03-第3讲数列极限(1)

10
x2n

x4 x2
1 10 2 1 10 4

)
0
1 10 2 n
x
xn N(O, ) | xn 0 | .
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
N 0,
以后的所有项
当 nห้องสมุดไป่ตู้ N 时,
取 N max{N1 , N 2 }, 则当 n N 时,
任 意 性
| a b | | a xn xn b | | xn a | | xn b | 2
常 数
由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .
唯一性定理的推论
n
lim xn a
想想：
有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？
例2
观察例1 中的几个数列：
1 1 1 n , 有界 (可取 M ). n 0 2 2 2
{( 1)
n 1
} 不单调, 但有界 ( 可取 M 1 ).
n 1 (1) n 1 (1) 0 不单调, 但有界 (可取 M 1 ). n n n n 0. , 有界(可取 M 1 ), n 1 n 1
故取 N1 [1 ], 则当 n N1 , n 为偶数时 , 有
n 1 1 ; n
n 1 n 1 n 同理 , 要 1 , 即要 2 2 n n
2 2
2
1 2 , n
故取 N2 [1 ], 则当 n N2 , n 为奇数时 有 ,
n 1 1 ; 2 n
放 大 不 等 式 法
1 , 则当 n N 时, 故取 N 1 1 1 sin 0 sin n n n n n
成立. 由极限的定义可知:
1 lim sin 0 . n n n
几个结论 1.
常数列 { xn } : a , a ,..,a ,..., 证明 lim a a .
n
2.
3. 4。
证明 : 若 lim xn a, 则 lim | xn | | a | .
n n
n
lim a 0 ( | a | 1 ).
n
lim
n
n
a 1, (a 0)
证明：如果 {xn } 满足 5。 lim xn a (n 2m), lim xn a (n 2m 1),
第二章
极限与连续
第一节 数列的极限
一、数列及其简单性质
二、数列的极限
三、数列极限的性质
一、数列及其简单性质 1. 定义
＋
数列也称为序列
设 f (n) 是以正整数集 Z 为定义域的函数 .
将 f 的值域 f ( Z ) { xn | xn f (n), n N } 中的元素 xn , 按自变量 n 增大的次序排列出来所
n n
则 lim xn a, 其中 m Z .
n
n 1 , 当 n 为偶数, n 例10 设 xn 2 证明 : lim xn 1. n n 1 , 当 n 为奇数, 2 n 证 0, n 1 n 1 n 1 要 1 , 即要 , n n n
{2 } , 无界 (但下方有界： n 2 ). x
n
量化表示：n 时, xn a .
( 1) n 从数列 { xn } n 的图上看, 10
x1
1 10
x2n-1
1
2 n 1

(
x3
1 3 10
) • • • (• • • • • • •(• • • * • • • • • • • • • •) • • •
回想数列的极限
n
lim xn a :
0, N 0, 当n N 时, 有
| xn a |
| xn | | a | | xn a | | xn | | a |
如果固定 , 则似乎可以得到
{xn } 有界的结论 ?
2.有界性定理
| xn a | 即 xn a a xn a
由此, 你认为可能得到什么结 ? 论
3.保号性定理
若 lim xn a, a 0 (a 0), 则 N 0,
n
当 n N 时, 有 xn 0 ( xn 0).
N = N().
n > N 描述 n .
由 N 存在与否判断数列的极限是否存在.
例5
1 证明： lim n 0. n 2
0,
一般有
n
证
lim a 0 ( | a | 1 ).
n
1 1 1 1 n 由 n 0 n 2 n log 2 2 2
证
设 lim xn a, 且 a 0, 则由极限的定义 ,
n
a 取 0 时, N 0, 当 n N 时, 2 a | xn a | , 2 由绝对值不等式的知识, 立即得 a 0 a xn . 2
得到的一串数：

