2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(下)期末数学(文)试题解析

哈三中2019-2020学年度下学期 高二学年第二模块考试数学试卷（理科）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数|1|2z i i =++（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．12i -+B ．12i -C ．2iD 2i - 2．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b > 3．函数()y f x =的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）A ．1()f x dx ⎰B ．20()f x dx ⎰ C ．20|()|f x dx ⎰ D ．121()()f x dx f x dx +⎰⎰4．在复平面内，复数(1)i i +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知不等式|6||3|m x x ≤-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3m ≤B ．3m ≥C ．9m ≤-D ．9m ≥-6．“余弦函数是偶函数，()2()cos 32f x x =+是余弦函数，因此()2()cos 32f x x =+是偶函数”，以上推理（ ）A ．大前提不正确B ．小前提不正确C ．结论不正确D ．全部正确 7．已知命题1:,2p x R x x ∀∈+≥；命题0:0,2q x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使00sin cos x x +≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∧ 8．已知命题:,(0,3)P x y ∀∈，6x y +<，则命题P 的否定为（ ） A ．,(0,3),6x y x y ∀∈+≥ B ．,(0,3),6x y x y ∀∉+≥C ．0000,(0,3),6x y x y ∃∉+≥ D ．0000,(0,3),6x y x y ∃∈+≥9．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞ B ．[1,4] C ．(1,4] D ．(1,4) 11．若函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,]a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13a <≤ B ．4a ≥ C ．3a ≤ D ．14a <≤12．若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线40x y --=的最小距离是（ ） AB ．3 C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．曲线2y x =与x 轴及直线2x =所围成的图形的面积为______． 14．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =______． 15．点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，则2x +的取值范围为______． 16．已知函数22(0)()4(0)x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若x R ∀∈，()f x mx ≥，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知函数()|2|||f x x x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x a ≥-对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分） 已知函数31()3()3f x x ax a R =-+∈，且()f x 在2x =处的切线为73y =-． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知M 点的坐标为(0,2)，直线l的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），且与曲线C 交于,A B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求||||MA MB ⋅的值． 20．（本小题满分12分） 已知曲线C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）,P Q 为曲线C 上两点，若OP OQ ⊥，求2211||||OP OQ +的值． 21．（本小题满分12分）已知函数()|||3|4()f x x m x m R =-++-∈，()|21|2|1|g x x x =--+．（1）若对任意的2x R ∈，都存在1x R ∈，使得()()12f x g x =，求实数m 的取值范围； （2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：7()2|1|6g x x ≤-+． 22．（本小题满分12分）已知定理：设函数()f x 为[,]a b 上的连续可导函数，则必存在0(,)x a b ∈，使()0()()f b f a f x b a'-=-成立．设函数()y f x =满足：①在R 上可导，且()f x '也为可导函数：②|()|1f x ≤，x R ∀∈；③(0)0f =，(1)1f =．（1）求证：必存在(2,0)a ∈-，使225[()]()4f a f a '⎡⎤+≤⎣⎦； （2）若(0)f '=，求证：至少存在一个0x R ∈，使()()00f x f x ''=-；（3）设*,2n N n ∈≥，求证：必存在12,,,(0,1)n x x x ⋯∈，使()()()12111n n f x f x f x '''+++=成立．哈三中2019—2020学年度下学期 高二学年第二模块数学（理）考试答案一、选择题D D C B A B D D C C B C 二、填空题 13．83 14．1315．[5,5]- 16．[4,2]e - 三、解答题17．（1）[3,2]- （2）3a ≤18．（1）4a = （2）7()min (2)3f x f ==-，25()max (2)3f x f =-= 19．（1）24y x =，2y x =-+ （2）820．（1）2214x y += （2）5421．（1）[10,4]-（2）217|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326Q x x y y x y y -=-++-≤-++-≤+= 7|21|2|1|2|1|6x x x ∴-++≤-+得证 22．（1）只需证：存在(2,0)a ∈-，使1()2f a '≤． 由题，存在(2,0)a ∈-，使(2)(0)(2)()202f f f f a '---==---， 所以|(2)|1()22f f a '-≤≤，所以225[()]()4f a f a '⎡⎤+≤⎣⎦； （2）同理，必存在(0,2)b ∈，使225[()]()4f b f b '⎡⎤+≤⎣⎦． 令22()[()](),[,]g x f x f x x a b '⎡⎤=+∈⎣⎦，则0(,)a b ∈，且(0)2()()g g a g b =>， 所以()g x 为[,]a b 上的连续可导函数，()g x 必有最大值，且不是(),()g a g b ． 所以()g x 在(,)a b 内必有极大值，即()0g x '=在(,)a b 内必有实根．而()2()()()0g x f x f x f x ''''⎡⎤=+=⎣⎦，则()0f x '=或()()0f x f x ''+=．当()00fx '=时，()()2001g x f x =≤⎡⎤⎣⎦不是最大值，所以，必有()()0f x f x ''+= （3）设i a 为使()(1,2,,1)if x i L n n==-最小的实数()(0,1)i a ∈ 则()i if a n=且121n a a L a -<<< 并令00,1n a a ==，则在每一个()1,(1,2,,)i i a a i L n -=内，必存在i x ，使()()()1111(1,2,,)i i i i i i i f a f a n f x i L n a a a a '----===-- 所以()()11i i i n a a f x -'=-所以()()()()()()1021112111n n n L n a a a a L a a n f x f x f x -'''+++=-+-++-=⎡⎤⎣⎦。

