解题方法:巧用角平分线解题
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巧用角平分线解题
1.显“距离”, 用性质
很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身(过角平分线上的一点向角的两边作垂线段)
例:三角形的三条角平分线交于一点,你知道这是为什么吗? 分析:我们知道两条直线是交于一点的,因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点.
已知:如图,△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ,求证:点I 在∠ACB 的平分线上.
证明:过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ,垂足分别是点H 、G 、F . ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上,且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG (角平分线上的点到角的两边距离相等) 同理 IH=IF ∴IG=IF (等量代换) 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC
∴点I 在∠ACB 的平分线上(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上).即:三角形的三条角平分线交于一点.
【例2】已知:如图,PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线,•它们交于点P ,PD ⊥BM 于D ,PF ⊥BN 于F .
求证:BP 为∠MBN 的平分线.
D C
B
A E H
I F
G
【分析】要证BP为∠MBN的平分线,只需证PD=PF,而PA、PC为外角平分线,•故可过P作PE⊥AC于E.根据角平分线性质定理有PD=PE,PF=PE,则有PD=PF,故问题得证.
【证明】过P作PE⊥AC于E.
∵PA、PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线.且PD⊥BM,PF⊥BN ∴PD=PE,PF=PE,∴PD=PF
又∵PD⊥BM,PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上,
即BP是∠MBN的平分线.
2.构距离,造全等
有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题.例3.△ABC中,∠C=90°,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D点,问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长.请说明理由.
解:过D作DE⊥AB,交AB于E点,则E点即可满足要求.
因为∠C=90°,AC=BC,又DE⊥AB,∴DE=EB.
∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB,∴CD=DE.
由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED.∴AC=AE.
∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB.例4.如图,∠B=∠C=90°,M是BC上一点,且DM平分∠ADC,AM平分∠DAB.
求证:AD=CD+AB.
2
D
C
B
A 3
5
E
F
14
证明:过M 作ME ⊥AD ,交AD 于E . ∵DM 平分∠ADC ,∠C=90°.
MC=ME . 根据“HL”可以证得Rt △MCD ≌Rt △MED ,∴CD=ED . 同理可得AB=AE .∴CD+AB=ED+AE=AD . 即AD=CD+AB . 3.巧翻折, 造全等
以角平分线为对称轴,构造两三角形全等.即在角两边截取相等的线段,构造全等三角形.
例5.如图,已知△ABC 中∠BAC=90°,AB=AC ,CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D ,BD 交AC 于E ,求证:BE=2CD .
分析:要证BE=2CD ,想到要构造等于2CD 的线段,结合角平分线,•利用翻折的方法把△CBD 沿BD 翻折,使BC 重叠到BA 所在的直线上,即
构造全等三角形(△BCD ≌△BFD ),然后证明BE 和CF (2CD )所在的三角形全等.
证明:延长BA 、CD 交于点F
∵BD ⊥CF (已知) ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC (已知) ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中
21()
()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
已知公共边已证
∴△BCD ≌△BFD (ASA ) ∴CD=FD , 即CF=2CD
∵∠5=∠4=90°,∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°,∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。 在△ABE 和△ACF 中
45
13()AB AC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
已证
∴△ABE ≌△ACF (ASA )∴BE=CF , ∴BE=2CD 。
例6.如图,已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD•相等吗?请说明理由.
【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法.
1.可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,•然后证明剩余的线段与另一条线段相等.(割)
2.把一个三角形移到另一位置,使两线段补成一条线段,再证明它与长线段相等.(补)
34
D
C
A
B
6
5(1)
F E
1
2
34
D
C
A
B
6
5
(2)
E
F
1
2
证法一:如图(1)在AB 上截取AF=AC ,连结EF .在△ACE 和△AFE 中
D
C
A
E