一、选择填空题（每小题3分，共36分）
1． 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-
=n x n x A n 11， n =1,2,…则：lim n n A →∞
=
2． 代数数全体的基数是
3． 开集()()0,12,3 的构成区间是
4． 设()f x +与()f x -分别为()f x 的正、负部，用它们表示()f x 为
5． 设()f p 在[][]0,10,1⨯上可积，改变积分序有
[][]0,10,()x dx f p dy =⎰⎰
6． 叶果洛夫定理可概述为几乎处处收敛的可测函数列是 一致收敛的
7. 符号函数在0x =点处的列导数是
8. 设Q 为()0,1中的全体有理数，则0
Q = 9. 下列不是有界变差函数的是
()()[,]A f x C a b '∈ ()()[,B f x C a b
∈
()()C f x 在[,]a b 上单调有限 ()D ()f x 在[,]a b 上满足李普希兹条件
10. 有界变差函数的不连续点的个数是 ()A 有限 ()B 可数 ()C 至多可数 ()D 不可数
11. 设A a =，B 为不可数无限集，则A B -为 ()A B ()B a ()C c ()D a ≤
12. 设E E '=∅ ，则E 为
()A 孤立点集 ()B 开集 ()C 闭集 ()D 完备集
二、判断题（在题前括号内填⨯或√）（每小题2分，共20分） （ ）1．若E ≠∅，则0m E *> （ ）2．若E 有界，则m E *<∞ （ ）3．若E 无界，则m E *=∞ （ ）4．若0m E =，则0m E = （ ）5．若,A B 都可测且A B ⊂，如果()0m B A -=，则m A m B = （ ）6．若E 可测，A 可数，则()mE m E A = （ ）7．几乎处处有限的可测函数是“基本上”连续的 （ ）8．几乎处处收敛比依测度收敛强 （ ）9．若()()A B B A dx f p dy dy f p dx =⎰⎰⎰⎰，则()f p 在A B ⨯上可积 （ ）10．函数在一点的列导数是唯一确定的 ——————————————————
密————
封————
线————
内————
答————
题
三、（本题6分）设在康托尔集P 上定义函数()0f x =，在P 的余
集中长度为3n -的构成区间上定义为n (1,2,3,)n = ,证明()f x 可积分，并计算积分值
四、（本题8分）设在可测集E 上()()n f x f x
⇒，而()()..n n f x g x a e E =于，1,2,n = ，证明：()()n g x f x ⇒ 五、简答题（每小题5分，共30分） 1．证明：若A B C ⊃⊃，且A C ，则A B C 2．证明：单位正方形{}(,)0,1I x y x y =<<与整个平面 {}2(,),R x y x y =-∞<<+∞对等 3．设A B ⊂且A 可测，m A <∞，又m B mA *=，证明：B 可测 4．证明：E 可测时，关于E 的特征函数是n R 上的可测函数 5．讨论()f x 与()f x 之间可测性的关系 6．设[0,]E π=，23,()sin x x E f x x x E ⎧+=⎨⎩为上的有理数，为上的无理数，计算()E f x dx ⎰ 密————
封————
线————
内————
答————
题————
无
————
效