哈三中2019-2020学年度上学期 高二学年第二模块数学（文）考试试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A. 1(,1)2-- B. 1(,1)2C. (1,2)--D. (1,2)【答案】A 【解析】 【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.【详解】22221452100()(1)24x y x y x y +++-=∴+++=因此圆心坐标为1(,1)2--.故选：A【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A.125B. 125-C. 512D. 512-【答案】D 【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角, ∴212113cosa sin a =-=，则512sina tana cosa ==-， 故选D.3. 四张卡片上分别写有数字1,2,3,5，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】 【分析】先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】因为从这四张卡片中随机抽取两张共有6种基本事件，取的两张卡片上的数字之和为奇数有（1，2），（3，2），（5，2）三种基本事件，因此所求概率为3162=. 故选：C【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4. 已知椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. 5y x =±B. 2y x =±C. y x =D. y = 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，所以得21125a -=+，得24a =，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程.【详解】解：因为椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，所以21125a -=+，解得24a =，所以双曲线方程为22145x y -=，所以双曲线的渐近线方程为2y x =± 故选：B【点睛】此题考查椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于基础题.5. 在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.12B.13C.4D.4【答案】C 【解析】 【分析】由直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，可知圆心到直线的距离小于半径，从而可求出k的取值范围，然后利用几何概型求概率的方法可得答案. 【详解】解：因为直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，1<，解得44k -<<，所以所求概率为2424= 故选：C【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，几何概型，属于基础题. 6. 已知,αβ均为锐角，1sin())6363ππαβ-=+=，cos()αβ+=（ ）A.B.【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和余弦公式求解.【详解】因为,αβ均为锐角，所以2 (,),(,) 663663ππππππαβ-∈-+∈因为31sin(),cos()663ππαβ-=+=，所以622cos(),sin()66ππαβ-=+=，因此cos()cos()cos()cos()sin()sin()666666ππππππαβαβαβαβ+=-++=-+--+ 6132263=⨯-⨯=-故选：A【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（）A.332πB.3πC.32πD.32π【答案】A【解析】【分析】先分别求圆面积以及内接正六边形的面积，再根据几何概型概率公式求解.【详解】设圆半径为1，则圆面积以及内接正六边形的面积分别为23,61π，所以所求概率为23614π=33故选：A【点睛】本题考查几何概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 已知角α的终边上的一点(1,2)P ，则sin()3sin 22cos sin()παααπα+++-的值为（ ） A.14B.34C.54D.74【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式以及弦化切进行化简，再根据三角函数定义得tan α值，最后代入求解.【详解】sin()3sin cos 3sin 13tan 22cos sin()2cos sin 2tan πααααααπαααα++++==+-++ 又因为角α的终边上的一点(1,2)P ，所以2tan 21α==， 所以sin()3sin 132722cos sin()224παααπα+++⨯==+-+. 故选：D【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题. 9. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A. 90B. 75C. 60D. 45【答案】A 【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 考点：频率分布直方图.10. 在满足不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的平面内随机取一点()00,M x y ，设事件A ＝“002y x <”，那么事件A 发生的概率是（ ）A.14B.34C.13D.23【答案】B 【解析】 【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率.【详解】如下图，作出不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域（阴影部分ABC ），易知()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，该区域面积为()131242⎡⎤--⨯=⎣⎦. 事件A ＝“002y x <”，表示的区域为阴影部分AOC ，其面积为13232⨯⨯=. 所以事件A 发生的概率是34.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.11. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），满足()03f ，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由()03f =，求得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再结合三角函数的性质，求得7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，即可求解. 【详解】因为()03f =()2sin 3f x ϕ==3sin ϕ=， 又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 的图象关于直线34x π=对称，34632k ππππωπ⎛⎫∴-+=+⎪⎝⎭，k ∈Z ， 即7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，令1k =，得2ω=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12. 已知圆222:(1)E x y r ++=（圆心为点E ）与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，若此抛物线的焦点为F ，且,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，则sin AEF ∠=（ ）【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件得||||1OA OB ==,再与抛物线方程联立求,A B 坐标，最后解三角形得结果. 【详解】因为,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，所以1||||||12OA OB EF ===,设11(,)A x y ，则22111x y +=，2114y x =，所以2111410,2x x x +-==-，因此||sin ||AF AEF EF ∠=====故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，将答案填在答题卡相应的位置上．13. 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】扇形的面积为2211342422r α=⨯⨯=. 