ADC 120
3
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a,
b,求边
c.学科网
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c2 c c (a b) (a b)
﹚
aa2abb
2
b22aab bcos
C
向量法
a2 b2 2ab cos C
余弦定理
c 2 a 2 b2 2ab cos C
AC2 AD2 DC 2 2 AD DC cos120
AD2 2AD 15 0
AD 3或AD 5舍
在RtADE中，高DE AD sin 60 3 3 2
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例5：在ABC中，已知b 7, c 4, BC边上
中线AD长为 7 ，求边长a. 2
解： 设CD BD x，则a 2x 在ACD和ACB中，