专练68 高考大题专练(八) 不等式选讲
1．[2022·郑州模拟]已知函数f(x)＝|2x ＋a|＋1. (1)当a ＝2时，解不等式f(x)＋x<2；
(2)若存在a∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，1，使得不等式f(x)≥b＋|2x ＋a 2|的解集非空，
求b 的取值范围．
2．[2022·江西省临川高三模拟]已知函数f(x)＝|x ＋1|－|2x －a|(a ＞0)，g(x)＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12x －1. (1)当a ＝1时，解关于x 的不等式f(x)≥0；
(2)若函数f(x)与g(x)的图像可以围成一个四边形，求a 的取值范围．
3．[2020·全国卷Ⅲ]设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca＜0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥3
4.
4．[2021·全国乙卷]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
5．[2022·全国甲卷(理)，23]已知a ，b ，c 均为正数，且a 2
＋b 2
＋4c 2
＝3，证明： (1)a ＋b ＋2c ≤3； (2)若b ＝2c ，则1a ＋1
c
≥3.
6．[2022·全国乙卷(理)，23]已知a ，b ，c 都是正数，且a 32＋b 32＋c 3
2＝1，证明： (1)abc ≤1
9；
(2)a
b ＋
c ＋
b
a ＋c ＋
c
a ＋
b ≤
1
2abc
.
专练68 高考大题专练(八) 不等式选讲
1．解析：(1)当a ＝2时，函数f(x)＝|2x ＋2|＋1， 解不等式f(x)＋x<2化为|2x ＋2|＋1＋x<2， 即|2x ＋2|<1－x ， ∴x－1<2x ＋2<1－x(x<1)， 解得－3 3 ， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫ x ⎪ ⎪⎪－3 (2)由f(x)≥b＋|2x ＋a 2 |， 得b≤|2x＋a|－|2x ＋a 2 |＋1， 设g(x)＝|2x ＋a|－|2x ＋a 2|＋1， 则不等式的解集非空，等价于b≤g(x)max ， 由g (x)≤|(2x＋a)－(2x ＋a 2)|＋1 ＝|a 2 －a|＋1， ∴b≤|a 2－a|＋1. 由题意知存在a∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－13，1，使得上式成立， 而函数h(a)＝|a 2 －a|＋1在a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最大值为h(－13)＝139， ∴b≤13 9 ， 即b 的取值范围是(－∞，13 9 ]. 2．解析：(1)a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|－|2x －1|， ①当x≤－1时，f(x)＝－(x ＋1)＋(2x －1)＝x －2≥0， 解得x≥2，所以x∈∅； ②－1＜x ＜1 2时，f(x)＝(x ＋1)＋(2x －1)＝3x≥0， 解得x≥0，所以0≤x<1 2 ； ③当x≥1 2时，f(x)＝(x ＋1)－(2x －1)＝－x ＋2≥0， 解得x≤2，所以1 2 ≤x≤2. 综上所述，当a ＝1时，f(x)≥0的解集为{x|0≤x≤2}． (2)f(x)＝|x ＋1|－|2x －a|＝⎩⎪⎨ ⎪⎧x －a －1，x≤－1 3x ＋1－a ，－1＜x ＜a 2， －x ＋a ＋1，x ≥a 2 所以f(x)在(－∞，a 2)上单调递增，(a 2，＋∞)上单调递减， 又因为f(－1)＝－2－a ＜0，f(a －1 3)＝f(a ＋1)＝0， 且g(x)在(－∞，2)单调递减，(2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)与g(x)图像如图所示， 要使得f(x)与g(x)的图像可以围成一个四边形， 则 a －1 3 ＜2＜a ＋1，即1＜a ＜7. 故a 的取值范围为(1，7). 3．证明：(1)∵(a＋b ＋c)2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab＋bc ＋ca ＝－12 (a 2＋b 2＋c 2 ). ∵abc＝1，∴a，b ，c 均不为0，∴a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＞0， ∴ab＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2 )＜0. (2)不妨设max {a ，b ，c}＝a ， 由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∵a＝－b －c ，a ＝1 bc ， ∴a 3 ＝a 2 ·a＝（b ＋c ）2 bc ＝b 2 ＋c 2 ＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a≥34，即max {a ，b ，c}≥3 4. 4．解析：(1)当a ＝1时，f(x)＝|x －1|＋|x ＋3|， 故f(x)≥6即|x －1|＋|x ＋3|≥6， 当x≤－3时，1－x －x －3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4； 当－3 (2)f(x)＝|x －a|＋|x ＋3|≥|(x－a)－(x ＋3)|＝|3＋a|，当x 的值在a 与 －3之间(包括两个端点)时取等号， 若f(x)>－a ，则只需|3＋a|>－a ， 即3＋a>－a 或3＋a－3 2 . 故a 的取值范围为{a|a>－3 2 }． 5．证明：(1)因为a 2 ＋b 2 ＋4c 2 ＝3，所以由柯西不等式可知，(a 2 ＋b 2 ＋4c 2 )(1＋1＋1)≥(a ＋b ＋2c)2 ， 即(a ＋b ＋2c)2 ≤9，且a ，b ，c 均为正数， 所以a ＋b ＋2c≤3，当且仅当a ＝b ＝2c ＝1时等号成立． 所以a ＋b ＋2c≤3. (2)(方法一)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋22c ＝3⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋12c ＋12c . 由b ＝2c ，a ＋b ＋2c≤3得 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋12c ≥(a＋b ＋2c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋12c ≥(a ·1a ＋b ·1b ＋2c ·12c ) 2＝9，当且仅当a ＝2c 时等号成立，所以1a ＋1 c ≥3. (方法二)因为b ＝2c ，由(1)知a ＋b ＋2c≤3， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ×3≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c (a ＋4c)＝1＋4c a ＋a c ＋4≥5＋24c a ·a c ＝9，当且仅当a ＝2c 时等号成立．所以1a ＋1 c ≥3. 6．证明：(1)因为a ，b ，c 都是正数， 所以a 32＋b 32＋c 32≥33a 32b 32c 32＝3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝31 9时取等号． 因为a 32＋b 32＋c 3 2＝1，所以abc ≤13，即abc≤1 9. (2)(方法一)因为a ，b ，c 都是正数， 所以b ＋c≥2bc ，a ＋c≥2ac ，a ＋b≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＝31 9时同时取等号． 所以2abc(a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b )≤2abc(a 2bc ＋b 2ac ＋c 2ab )＝a 32＋b 32＋c 3 2＝1， 所以a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≤1 2abc . (方法二)要证a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≤12abc 成立，只需证a 3 2bc b ＋c ＋b 3 2ac a ＋c ＋c 3 2ab a ＋b ≤1 2成立 即可． 