故答案为：24【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】曲线C上的点到直线l的距离为|2sin()4|42sin()ππφφ+--+==≤=故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.15. 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】34【解析】【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153204=.故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，P是双曲线C右支上的一点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 的直线平行于直线PQ 交1PF 于点T ，若1222F F PT =，则双曲线的离心率为__________．【答案】2 【解析】 【分析】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，利用正弦定理证明12||||F M PF =,再根据双曲线定义解得||MP ,即得PT ，代入条件解得离心率. 【详解】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，如图，因为O 为NQ 中点,所以12||||,||||,MT TP F N F Q ==,因为11221122||sin sin ||||sin sin ||F M F NM F QP F P F N F MN F PQ F Q ∠∠===∠∠,所以12||||F M F P =，因此12||||||2,2||2||PM F P F P a PT a PT a =-==∴= 12222222F F c a e =∴=∴=2【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线1,2:3,2x l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与抛物线24x y =交于,A B 两点，设点(1,3)M -.（1）求直线l 的普通方程和极坐标方程； （2）求||||MA MB ⋅和||AB .【答案】（1）40x y -+=，cos sin 40ρθρθ-+=； （2）22MA MB =，||AB =【解析】 【分析】（1）根据加减消元得直线l 的普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ==得极坐标方程； （2）将直线参数方程代入抛物线方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果.【详解】（1）1,2:403,2x t l x y y ⎧=-+⎪⎪∴-+=⎨⎪=+⎪⎩因此极坐标方程为cos sin 40ρθρθ-+=（2）1,23,x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24x y =得2220t --=所以12|||||||22|22MA MB t t ⋅==-=，12||||AB t t =-===【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛.（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（2）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为12345,,,,A A A A A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. 设“编号为12,A A 的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件A ，求事件A 发生的概率.【答案】（1）2,1,2； （2）710. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法确定抽取人数；（2）先确定从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛总事件数，再确定事件A 所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）从这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为189185,5,5,189181891818918⨯⨯⨯++++++即2,1,2；（2）从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛共有10种基本事件，其中编号为12,A A 的两名运动员都不选的事件有3个，因此事件A 所包含事件数为7，从而所求概率为710. 【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19. 如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值． 【答案】（1）1:2sin C ρθ=；2:4sin C ρθ=-；（23【解析】 【分析】(1)直接由条件求出1C 与2C的极坐标方程即可;(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-. (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-, 则12sin [4sin()]sin 233ABC S ππθθ∆=--23sin (sin cos cos sin )33ππθθθ=--233sin cos sin θθθ=-+33sin(2)62πθ=+-. 所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆面积最大值为32.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.20. 某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出a 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？ 【答案】（1）a =0.014，众数95，中位数2903； （2）815. 【解析】【分析】（1）根据所有频率和为1求a 的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率为0.5求中位数；（2）先确定成绩在[120，150]的同学人数以及成绩在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）(0.0020.00420.0060.0120.0160.0180.024)1010.014a a +⨯++++++⨯=∴=由频率分布直方图得区间[90,100]对应人数最多，所以众数为901002+=95， 设中位数为x ，则90290(0.0040.0140.0160.024)100.5103x x -+++⨯⨯=∴= 所以中位数为2903；（2）成绩在[120，150]的同学人数有50(0.0020.0040.006)106⨯++⨯=， 成绩在[130,140)中人数500.004102⨯⨯=，从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的抽法有248⨯=种，因此所求概率为815. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.21. 已知函数()2cos (3sin cos )1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 最小正周期并用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象；（2）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式，并求当2[,]123x ππ∈-时，函数()g x 的最小值及此时的x 值.【答案】（1）π，图象见解析；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值12x π=-时取到. 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期，最后根据五点作图法画出图象；（2）根据函数图象变换规律得()g x ，再根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）()2cos cos )12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+所以周期为2π2π=， 列表如下：作图如下：（2）函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到()2sin(2())2sin(2)666g x x x πππ=-+=-,27[,]2[,]123636x x πππππ∈-∴-∈-因此当2,6312x x πππ-=-=-时，()g x 取最小值为32() 3.⨯-=- 【点睛】本题考查五点作图法、正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为33，过椭圆C 焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴交点为P ，若点(8,0)Q -，且OM PQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】（1）22196x y +=； （2）:260l x ±+=.【解析】 【分析】（1）根据通径长以及离心率列方程组，求解得结果；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组解得M 点坐标，与y 轴联立解得P 点坐标，再根据向量垂直坐标表示解得直线l 的斜率。

