第三节二项式定理
复习目标
学法指导
1.能利用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 了解二项式定理,能利用二项展开式的通项公式求出特定项并且能够将求三项式或两个二项式的和、积的展开式中特定项问题转化为二项式求解,正确区分二项式系数与项的系数,能够利用赋值法求展开式的系数和.
一、二项式定理
1.二项式定理
(a+b)n=0C
n a n+1C
n
a n-1b+…+C k
n
a n-k
b k+…+C n
n
b n(n∈N*),这个公式叫做二项式
定理.
2.二项式系数、二项式的通项
在上式中它的右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系
数C k
n (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数,式中的C k
n
a n-k
b k叫做二项展
开式的通项,用T k+1表示,即通项为展开式的第k+1项:T k+1=C k
n
a n-k
b k.
二、二项式系数的性质
理解辨析
(1)二项展开式形式上的特点:①项数为n+1;②各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数和为n;③字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第1项起,
次数由零逐项增1直到n;④二项式的系数从0C
n ,1C
n
一直到1
C n
n
,C n n.
(2)通项公式T r+1=C r
n
a n-r·
b r(n∈N*,0≤r≤n),反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,可用来求指定的项、指定项的系数、常数项、有理项、系数最大(绝对值最大)的项.
(3)区分二项式系数和该项的系数,二项式系数只与n和r有关,恒为正,而后者是指字母外的部分,还与a,b有关,可正可负.形如(a+bx)n
的展开式第r+1项的二项式系数为C r
n ,项的系数为C r
n
a n-r
b r;形如
(x p+x q)n的展开式第r+1项的二项式系数为C r
n ,项的系数为C r
n
.
(4)(a+b)n与(b+a)n的值虽然相等,但它们展开式中各项的排列顺序是不同的.
(5)通项T k+1=C k
n
a n-k
b k是(a+b)n的展开式的第k+1项,而不是第k项.
1.(2a-3b)7的展开式的第4项的二项式系数为( A )
(A)3
C (B)-37C
7
(C)3
C·24·33(D)-37C·24·33
7
)6的展开式的常数项为
2.(2019·杭州市4月模拟)二项式(2x-1
x
( D )
(A)20 (B)-20 (C)160 (D)-160
解析:T r+1=
C r26-r(-1)r x6-2r,当r=3时就是常数项,即为
6
T4=3
C23(-1)3=-160.
6
故选D.
3.设(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0,a1,a2,…,a8中奇数的个数为( A )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:a0=0
C=1, a1=18C=8, a2=28C=28, a3=38C=56, a4=48C=70,…,a8=88C=1.
8
故选A.
4.(1)写出展开式:(1+x)4= .
(2)化
简:0
C(x-1)510+15C(x-1)411+25C(x-1)312+35C(x-1)213+45C(x-1)114+55C(x-1) 5
015= .
答案:(1)1+4x+6x2+4x3+x4(2)x5
考点一求二项展开式的特定项或系数
[例1] (1)(1
x-2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
2
(A)-20 (B)-5 (C)5 (D)20
(2)(x-1)(1
x
+x)6的展开式中的一次项系数是( )
(A)5 (B)14 (C)20 (D)35
(3)(2019·浙江卷)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.
解析:(1)由题意可得通项公式T r+1=
5
C r(12x)5-r(-2y)r=5C r(12)5-r(-2)r x5-r y r,
令r=3,则
5
C r(12)5-r(-2)r=35C×(12)2×(-2)3=-20.故选A.
(2)(1
x +x)6展开式的通项公式为T r+1=
6
C r(1x)6-r x r=6C r x2r-6.令2r-6=0,得
r=3.令2r-6=1,此时r无解,故(1
x +x) 6展开式中的常数项为3
6
C=20,无
一次项,
所以(x-1)(1
x
+x)6的展开式中的一次项系数为20,故选C.
(3)由二项展开式的通项公式可知T r+1=
9
C r·(2)9-r·x r,r∈N,0≤r≤9,
当为常数项时,r=0,T1=0
9
C·(2)9·x0=(2)9=162.
当项的系数为有理数时,9-r为偶数,
可得r=1,3,5,7,9,即系数为有理数的项的个数是5.
答案:(1)A (2)C (3)162 5
(1)求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.
(2)若求若干个二项式积的某项(系数),则可转化为乘法分配律问题求解.若求三项展开式的某项(系数),则可转化为二项式求解.
