几类二阶变系数微分方程的求解

例 ５ 已 知
对 应 的 齐 次 方 程 有 一 解 为 ｒ ） ＿ｎ 求 非 齐 次 方 程 的 通 解 ． （ 一ｓ ＿ｘ ｉ ＝
，
解 由 理 ， ＋ｃ ・ ｃｚ 号 ，解 定 ３ ２ｔ ｚ 。， 一 ＋ 通 为 有 。 — ｔ得 －
ｖ ＿厂 一 Ｃ Ｓ ＇ 一 ： Ｏ ．＋ ｓｎ Ｚ 十 ｉ ｚ． ｚ・
Ｙ 一 ｒ （ ） （ ＋ ｒ ｚ） （ ， １ ｚ） ｚ （ ｚ） 一 ｒ ） （ ＋ ２ ｚ） ￡（ ＋ （ （ （ ｚ） ｒ （ ｚ ） ） ）
代 人 方程 （） １ 得
ｒ ｚ） Ｉ ＋ ２ ｚ） ｚ） ｐ（ ｒ ｘ） ） （ （ ＋ ｐ（ ／（ ＋ ｑ ） （ ） （ 一 － ） （ “ （ ） ｒ （ “ （ ＋ ｘ） （ ｕ （ ＋ ｚ） ｚ ｚ） ｚ） （ ｒ Ｉ ） ｚ） 厂 ｚ （ ．
这 已经是 一 个常 系数 二 阶线 性微 分方 程 ．
在 定 理 ２中 令 ｒ ） ｒ 常 数 ） 即 得 以下 结 论 ． （ — （ ，
推 论 １ 若 存 在 常数 ｒ 得 ｒ ＋ｒ ） （ 一０ 则 方程 （ ） 使 （ 十ｑ ） ， １ 的通 解 为
— ｅ
｛¨ ［（ｅ ｄ ｃｄ ｃ 』 』ｚ ｚ ｚ ｅ ＿ 厂） 吖 ＋］＋ ） ．
证 在 （ ） ， ２ 中 令 二 １代 人 （ ） 得 ｒ（ ） ｐ（ ｒ ｚ ＋ ｒ （ ＋ ｑ ｚ ＝ ｏ 再 令 ｒ ） ＝ ＝ ４ ， ｚ ＋ ） （ ） ） （ ）＝ ， ＝ （ 一 ｒ ｚ 一 ｚ ｒ ｚ ＋ ｑ ｚ ， 以 ， ｚ ＋ ｒ１ ＋ ｒ（ ）＝ ， 为 伯 努 利 方 程 ， 解 为 （ ） （ ） （ ） （ ） 所 ｒ（ ） （ ） ｚ ＝ ０ 此 ｚ ＝ 通
［ 摘 要 ］ 给 出 了 可化 为 常 系数 或 可 降 阶 的变 系数 二 阶微 分 方程 的条 件及 在 此 条 件 下 求 变 系 数微 分 方 程
的解．
［ 键 词 ］ 变 系数 ； 系 数 ； 分 方 程 ； 解 关 常Biblioteka Baidu微 求
［ 图分 类 号 ］ ０１ ５ １ 中 ． ７ ［ 献 标 识 码］ ｃ 文 ［ 章 编 号］ １ ７ — ４ ４ ２ １ ） ｇ０ ０ — ４ 文 ６ ２ １ Ｓ （ ０ １ Ｏ 一２ ０ ０
在 定 理 ２中 令 ｒ ｚ 一 即得 如 下 结 论 ． （） 推 论 ２ 若 户 ｚ 一 －ｘ （ ） 则 方 程 （ ） 通 解 为 （） ｑｘ ， １的
— ｚ
｛１ｆ． 厂 ） ｄ ｃ ｃ ＿ ｅｘ 』 （ｅ ｚ ｚ ＋） ｆ ） － ＋］ ｐ［ ｚ （ ￣ ｄ ．
研 究
￣ ｐ（ ｙ ＋ ｑ ｚ） － ｘ） （ 一 －（ ， 厂 ｚ） （） １
（ 中 （ ）ｇ ｚ ， ） 连续 函数 ） 其 ． ，（ ） ，（ 为 ｚ 满足 一 定条件 下 的求 解情 况．