哈三中2018-2019学年度下学期 高二学年第一模块考试数学(文)试卷 第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2n n N n ∀∈> B. 2,2n n N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 考点：原命题与否命题.2. “1＜x ＜2”是“x＜2”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：因为“若12x <<，则2x <”是真命题，“若2x <，则12x <<”是假命题，所以“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．选A ． 考点：充分必要条件的判断．【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题． 对于命题“若A ,则B ”是真命题,我们说A ⇒B ,并且说A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件，命题“若A ,则B ”是假命题,我们说A ≠>B ,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键．3.复数2256)(3)m m m m i -++-（是纯虚数，其中i 是虚数单位,则实数m 的值是( ) A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 0或2或3【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出复数()2256(3)m m m m i -++-是纯虚数，然后根据纯虚数的定义即可得出复数的实部与虚部的取值范围，最后通过计算即可得出结果。

哈尔滨三中2019-2020学年高二(下)第一次段考数学试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 函数f(x)=x 2−sinx 在[0,π]上的平均变化率为( )A. 1B. 2C. πD. π22. 若f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=( )A. −3B. −12C. −9D. −63. 沿直线运动的物体从时间t 到t +Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt→0ΔsΔt 为( )A. 从时间t 到t +Δt 时物体的平均速度B. t 时刻物体的瞬时速度C. 当时间为Δt 时物体的速度D. 从时间t 到t +Δt 时位移的平均变化率4. 若函数f(x)=ax 2−x +ln x 在区间(1,4)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A. [0,+∞)B. [14,+∞)C. [18,+∞) D. [332,+∞)5. 曲线y =x 3−x +3在点(1,3)处的切线的斜率等于( )A. 2B. 4C. 12D. 66. 函数f(x)=2sinx −x 在区间[0,π2]上的最大值为( )A. 0B. 2−π2C. √3−π3D. 1−π67. 若函数f (x )=x −lnx 的单调递增区间是( )A. (0,1)B. (0,e )C. (0,+∞)D. (1,+∞)8. 若函数f(x)=13x 3+12mx 2+x +1在上有极值点，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪[2，+∞)C. (−2,2)D. [−2,2]9. 已知函数f(x)=x +e −x ，若存在x ∈R ，使得f(x)≤ax 成立，则实数a 的取值范围是()A. (−∞,l −e]B. (l,+∞)C. (1−e,1]D. (−∞,1−e]∪(1，+∞)10.若关于x的不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−2,+∞)B. (−2,+∞)C. [−1,+∞)D. (−1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数f(x)=13x3−2x2+3x−1的单调递增区间为____________．12.函数f(x)=2xe1−x−1的极大值是__________..13.若函数f(x)=x2lg a−2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是____.14.定义在(−π2,π2)上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(1)=0.当x>0时，f(x)<tanx·f′(x)，则不等式f(x)<0的解集为_______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.求曲线y=x3的过(1,1)的切线方程．16.求函数的单调区间f(x)=−13ax3+x2+1(a≤0)．17.设函数f(x)=(x−1)e x−kx2(其中k∈R).(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)的单调区间;,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M．(Ⅱ)当k∈(1218.(Ⅰ)求证：不等式lnx≤k√x−1对k≥1恒成立．(Ⅱ)设数列{a n}的通项公式为a n=√2，前n项和为S n，求证：S n≥ln(2n+1)2n−1【答案与解析】1.答案：C解析：【试题解析】本题考查变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式计算可得f(0)、f(π)的值，进而由变化率公式计算可得答案． 解：根据题意，f(x)=x 2−sinx ，则f(0)=0，f(π)=π2−sinπ=π2，则f(x)在[0,π]上的平均变化率为Δy Δx =f(π)−f(0)π−0=π2−0π−0=π；故选：C ．2.答案：B解析：本题主要考查了导数的定义及其导数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵f′(x 0)=−3，则ℎ→0lim f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)ℎ=m →0lim [4·f(x 0+4m)−f(x 0)4m ]=4m →0lim(f(x 0+4m)−f(x 0)4m )=4f′(x 0)=4×(−3)=−12，故选B ．3.答案：B解析：本题主要考查导数的应用，熟悉导数的定义是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意可知物体从时间t 到t +Δt 时，位移为Δs ，则limΔt→0Δs Δt 的意义即为t 时刻物体的瞬时速度．故选B ．4.答案：C解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)，根据函数的单调性求出a 的范围即可．解：f ′(x)=2ax −1+1x=2ax 2−x+1x ， 若f(x)在(1,4)递增，则2ax 2−x +1≥0在(1,4)恒成立，即a ≥x−12x 2在(1,4)恒成立，令g(x)=x−12x 2，x ∈(1,4)， g ′(x)=2−x2x 3，令g ′(x)>0，解得：1<x <2，令g ′(x)<0，解得：2<x <4，故g(x)在(1,2)递增，在(2,4)递减，故a ≥g(x)max =g(2)=18，故选C ． 5.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题．求出导数，然后由导数的几何意义即可求解．解：因为y =x 3−x +3，所以y′=3x 2−1，所以曲线在点(1,3)处的切线斜率k=y′|x=1=2．故选A．6.