因为a ，b ，c 都是正数， 所以b ＋c≥2bc ，a ＋c≥2ac ，a ＋b≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝c ＝31 9时同时取等号． 所以a 3 2bc b ＋c ＋b 3 2ac a ＋c ＋c 3 2ab a ＋b ≤a 3 2bc 2bc ＋b 3 2ac 2ac ＋c 3 2 ab 2ab ＝a 32＋b 32＋c 3 22＝12，得证． 第5讲 数列与不等式 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 11111231111 ,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123 ,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ） A ．0.75 B ．0.8 C ．0.85 D ．0.9 2．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：11 1 1b α=+ ， 212 111b αα=+ + ， 3123 1 11 1 b ααα=+ + + ，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ） A ．15b b < B ．38b b < C ．62b b < D ．47b b < 3．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A ．14 B ．12 C ．6 D ．3 4．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b = A ．64 B ．96 C ．128 D ．160 5．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 11．故选：C ． 专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定． [基础强化] 一、选择题 1．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p 为( ) A ．∀x ≥－1，2x －x －1≥0 B ．∀x ＜－1，2x －x －1≥0 C ．∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1≥0 D ．∃x 0≥－1，2x 0－x 0－1≥0 2．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0<0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x >x ＋1 C ．∀x >0，5x >3x D ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0 新高考数学大一轮复习专题： 第4讲 不等式 [考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等 式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼 1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b . (2)a <0b >0,0 专练2 常用逻辑用语 [基础强化] 一、选择题 1．已知命题p：∀x≥1，2x－log2x≥1，则命题p的否定为( ) A．∀x＜1，2x－log2x＜1 B．∀x≥1，2x－log2x＜1 C．∃x0＜1，2x0－log2x0＜1 D．∃x0≥1，2x0－log2x0＜1 2．[2021·全国乙卷]已知命题p：∃x∈R，sin x＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( ) A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬(p∨q) 3．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( ) A．¬p是q的必要不充分条件 B．¬q是p的必要不充分条件 C．¬p是¬q的必要不充分条件 D．¬q是¬p的必要不充分条件 4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0 D ．既不充分也不必要条件 7．设p ：|x －a |>3，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若¬p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤－4，72 B ．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫72，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，72 D ．(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫72，＋∞ 8．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“|AB →＋AC →|＝|AB →－AC → |”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．(多选)下列命题说法错误的是( ) A ．∃x ∈R ，e x ≤0 B ．∀x ∈R ，2x >x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1 D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1 二、填空题 10．[2020·全国卷Ⅲ]关于函数f (x )＝sin x ＋1 sin x 有如下四个命题： ①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π 2 对称． ④f (x )的最小值为2. 其中所有真命题的序号是________． 11．记不等式x 2 ＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a )的定义域为集合B .“若 x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 12．已知p ：⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ 1－ x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2 ≤0(m >0)，若p 是q 的充分而不必要条 专题03等式与不等式的性质 【考点预测】 1.比较大小基本方法 （1）基本性质 bc 【方法技巧与总结】 1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题 【典例例题】 题型一：不等式性质的应用 例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ） A ．11 0x y +> B ．330x y +> C ．lg()0x y +> D ．sin()0x y +> 例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ． 11 a b < C ．ac bc > D ．b a c -> 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（ ） A ．2 2 αβ< B ．2βα αβ +> C ．1122αβ ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．sin sin αβ< （多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ． 1a b b >+ （多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（ ） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -< （多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c 0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac > （多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（ ） 专练51 随机事件的概率与古典概型 [基础强化] 一、选择题 1．