２ 几 个 结 论
定理 １ 设 方 程 （ ） 足 条 件 １满
一
（ 数 ） 常 ，
１ 引
言
变 系 数 二 阶 线 性 微 分 方 程 在 纯 数 学 、 用 数 学 、 学 、 理 学 及 工 程 技 术 中有 着 重 要 的 地 位 ． 于 它 应 力 物 关
的通解结 构有 十分 完美 的结 论 ， 求解 却无一 般方 法． 但 本文从 解 常系数 或可 降 阶的二 阶线性 方程 的方 法
． ｙ一
例 方 一去 ６ｙ ８ 一的 解 ２求 程 （＋ｚ ／ｚ ０ 通 ． ）＋
解 因为 ———
１ 一２ ＋ ｚ ． ｚ ６ ６ １ ８ ｆ
＝ 一
、８ ５ ， ｘ
一一３ 由定 理 １原方 程 可化 为 √ ． ，
ｄｔ 一 ２ ｄ 。 — ｏ， ２ ｔ＋ ，
， 为 可 降 阶 的 二 阶 微 方 程 ， 之 得 此 解
ｆ￣ｅ）］』ｚ 出ｚｃ －ｃ ｔ ｛ｌｒ￣／ “ ｄ ｚｚ （ ｌ （［ ｅ ＋］＋ ｝ ｘ Ｓｘ ） （） ｄ ｘａ － ｄ ．
＋ 是 ＋ Ｚ 一 厂 ｚ）ｅ“ ｚ （ Ｊ
，
若 ｒ ）＝ （ ＝一去［ （ ） ｋ￣ ／ ＋ （）（） ） （） （ ＝ － ］ （） ｚ ｒ ＋ｒ（ ＋ｑ１ 一ｚ ｚ 常数）将其代人（）则方程（） ， ３， １化为
Ｌ ｑ（ ｊ ｃ ｘ）
其ｅ＿ ；茎 则程， 为 中 ｛， ；： ｃ 化 一二 ： 方 ｉ 可
。
ｄ ｙ ．Ｃ ｙ ． 。 ｄ
十
－
ｔｙ－ －
ｆ（ ） （）
‘
证
今
（一 ｚ－ ）ｆ
代 入 （ ） 得 １，
ｄ ＝ － ，ｄ一 ｚ ＿ Ｚ （ ） 譬 ｅｚ ， ｙ ＋（ ・ ｑ） ，
一 ｅ
） ｅ 一 Ａ ｄ ｃ， “ （ｅ ＋］＋） ｛ “ Ｅ “ ｄ ｚ
，
其 中 ｓ ： 一 （ ～ ｒｚ ． ｒ ） 一 百 （ ） 是 且 ／（ ） （ ） ） （ ） 若 （ 一 １（ ｚ 一 ） ｚ ＋ （ ） （ ） ｚ ｒ １ ＋ （ ） ｑ ｚ 一 常 数 ） ｚ ｚ＋ （） （
ｅ 出 。＋ ｄ ＋ Ｙ＝ ２ ‘ 一 ＝ ＝ ， ｔ ｇ（ ）’ ｚ －
这 已经 是可积 常 系数二 阶线 性微 分方程 ． 定 理 ２ 若 存 在 ｒ ） 等 式 ｒ（ ＋夕（ ） （ ） ｒ （ － ｑ ｘ 一 ０ 则 方 程 （ ） 通 解 为 （ 使 ） ｚ ｒｚ ＋ 。 ）￣ （ ） ， － １的
因 为 — ｒ ） 方 程 （ ） 解 ， （ 是 ３的 即 （ ＋ ｐ（ ｒ （ ＋ ｑ ｚ） （ 三 Ｏ 所 以 ｚ） ） ｚ） （ ｒ ｚ） 三 ， 三
ｒ ） Ｈ ｚ） （ ｒ （ ＋ （ ｒ Ｉ） （ 一厂（ ． （ Ｕ （ ＋ ２ ｚ） ｚ） （ ） ） ｚ ｚ）
令 “ （ ） ， ｚ 一 即得 到 一 阶 线 性 方 程