答案：C解析：本题主要考查利用导函数求函数闭区间上的最值，属于基础题．先求导函数，然后求极值，得出极大值就是最大值．解：∵f(x)=2sinx−x，∴f′(x)=2cosx−1，令f′(x)=2cosx−1=0，得cosx=12，∵x∈[0,π2]，∴由cosx=12，得x=π3，∴当x∈[0,π3)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(π3,π2]时，f′(x)<0，f(x)递减；当x=π3时，f(x)=2sinx−x在[0,π2]上的极大值是2sinπ3−π3=√3−π3．所以函数的最大值是√3−π3．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性.求出函数的导数，令导数大于零即可解答．解：函数f(x)=x−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x =x−1x，令f′(x)>0，解得x>1．故选D．8.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的导数求函数的极值，属于中档题．求出原函数的导函数f′(x)，由f(x)在上有极值，说明方程x2+mx+1=0有两不等实数根，由判别式大于0求得m的取值范围．解：由f(x)=13x3+12mx2+x+1，得f′(x)=x2+mx+1．若f(x)在上有极值，导函数是二次函数，方程x2+mx+1=0有两不等实数根，∴Δ=m2−4>0，解得：m<−2或m>2；综上m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：A．9.答案：A解析：解：函数f(x)=x+e−x，若存在x∈R，使得f(x)≤ax成立，即：存在x∈R，x+e−x−ax≤0成立．令g(x)=x+e−x−ax，即g(x)min≤0成立．∴g′(x)=1−a−(1 e )x令g′(x)=0，即1−a=(1e)x，∵(1e)x>0，∴当a≥1时，不存在x．当a<1时，存在x．∴x=−ln(1−a)，∴当x∈(−∞,−ln(1−a))时，g′(x)<0，x∈(−ln(1−a),+∞)时，g′(x)>0，∴x=−ln(1−a)时，g(x)min=(a−1)ln(1−a)+(1−a)≤0，解得：a≤1−e，∵a<1，∴实数a的取值范围是(−∞,l−e]，故选：A．分别讨论a的取值范围，构造新函数，结合导数研究函数的最值即可得到结论．本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题10.答案：B解析：本题为恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性、求解函数的最值，考查利用导数求解恒成立问题，题目有一定的难度．由题意得在(0,+∞)上恒成立，令，易求得x∈(0,1)时，函数f(x)为增函数；x∈(1,+∞)时，函数f(x)为减函数，故x=1时，f(x)取得最大值f(1)=−2，故a>−2，问题得解．解：不等式2x3+ax2>ln x2在(0,+∞)上恒成立，即在(0,+∞)上恒成立，令，所以，令f′(x)=0，解得x=1．当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=−2，所以a>−2，所以实数a的取值范围为(−2,+∞)．故选B．11.答案：(−∞,1)，(3,+∞)x3−2x2+3x−1，所以f′(x)=x2−4x+3，解析：解：因为f(x)=13由f′(x)=x2−4x+3>0，得：x<1或x>3，所以原函数的单调增区间为(−∞,1)，(3,+∞)．故答案为(−∞,1)，(3,+∞)．x3−2x2+3x−1的单调递增区间，先求该函数的导函数，让导函数大于0求解x的求函数f(x)=13范围。

1.4 充分、必要条件（精炼）【题组一 命题及其判断】1．（2020·黑龙江道里。

哈尔滨三中高二期末（文））下列说法正确的是（ ） A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”为真命题 B ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为假命题C ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”D ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” 【答案】C【解析】若x 2＝1，则1x =±，故A 选项不正确；“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为“若x ＝1，则x 2＝1”且该命题是真命题，故B 选项不正确； 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”，故C 选项正确； 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若21x ≠，则x ≠1”，故D 选项不正确， 故选：C.2．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期末）已知原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，为真命题，所以逆否命题也是真命题；逆命题为：已知0ab >，若11a b<，则a b >，为真命题，所以否命题也是真命题。

故选D.3．（2019·阿城区第二中学高二期中（文））命题“若3x <，则29x ≤”的逆否命题是（ ） A ．若29x >，则3x ≥ B ．若29x ≤，则3x < C ．若3x ≥，则29x > D ．若29x ≥，则3x >【答案】A【解析】由逆否命题的定义可得命题“若3x <，则29x ≤”的逆否命题是“若29x >，则3x ≥”故答案选A 4．对任意的实数,,a b c ，在下列命题中的真命题是（ ） A ．“ac bc >”是“a b >”的必要不充分条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分不必要条件 【答案】B【解析】因为实数c 不确定，“ac bc >”与“a b >”既不充分也不必要，又“ac bc a b =⇐=” 得“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件，所以正确选项为B.【题组二 充分、必要条件】1．下列哪一项是“1a >”的必要条件（ ) A ． 2a < B ． 2a >C ． 0a <D ．0a >【答案】D【解析】由题意，“选项”是“1a >”的必要条件，表示“1a >”推出“选项”，所以正确选项为D.2．（北师大版新教材2.1必要条件与充分条件）如果命题“p q ⇒”是真命题，那么①p 是q 的充分条件 ② p 是q 的必要条件 ③ q 是p 的充分条件 ④ q 是p 的必要条件 ，其中一定正确的是（ )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】根据必要条件和充分条件的含义，p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B.3．已知:p A φ=，:q A B φ⋂=，则p 是q 的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知A A B φφ=⇒⋂=，反之不成立，得p 是q 的充分不必要条件，所以正确选项为A. 4．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是q 的必要不充分条件 B ．q ⌝是p 的必要不充分条件 C ．p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 D ．q ⌝是p ⌝的必要不充分条件 【答案】C【解析】由p 是q 的充分不必要条件可知,p q q p ⇒⇒.由互为逆否命题的等价性，可知,q p p q ⌝⌝⌝⌝⇒⇒/.所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.故选：C.5．（湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题）除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B6．（2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题）已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【题组三 求参数】1.（上海市格致中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题） 若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】3a <【解析】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件， ∴3a <． 故答案为：3a <．2．