1.“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如图所示是三角形数阵,记a n 为图中第n 行各数之和,则a 5+a 11的值为( D )
(A)528 (B)1 020 (C)1 038 (D)1 040 解析:a 5=0
4
C +14
C +24
C +34
C +44
C =24=16,
a 11=010
C +110
C +210
C +…+1010
C =210=1 024,
所以a 5+a 11=1 040,故选D.
2.(2019·天津卷)(2x-3
18x
)8
的展开式中的常数项为 . 解析:(2x-3
18x
)8的通项公式为T r+1=8
C r
(2x)8-r ·(-3
18x )r =8
C r 28-r (-18
)r ·x 8-4r . 令8-4r=0,得r=2,所以常数项为T 3=2
8
C 26(-18
)2
=28. 答案:28
考点二 二项式系数的性质与各项系数和的问题 [例2] (1)设(2-x)5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5,那么0
24
13
a
a a a a +++的值为( )
(A)-122121 (B)-6160
(C)-244
241 (D)-1 (2)若将函数f(x)=x 5表示为f(x)=a 0+a 1(x+1)+()2
2
1a x ++…+a 5(x+1)5,其
中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3= . 解析:(1)x=1时,1=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5; x=-1时,35=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5, 所以a 0+a 2+a 4=122,a 1+a 3=-120,
所以0
2413
a
a a a a +++=-6160,故选B.
(2)将f(x)=x 5进行转化利用二项式定理求解. f(x)=x 5=(1+x-1)5,
它的通项为T r+1=5
C r
(1+x)5-r ·(-1)r ,
T 3=25
C (1+x)3(-1)2=10(1+x)3,所以a 3=10.
答案:(1)B (2)10
赋值法的应用
(1)形如(ax+b)n ,(ax 2+bx+c)m (a,b,c ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.
(2)对形如(ax+by)n (a,b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(3)若f(x) =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数(偶次)项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=()()112f f +-,偶数(奇次)项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=()()112f f --.
(2019·金华十校模拟)已知(2+x)(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,则a 1+a 2+…+a 8= ,a 3= .
解析:令x=1时,得a 0+a 1+…+a 8=-3,令x=0时得a 0=2, 所以a 1+…+a 8=-5,求a 3就是求x 3的系数, 所以a 3=2·37
C (-2)3+1·27
C (-2)2=-476.
答案:-5 -476
考点三 二项式定理的应用
[例3] (1)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于( )
(A)0 (B)1 (C)11 (D)12
3
x
)n的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项为( )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
思路点拨:(1)512 012分成(52-1)2 012,然后展开;
(2)寻找f[f(x)]的表达式,利用二项式定理求解.
解析:(1)512 012+a=(52-1)2 012+a
=0
2012
C·522 012-12012
C·522 011+…+20112012
C×52×
(-1)2 011+2012
2012
C×(-1)2 012+a.
因为0
2012
C522 012-12012
C522 011+…+20112012
C×52×(-1)2 011
能被13整除,且512 012+a能被13整除.
所以2012
2012
C(-1)2 012+a=1+a也能被13整除,
所以a可取12.故选D.
(2)由二项展开式的性质,可得A=4n,B=2n,
所以A+B=4n+2n=72,
所以n=3,
因为
3
x
)n展开式的通项为T r+1=
3
C r
3-r(3
x
)r=3r
3
C r
33
2
r
x
-,令33
2
r
-=0可得r=1,
常数项为T2=3×1
3
C=9,故选B.
(1)用二项式定理处理整除或余数问题,通常把底数写成除数(或除数的倍数)与某个数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或前面)的一项或两项即可.
(2)二项式定理的综合问题一般转化为二项式定理解决.
1.若(x2-a)(x+1
x
)10的展开式中x6的系数为30,则a等于( D )
(A)1
3(B)1
2
(C)1 (D)2
解析:依题意,注意到(x+1
x
)10的展开式的通项公式是T r+1= 10
C r·x10-r·(1x)r=10C r·x10-2r,(x+1x)10的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当
r=2时)项的系数分别为3
10
C,210C,因此由题意得310C-a210C=120-45a=30,由此解得a=2,选D.
2.S=1
27
C+227C+…+2727C除以9的余数为.
解析:S=227-1=89-1
=(9-1)9-1
=0
9
C×99-19C×98+…+89C×9-99C-1
=9(0
9
C×98-19C×97+…+89C)-2,
因为0
9
C×98-19C×97+…+89C能被9整除,
所以S被9除的余数为7.
答案:7。