则 方 程 （ ） 为 １化
＋［ ） ２ （ ＋ （ ） ＋［ ） ｚ］ ／（ ＋ｐ ｚ ｒ ） 一（ ＋ｑ ｚ ］ 一厂 ）ｅ （ ） （ ＋， ） （ ） ｚ ｚ （ 寸
所 以 ， ＋ ［ ） ｐ ） ＝ （ ２ （ ＋ （ ］ ＝ ）。 ＝
＝＝ ｅ ＝
，
（） ３
［ 参 考 文 献］
［］ 丁 同 仁 ， 承 治． 微 分 方 程 教 程 ［ ． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ，０ １ １ 李 常 Ｍ］ 北 高 ２ ０ ［ ］ 庄 万 ． 微分 方 程 习题 解 Ｅ ． 南 ： ２ 常 Ｍ］ 济 山东 科 学 技 术 出版 社 ，０ ３ ２０ ．
（ ．Ｂａ ｉ １ ｓｃ Ｃｏｕ ｓ ｓ Ｄｅ ｒ ｍ ｅ ｆＧ ｕ ｇｚ ｏｕ Ｐａ ｕ Ｐｏｌ ｔ ｃ ｉ ｒ ｅ ｐａ ｔ ｎｔｏ ａｎ ｈ ｎｙ ｙ ｅ ｈｎ ｃ，Ｇ ｕ ｎｇ ｈｏ ａ ｚ ｕ， Ｇｕａ ｇｄ ｇ １４ ｎ ｏｎ ５１ ８３， Ｃｈｉ ａ； ｎ
则
［ 稿 日期 ］ ２ ０—３２ ； ［ 改 日期 ］２ ０ —６２ 收 ０ ９０—４ 修 ０ ９０ —３
第 ３期
范小勤， ： 等 几类 二 阶 变 系数微 分 方程 的 求解
２１ ０
方 程 （）］ 为 常 系数 线性微 分 方程 ． １ 石化 证 令
ｖ— ． ｅ ， （ ２）
＋ ＋ ） ． （ ＝
２２ Ｏ
大 学 数 学
第２ ７卷
３ 实
例
例 方 一 ２ １解 程 导 ＋ 一 ２ 解 （一 （＋ （＝ 一 ＋ 一，忌０＝， ＝ｚ一 ＋ｔ 所 ｚ）４ｚ ２ ｚ ≥ ０ ＝，ｏ ２ 詈 ｆ十 ，以 ｚ ｑ） ） ４ 取 ｚ 则 ， ｚ （十ｚｃ ． 荨 ｃ＋ ） ｚ ｚ
所 ＋ｚ ， ｆ ｄ ． 故 解 以一 ｃ ｚ ｚ 通为 一 ｚ ，
２ｅ Ｙ一 １ ｚ 十 ２ ２ ． ｅ 一 １ 。＋
．
例 ３ 求 （ － １ ｙ －ｘ ｘ－ ） ｙ ＋ 一 （ － １ 的 通 解 ． ｘ ）ｅ 解 方 程 变 形 为 ｙ＇ ｔ ，
第 ３期
范 小 勤 ， ： 类 二 阶 变 系数 微 分 方 程 的 求 解 等 几
２３ Ｏ
１ ］ 王 波 ． 用 待 定 法 求 解 变 系 数 微 分 方 程 ［］ 焦 作 大 学 学 报 ，０ ４ １ （ ） ９ — １０ － ３ 利 Ｊ． ２ ０ ，８ ７ ：９ ０ ．
［ ］ 周 玲 ， 玲 玲 ． 于 变 系 数 线 性 微 分 方 程 的求 解 方 法 Ｉ］ 安 徽 教 育 学 院学 报 ，０ ７ ２ （ ） １ ４ 张 关 －． ｊ ２ ０ ，５ ５ ：１
＋ 户（ ） ＋ ｑ ｚ） （ 一 ０ （） ４
推 论 ３ 若 ｐ ｚ）ｑ ｚ 是 关 于 ｚ 的 连 续 函 数 ， （ ，（ ） 且 （ ） － ｑ ｘ （ｅ ～ １ ＋ １ 则 方 程 ｚ一 （ ） ｃ ） ，