已知“()(),20,x ∈-∞-⋃+∞”是“[],1x k k ∈+”的必要不充分条件，则k 的取值范围是___________. 【答案】3k <-或0k >【解析】由已知“()(),20,x ∈-∞-⋃+∞”是“[],1x k k ∈+”的必要不充分条件，则，[]()(),1,20,k k +-∞-⋃+∞，所以12k +<-或0k >，得3k <-或0k >，所以答案为3k <-或0k >.3．已知{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =<，如果B 的充分条件是A ，则实数a 的取值范围是_________.【答案】2a >【解析】“B 的充分条件是A ”，即A 是B 的充分条件，得A B ⇒，即A B ⊆，得2a >，所以答案为“2a >”. 4．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤2a +3}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}．若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝【解析】B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵若x ∈A 是x ∈B 的充分条件， ∴A ⊆B ，若A ＝∅，则2a +3＜a +1，即a ＜﹣2时，满足题意；若A ≠∅，则满足223411a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，即2122a a a ≥-⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，此时﹣2≤a ≤12．综上a ≤12． 故答案为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝5.．（河南省2019-2020学年高三核心模拟卷）已知:12p x -≤，()22:2100q x x a a -+-≥>，若p 是q⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0，2]【解析】∵12x -≤，∴13x -≤≤，即:13p x -≤≤； ∵222100x x a a -+-≥>（），∴1x a ≤-或1x a ≥+， ∴:11q a x a ⌝-<<+， ∵p 是q ⌝的必要不充分条件，∴01113a a a >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得02a <≤， ∴所求实数a 的取值范围是(0，2]． 故答案为：(0，2]6．（2019版导学教程一轮复习数学（人教版））已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 【答案】()0,3【解析】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M ⫋N ，∴014a a >⎧⎨+<⎩，解得0<a <3.故填()0,37．（山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试）已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围 .【答案】302a <<【解析】解出{}|23B x x x =≤-≥或，{}|20A x x a x a a =<>>或， 因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集.所以2323020a a a a >-⎧⎪<⇒<<⎨⎪>⎩故答案为：302a <<8．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值 【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|40B x x x m =-+=，若1B ∈，则B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,0C ．{}1,3-D ．{}1,5【答案】A【解析】先根据1B ∈，解得m ，再化简集合B . 【详解】因为集合{}2|40B x x x m =-+=，1B ∈， 所以140m -+=， 解得3m =，所以{}{}2|430=13B x x x =-+=，. 故选：A 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知函数()ln 1x f x +=()f x 的定义域为（ ）A ．()4,1-B ．()1,1-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B【解析】根据对数的真数大于零，负数不能开偶次方根，分母不能为零求解. 【详解】 因为函数()ln 1x f x +=所以210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，所以141x x >-⎧⎨-<<⎩，解得11x -<<，所以()f x 的定义域为()1,1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．求函数21y x x =--的值域（ ）A ．[0，+∞）B ．[178，+∞） C ．[54，+∞） D ．[158，+∞） 【答案】D【解析】设1x -=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t +2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x 1x --的值域． 【详解】解：设1x -=t ，t ≥0， 则x ＝t 2+1， ∴y ＝2t 2﹣t +2＝2（t 14-）2151588+≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用．4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =， 又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．5．命题“21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．9a ≥B ．8a ≤C ．6a ≥D ．7a ≤【答案】A【解析】根据21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立，求得7a ≥，再根据集合法，选其子集即可. 【详解】因为21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立，所以21,3,24x a x ⎡⎤∀∈≥-⎢⎥⎣⎦，成立，所以7a ≥，命题“21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是9a ≥.故选：A 【点睛】本题主要考查不等式恒成立及逻辑关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．y 2x= B ．3y x = C ．21y x =-+D ．cos y x = 【答案】C【解析】试题分析：偶函数需要满足()()f x f x -=，由此验证可知A ，C ，D 都是偶函数，但要满足在区间(0,)+∞上单调递减，验证可知只有C 符合． 【考点】函数的单调性和奇偶性．【易错点晴】B,C,D 都是基本初等函数，单调性和奇偶性很容易区分清楚，而对于A 选项，若2xy =则为单调递增函数且为非奇非偶函数；若2xy =则为偶函数，且在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.对于含有绝对值的函数，按去绝对值的方法分成两段来解决.7．若正数,a b 满足12a b+=，则当ab 取最小值时，b 的值为 （ ）A ．BC ．D【答案】A【解析】根据正数,a b 满足12a b +=，12a b =+≥再研究等号成立的条件即可. 【详解】因为正数,a b 满足12a b+=12a b =+≥所以ab ≥，当且仅当12a b =，12a b+=a b ==时取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式取等号的条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是 （ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1或-2【答案】C【解析】根据条件结构，分0x ≥，0x <两类情况讨论求解. 【详解】当0x ≥时，因为输出的是1， 所以2log 1x =， 解得2x =.当0x <时，因为输出的是1， 所以21x -+=， 解得1x =-.综上：2x =或1x =-. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.9．