x1 , x2 , ......, xn , ......
称为一个数列, 记为{ xn }. 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
2. 数列的表示法
在数轴或直角坐标系上表示
例1
介绍几个数列
( 1 ) { 2 } : 2 , 4 , 8 , ..., 2 , ...
{x2 n 1} : 1, 1, 1, , ( 1)
而 lim x2 n1 lim 1 1,
n n
(2 n 1) 1
{x2 n } : 1, 1, 1, , ( 1)
n
2 n 1
lim x2 n lim (1) 1,
n
故 lim (1)
} : 1, 1, 1, 1, ..., ( 1 )
,...
n 1
通项 : xn ( 1)
.
1 ( 1 ) 1 1 1 ( 1 ) (4 ) ,... : 0 , 1 , 0 , , 0 , , ..., n 2 3 n
n n
1 ( 1) 通项： xn . n
若数列{ xn }收敛, 则{ xn }必有界.
证 设 lim xn a , 则由极限定义, 取 1 时,
n
N 0, 当 n N 时 ,
| xn a | 1
即有
| xn | 1 | a |
| xn | M , n N
该定理的逆命题不 真, 即有界数列不一定 收敛. 例如, { (－1) n }.
有界性定理的推论： 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界.
{ n (1 (1) ) } :
n
0, 4, 0, 8,
n
xn (1) .
回想数列的极限
n
lim xn a :
0, N 0, 当 n N 时, 有
x1 x2 …
•••••
n
n
xn … 2n …
通项 : xn 2 .
n
• • • • •• • • • •
x
0
2
4
…
1 1 1 1 1 (2) n: , , , ..., n , ... 通项 : 2 4 8 2 2
1 xn n . 2
n1
( 3 ) { ( 1 )
n 1
n n
(2) 令 n 16k 4, k N , 得子数列： n 5 { sin } { sin(2k ) } : sin ,, sin(2k ), 8 2 2 2 此时 lim sin(2k ) lim 1 1. n 2 n n 故由推论可知 : { sin } 是发散的 (即极限不存在 ) . 8
记为 lim xn a, 或 xn a
n
( n ) .
此时, 也称数列{ xn } 是收敛的. 若{ xn }当 n 时没有极限, 则称{ xn }发散. 极限描述的是变量的变化趋势
不等式
(1) 0 称为目标不等式. n 10
n
通过目标不等式来寻找 N > 0 ,
取 M max{ 1 | a | , | x1 |, | x2 |,, | xN |}
则 由数列有界的定义得：数列{ xn }收敛, 则必有界.
例13
{2 } : 2, 4, 8, , 2 ,
无界 , 发散 , 无极限
n
n
无界 , 发散 , 无极限
发散的数列不一定都无界 . 例如, { (－1) n } .
单调增加
若 { xn } 满足 x1 x2 ... xn ..., 则称
{xn } 单调增加 也记为{xn } . ,
不减少的 数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
(2) 数列的有界性
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列 {xn } 有界. 否则称 {xn } 是无界的.
都落在 N(0, ) 中. （在 N(0, ) 外面只有有限项）
(1) | xn 0 | 0 n 10
n
数列极限的定义：
数列的项不一定取到它 的极限值.
0 , 若 N 0 ,使当 n N 时,
| xn a |
成立, 则称数 a 为数列 {xn } 当 n 时的极限 ,
n
n 1
不存在 .
n 判别 {xn } { sin } 的敛散性 . 例12 8 解 利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列:
(1) 令 n 8k , k N , 得子数列： n { sin } {sin k } : sin , sin 2 , , sin k , 8 由于 sin k 0, k N , 所以 lim sin k lim 0 0.
2
取 N max{N1 , N 2}, 则当 n N 时,
n 1 1 与 n
n2 1 1 同时成立, 2 n
所以, 当 n N 时, | xn 1 | 成立, 即
n
lim xn 1.
三、数列极限的性质 1.唯一性定理
若数列{ xn }收敛, 则其极限值必唯一.
故取 N max{ 0, [log 2 ]}, 则 n > N 时,
1

1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
例6
1 证明： lim sin 0 . n n n
利用极限存在 时, N 不唯一.
证
0,
1 要 sin 0 , n n 1 1 只要 sin , n n n
证
运用反证法 设数列{ xn }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：
n
lim xn a,
n
lim xn b, a b.
于是, 0,
N1 0, 当 n N1 时 , | xn a | ; N 2 0, 当 n N 2 时 , | xn b | ;
充分必要条件
且均以 a 为极限 .
{xn }的任何一个子数列都收敛,
应用：若两个子列的极限不相同，或者有一 个子列发散，则数列发散。
例11
求 lim (1) .
n
n 1
解
xn ( 1)
n 1
,
n 1
{xn } : 1, 1, 1, 1, , ( 1)
取子数列：
, . , ,
n
1 2 3 n n (5 ) , , , ..., , ... : 2 3 4 n1 n 1
n 通项 : xn . n 1
3. 数列的性质 (1) 数列的单调性
若 { xn } 满足 x1 x2 ... xn ..., 则称
{xn } 严格单调增加 记为{xn } . ,