从毕氏学派到欧氏几何的诞生
蔡聪明
前言
欧氏几何的创立，是数学史也是人类文明史上破天荒的大事。古埃及与巴比伦的直观、个案
的经验几何知识，传到古希腊，Thales 首先尝试用「逻辑」加以组织。接着是毕氏学派，
采用原子论(atomism) 的观点，将几何建立在算术基础上面。毕氏学派主张：点是几何的
「原子」，其长度d > 0，因而任何两线段皆可共度。由此证明了长方形的面积公式、勾股
定理与相似三角形基本定理。不幸的是，毕氏的门徒Hippasus 发现了不可共度线段，震垮
了毕氏学派的几何学。后来虽有Eudoxus 的比例论来补救，但欧氏已不走毕氏的旧路，改
采公理化的手法，以几何公理来建立几何。这一段历史非常珍贵，不论是在知识论、科学哲
学或教育上，都深具启发性。
当代著名的科学哲学家拉卡托斯（I. Lakatos, 1922～1974），在《论分析与综合方法》一文中
说得好（详见参考资料1）：
我认为对于希腊几何所能做的最精采工作，是分析欧氏之前的几何(pre-Euclidean geometry)
及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色。大部分的欧氏几何，在欧氏(Euclid) 给
出公理与定义（公元前300年）之前已经存在，正如数论在Peano 给自然数作出公理化（1889
年）之前、微积分在实数系建构（1870年，Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass 等
人的工作）之前、机率论在Kolmogorov 公理化（1933年）之前，都已经存在。问题在于
为何需要公理化？公理化对于数学的进一步发展有什么帮助？
在数学史上，欧氏几何是第一个公理化的知识系统，由定义与公理出发，推导出一系列的定
理。我们读欧氏几何都接受这样的推展程序。
然而，公理是怎么得来的呢？为什么要选取这样的公理？公理并不是天经地义的。显然，它
们都是经过长期的试误(trial and error) 才演化出来的。公理有如宪法，都是人们制订出来
的，可以挑战，更可以修订或重订。这是欧氏几何产生出非欧几何(non-Euclidean geometry)，
牛顿力学被修正成为相对论与量子力学，导致科学进展的理由。
本文我们尝试对欧氏之前的几何学，作合理的重建工作(rational reconstruction)，最主要是
重建毕氏学派的几何研究纲领(the research program of geometry)，以及欧氏做出欧氏几何的
分析过程。毕氏这一工作虽然没有完全成功，但是却可比美于他为了追寻音律而用单弦琴(monochord) 所作的第一个物理实验（见参考资料18），并且也为欧氏几何的诞生铺路。成
功是踏着前人的失败走过来的。
一、
经验与逻辑
物理学家爱因斯坦认为，西方文明对人类的两大贡献是：
1. 古希腊哲学家发明的演绎系统，即采用逻辑推理来组织知识的方法：先追寻出基本原理，再论证并推导出各种结论，总结欧氏几何。
2. 文艺复兴时代（十五、六世纪）发展出来的实证传统(positivistic tradition)，即透过有目的与有系统的实验观察，以找寻真理与检验真理的态度。
爱因斯坦「直指本心」地点明出：经验与逻辑是西方文明的骨干，它们是建立科学与数学的两块基石，缺一不可。知识在「眼见」（经验）加上「论证」（逻辑）的双重锤炼下，才变成真确可信。这是其它民族所欠缺或没有奠下的基础。
经验与逻辑是科学的两只眼睛，它们在十七世纪紧密结合起来，透过刻卜勒、伽利略与牛顿等人的伟大工作，终于产生了近代的科学文明。
希腊奇迹
一般而言，一门学问的发展都是先从累积直观的、实用的、经验的知识开始，储存丰富了之后，才进一步地组织成比较严谨的知识系统。这是因为经验知识难免会有错误、含混、甚至矛盾，所以需要加以整理，去芜存菁。德国哲学家康德（I. Kant, 1724～1804）说的好：
所有的人类知识起源于直观经验(intuitions)，再发展出概念(concepts)，最后止于理念(ideas)。最令人惊奇的是，古希腊人将古埃及与巴比伦长期累积下来的经验几何知识，用逻辑锤炼成演绎系统，由一些基本原理（公理）推导出所有的结论（定理）。从「实用」，转变成「论理」之完全「质变」，这就是历史上所称的「希腊奇迹」(the Greek miracle) 之一。
古希腊人将数学提升到可以「证明」并且要讲究「证明」的境界，使得数学变成最严密可靠的知识，而有别于其它学问。这是数学的魅力之一。英国逻辑家罗素（B. Russell, 1872～1970）说「数学最让我欣喜的是，事物可以被证明。」(What delighted me most about mathematics was t hat things could be proved.)
古希腊人从编造神话故事来解释世事（神话诗观），进展到亚里斯多德(Aristotle) 的有机目的观：一切事物都趋向其目的地而运动。在数学中，更进步到欧氏几何的公理化体系，利用直观自明的公理来解释所有观测到的经验几何知识。这是知识的巩固，也是进一步发展的基础。
直观经验几何
几何学起源于测地、航海、天文学，以及日常生活的测积（长度、面积、容积）与铺地板等等。换言之，大自然与生活是几何学乃至是数学的发源地。
几何观念的来源
根据希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 约公元前485～425年）的说法，几何学开始于「测地」。古埃及的尼罗河每年泛滥，湮没田地，因此需要重新测量土地。几何学「Geometry」一词就是由「Geometrein」演变而来的，其中「geo」是指土地，「metrein」是指测量。测量土地的技术员叫做操绳师(rope-stretchers)，因为绳子是用来帮忙测量的工具。原子论大师德谟克瑞塔斯（Democritus, 公元前460～370年）曾提到，当时的操绳师具有精湛的测量技术与丰富的几何知识，几乎快要跟他一样好。德谟克瑞塔斯自夸道：「在建构平面图形与证明方面，没有人能超过我，?顸O埃及的操绳师也不例外。」
几何观念的第二个来源是航海与天文学。哲学家康德说：
有两样事物充满着我的心，并且产生永不止息的敬畏。那就是：在头上灿烂的星空，以及心中的道德法则。
人类长久以来对星空的观察，除了敬畏与订历法之外，还从中抽取出点、线、三角形、多边形、圆、方向、角度、距离……等几何概念，以及三角形的测量。更重要的是，从行星井然有序与周而复始的运行中，产生了规律感与美感(the sense of orders and beauty)，这是科学发展的必要条件。数学家兼哲学家怀海德（Whitehead, 1861～1947）说得好：
活生生的科学是不可能产生的。除非人们具有普遍而本能地深信：事物存在有规律；或特别地，大自然存在有规律。
科学追寻大自然的内在秩序与规律。同理，几何追求几何图形的内在秩序与规律。它们最早都