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125【答案】C【解析】根据5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】因为5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ， 观察可知415k +的末四位数字3125，425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题. 10．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞ B ．[)6-+∞, C ．(],6-∞-D ．[]8,6--【答案】D【解析】根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解. 【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数， 所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立.所以16a≤-且350a ++≥， 解得86a -≤≤-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.12．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ）A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B【解析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．已知i 为虚数单位，则复数112iz i+=-的虚部为__________． 【答案】35【解析】先化简复数()()()()11211312121255i i i z i i i i +++===-+--+，再利用复数的概念求解. 【详解】 因为复数()()()()11211312121255i i i z i i i i +++===-+--+， 所以复数112i z i +=-的虚部为35. 故答案为：35【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题. 14．定义域为R 的奇函数()f x 满足：对x R ∀∈，都有()()4f x f x =-，且()0,2x ∈时，()1f x x =+，则()2019f =__________． 【答案】2【解析】根据()f x 是奇函数，有()()f x f x -=-，再结合()()4f x f x =-，推出()()8f x f x +=，得到()f x 的最小正周期为8，再求解.【详解】因为定义域为R 的()f x 是奇函数， 所以()()f x f x -=-， 又因为()()4f x f x =-， 所以()()4f x f x -=--，所以()()4f x f x +=-， 即()()8f x f x +=， 所以()f x 的最小正周期为8， 又因为()0,2x ∈时，()1f x x =+，所以()()()()()20198252334112f f f f f =⨯+==-==. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．已知函数()1f x x =+，()21,02,0x x g x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则当1x ≥-时，()()g f x =__________；当1x <-时，()()g f x =________________.【答案】2-. 222x x ++.【解析】根据分段函数的特点，分1x ≥-，1x <-，两种情况讨论求解. 【详解】当1x ≥-时，()10f x x =+≥， 所以()()()12g f x g x =+=-. 当1x <-时，()10f x x =+<， 所以()()()221122g f x x x x =++=++. 故答案为：2-，222x x ++ 【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.16．设定义域为R 的偶函数()f x 满足()()13f x f x -=+，当02x ≤≤时，()21,012,12x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=恰有两个根，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃-【解析】根据()f x 满足()()13f x f x -=+，得到()f x 的周期是4，再根据方程()0f x ax -=恰有两个根，转化为(),y f x y ax ==两个函数图象交点问题求解.【详解】因为()f x 满足()()13f x f x -=+， 所以()()4f x f x +=， 所以函数()f x 的周期是4，又因为()f x 是偶函数，且当02x ≤≤时，()21,012,12x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，作出()f x 的图象，如图所示：已知()()()()3,1,1,1,1,1,3,1A B C D --， 所以11,1,1,33OA OB OC OD k k k k ===-=-， 当01x ≤≤时，()ln 22xf x '=⋅，()0ln 2f '=，当10x -≤≤时，()ln 22xf x -'=-⋅，()0ln 2f '=-，因为关于x 的方程()0f x ax -=恰有两个根，所以实数a 的取值范围为{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃-. 故答案为：{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃- 【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{}{}222|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤.（1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3m =（2）6m >或3m <-【解析】（1）先化简集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，根据[]1,4A B ⋂=求解.（2）由（1）得到{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，再利用子集的定义由R A C B ⊆求解. 【详解】（1）因为集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，又因为[]1,4A B ⋂=， 所以21m -=， 所以3m =.（2）{|2R C B x x m =<-或}2x m >+， 因为R A C B ⊆，所以42m <-或21m +<-， 解得6m >或3m <-. 【点睛】本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．设函数()()24143xf x mx m x m e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求实数m 的值； （2）若函数()f x 在2x =处取得极小值，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m =（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】（1）由()()24143xf x mx m x m e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦，求导()()2212xf x mx m x e '⎡⎤=-++⋅⎣⎦，再根据曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，由()()112120f m m e '=-++⋅=⎡⎤⎣⎦求解.（2）由()()()()221212xxf x mx m x e mx x e '⎡⎤=-++⋅=--⋅⎣⎦，分0m < ，102m ≤<， 12m =，12m >，四种情况讨论函数的极值.【详解】（1）因为()()24143xf x mx m x m e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦.所以()()2212xf x mx m x e '⎡⎤=-++⋅⎣⎦所以()()11212f m m e '=-++⋅⎡⎤⎣⎦又因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直 所以()()112120f m m e '=-++⋅=⎡⎤⎣⎦解得1m =（2）()()()()221212xxf x mx m x e mx x e '⎡⎤=-++⋅=--⋅⎣⎦当0m <时，12x m<<时，()0f x '>，2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2x =处取得极大值. 