解 为
ｖ 一 。
Ｊ 芒
ｄ
，
１ 声（ ） ０ 一 ． ≠ ． ｚ
第 ２ ７卷 第 ３期
２１ ０ １年 ６ 月
大 学 数 学
Ｃ ｏ ＬＬＥＧ Ｅ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ｌ ２７， ． № ３
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．０１
几 类 二 阶变 系数 微 分 方 程 的求 解
范 小 勤 ， 毕 朝 晖
（ ． 州 番 禺职 业 技 术 学 院 基 础 课 部 ， 东 广 州 ５ １ ８ ； ２ 南京 交通 职业 技术 学 院 图 书 馆 ， 苏 南京 ２ １ ８ ） １广 广 １ ４ ３ ． 江 １ １８
： ｃｅ十等 ｚ Ｃ －ｚ－ （一）． １ ｘｘ ｅ ｘ ｅ
例 ４ 解 方 程 。 Ｕ－ ｙ －ｙ Ｏ ｙ ｑｘ ＝ ． 解 由推 论 ２ 原 方 程 的 通 解 为 ，
— ｘｐ
｛ 忐
．
ｄ ｘ｛ ｄ） ｅ 熹 （） ＝ｘ ｐ
＋ 一 Ｓ ｚ
一 ｚ（ ｅ１ ｉ十 ２ ）
ｒ ｚ） （ ｅ （ 一 ｃ 一 １） ， ～
， 则
故 当
一 （ｅ－ １ 或 ｐ（ ）＝一 ｑ ） ｃｘ １ ＋ １时 ， ｃ￣ ） ｚ ＝ ＝ （ （ｅ ｍ ）
一 。
Ｊ 尚
为 （） ４ 的解 ．
定理 ３ 设 ｒ－ 为方 程 （） 应 的齐 次方 程 （ ） 解 ， 方程 （） 化 为一 阶线 性 方程 ． （） ｚ １对 ４的 则 １可 证 方 程 （ ） 变 换 —ｒ ｚ （ ） 则 有 １作 （） １ ， ｚ
ｚ
，
３ ＋ ｌ 一ｚ１ ，定 ２ 取 （一，能 等 。 ７ （ ） 由 理 ， ｒ）１ 使 式 一 ／ ＿ 一 ｅ 选 － 就 ｚ
ｓ）一一 ） ， （一 （ ｚ 一＝
＋ １ — 上 一 ０ 成 立 ， ＋ Ｚ —— 恒 且
．
故 原 方 程 的 通 解 为
一
｛』 ＿ 『 １ ｅ ｚｃ ｃ Ｊ［ １ Ｌ 一） ＿ ＋ ｆ ｆ ］ ｄ 』 （ ｄ ］ ｝ 一 ＋
Ｓ ｖ ｒ ｌＫｉ ｄ ｆ Ｓ ｃ ｎ — ｒ ｒ Ｖａ ｉ ｂ ｅ Ｃｏ ｆ ｉ ｉｎｔ ｅ ｅ ａ ｎ ｓ ｏ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄｅ ｒ ａ ｌ ｅ ｆ ｃ ｅ
Ｄ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌＥｑｕ ｔｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ｅ ｅ ｔａ ａ ｉ ｎ Ｓ ｌ ｔｏ
ＦＡ Ｎ ｉ — ｉ ． Ｂ ＩＺｈａ — Ｘ ａｏ ｑ ｎ ｏ ｈｕｉ