当102m ≤<时，2x <时，()0f x '>，2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2x =处取得极大值.当12m =时， ()()21202xf x x e '=-⋅>， ()f x 递增，无极值. 当12m >时，12x m <<时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在2x =处取得极小值. 综上：实数m 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的极值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）先由()00f =求出1b =，然后由()()11f f =--求出2a =（2）由12111()22221x x xf x +-+==-+++得()f x 在R 上为减函数，然后将不等式()()22220f t t f t k -+-<化为2320t t k -->即可.【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-. 【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型. 20．设函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为t ，若,,a b c 为正实数，且a b c t ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）5(,1][,)3-∞-⋃+∞（2）43【解析】（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩求解.（2）由（1）函数()f x 的最小值为2，得到2a b c t ++==，再由柯西不等式求222a b c ++的最小值.【详解】（1）原不等式等价于：1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得1x ≤-或53x ≥， 所以不等式()4f x ≥的解集是5(,1][,)3-∞-⋃+∞. （2）由（1）函数()f x 的最小值为2， 所以2t =，所以2a b c t ++==， 所以()()222234a b ca b c ++⨯≥++=，所以22243a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时，取等号. 所以222a b c ++的最小值是 43. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式求最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox ，极坐标系中357,,,4444A B C D ππππ⎫⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎭，弧»»»»,,,AB BC CD DA 所在圆的圆心分别为()()31,,1,,1,,1,022πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线1C 是弧»AB ，曲线2C 是弧»BC，曲线3C 是弧»CD ，曲线4C 是弧»DA .（1）分别写出1234,,,C C C C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为22x ty tλ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），点P 的直角坐标为()2,2，若直线l与曲线1C 有两个不同交点,M N ，求实数λ的取值范围，并求出PM PN +的取值范围.【答案】（1）132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭；42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤）（2）1(0,]3λ∈，710【解析】（1）设弧»AB 上任意一点()1,M ρθ根据ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1，求得132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，同理求得其他弧所对应的极坐标方程.（2）把直线l 的参数方程和1C 的极坐标方程都化为直角坐标方程，利用数形结合求解，把直线l 的参数方程化为直线l 的标准参数方程，1C 直角坐标方程联立，再利用参数的几何意义求解. 【详解】 （1）如图所示：设弧»AB 上任意一点()1,M ρθ因为ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1， 所以132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所以1C 的极坐标方程为132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；同理可得：2C 的极坐标方程为2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 3C 的极坐标方程为3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 4C 的极坐标方程为42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤） （2）因为直线l 的参数方程为22x ty t λ=+⎧⎨=+⎩所以消去t 得()22y x λ=+-，过定点P ()2,2，1C 直角坐标方程为()2211x y +-=如图所示：13PQ k =因为直线l 与曲线1C 有两个不同交点,M N ， 所以103λ<≤因为直线l 的标准参数方程为222121x y λλ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪+⎩，代入1C 直角坐标方程()2211x y +-=得22401t λ++=+1212241t t t t λ+=⋅=+()221212212421t t P t t M PN t t λλ⎛⎫+++- ⎪+⎝=+==⎭+= ()()22222244541121122255λλλλλ++⎛⎫-+-+⎪+++⎝⎭===令131[,)272λμ+=∈ 所以21211015[,)255494m λ⎛⎫=-+∈ ⎪+⎝⎭所以710(4,5PM PN +∈ 所以PM PN +的取值范围是710【点睛】本题主要考查极坐标方程的求法和直线与曲线的交点以及直线参数的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于难题. 22．（1）当 0x >时，求证：12ln x x x-≥； （2）当0x >时，212ln x a x x+-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(],1-∞ 【解析】（1）根据不等式12ln x x x-≥的特征，分 1x =， 1x >，01x <<，构造1()2n f x x l x x=--，研究其单调性即可.（2）将当0x >时，212ln x a x x +-≥恒成立，转化为0x >时，22ln a x ≥恒成立，当1x =时，显然成立，当0x >且1x ≠时，转化为，2a ≤⎝⎭，利用（1）的结论求解. 【详解】（1）当 1x =时，原不等式左边与右边相等， 当 1x >时，原不等式12ln x x x -≥，等价于12n x l x x-≥， 令1()2n f x x l x x=--， 所以()2222211221()10x xx f x x xxx--+'=+-==>，所以()f x 在()1,+∞上递增，()()10f x f >=， 所以12n x l x x->， 当 01x <<时，原不等式12ln x x x -≥，等价于12n x l x x-≤， 令1()2n f x x l x x=--，所以()2222211221()10x x x f x x x x x--+'=+-==>， 所以()f x 在()0,1上递增，()()10f x f <=， 所以12n 0x l x x-<<， 综上：当 0x >时，12ln x x x-≥； （2）因为当0x >时，212ln x a x x+-≥恒成立， 所以当0x >时，22ln a x ≥恒成立，当1x =时，显然成立，当0x >且1x ≠时，2a ≤⎝⎭恒成立， 由（1）知当0x >且1x ≠时，12ln x x x ->，所以21>⎝⎭，所以1a ≤.实数a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。