[2022·全国甲卷(文)，6]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( ) A ．15 B ．13 C ．25 D ．23 2．一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率依次为12 ，13 ，14 .若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( ) A ．124 B ．1124 C ．1724 D ．1 3．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同．如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( ) A ．25 B ．35 C ．715 D ．815 4．(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12 ，乙获胜的概率为13 ，则下列说法正确的是( ) A ．甲获胜的概率为16 B ．甲不输的概率为12 C ．乙输的概率为23 D ．乙不输的概率为56 5．[2020·全国卷Ⅰ]设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A ．15 B ．25 C ．12 D ．45 6．[2020·全国卷Ⅱ]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名 7．从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( ) A ．29 B ．14 C ．718 D ．112 8．[2022·新高考Ⅰ卷，5]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 9．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学必选物理，则下列说法正确的是( ) A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲同学不同的选法共有15种 C ．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是16 D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949 二、填空题 10．[2022·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 11．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类．某同学从中任选2门课程学习，则该同学选到文科类选修课程的概率是________． 12．[2022·全国乙卷(文)，14]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________． [能力提升] 13．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( ) 2023年济宁市中考数学第一轮复习跟踪练习 八 第二章 第四节 一元一次不等式(组) 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1.若关于x 的不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧7－3x≤1， x －a ＜8无解，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－6 B ．a≤－6 C ．a ＞－6 D ．a≥－6 2.已知关于x 的不等式组⎩ ⎪⎨⎪ ⎧x －2<3x －6，x 专练61 二项式定理 命题范围：二项式定理． [基础强化] 一、选择题 1．[2022·江西省九师联考]若(x －2x )n 的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为( ) A ．729 B ．64 C ．1 D ．－1 2．[2022·山西省高三一模](3x 3－12x )4展开式中的常数项是( ) A ．－272 B ．－32 C ．32 D ．272 3．[2022·四川省凉山诊断性检测](12 x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 4．[2022·郑州市第二次质检](2x 2－a x )(x －2x )4的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为( ) A. －32 B ．32 C ．－64 D ．64 5．[2022·皖北协作区联考]若(2x 3＋y 2)n 的二项展开式中某项为bx 6y 6，则b ＝( ) A.15 B ．40 C ．60 D ．80 6．已知随机变量X ～N (1，σ2)，且P (X <0)＝P (X ≥a )，则二项式(x ＋ a x )10的展开式中有理项的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．[2022·河南省濮阳模拟] 若(a ＋2x 2)(1＋x )n (n ∈N *)的展开式中各项系数之和为256，且常数项为2，则该展开式中x 4的系数为( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．81 8．[2022·山西省大庆模拟](1x 6 －2)(x 3－1)6的展开式中的常数项为( ) A ．13 B ．17 C ．－13 D ．－17 9．[2022·黑龙江省大庆质检]在(x ＋a x )n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x 6的项系数为( ) A ．45 B ．－45 C ．120 D ．－120 二、填空题 10．[2022·泸州市诊断性考试](2x ＋1x )6的展开式中的常数项为________(用数字作答). 11．[2022·新高考Ⅰ卷，13](1－y x )(x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答). 12．[2022·八省八校(T8联考)]在二项式(x ＋a x )8展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a ＝________． [能力提升] 13．[2022·安徽省高三适应性考试](x 2－2x ＋3y )5的展开式中x 3y 2的系数为________． 14．[2022·福建省名校联考]二项式(x －3x )5的展开式中含x 2的项的系数是 ________．(用数字作答) 15．[2022·海南省高三诊断性测试]若(2x －1)n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n ＝________．(写出一个即可) 16．[2022·嘉兴市模拟考试]已知多项式(a ＋x )4＋(2x －1)5＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5(a ∈R )，则a ＝________，a 4＋a 5＝________． 专练4 基本不等式 [基础强化] 一、选择题 1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 D ．4 2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．4 D ．14 3．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x 的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2 D ．当0 专练8 指数与指数函数 命题范围：指数的意义与运算；指数函数的定义、图像与性质． [基础强化] 一、选择题 1．函数y ＝(a 2 －3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠1 2．已知函数g (x )＝3x ＋t 的图像不经过第二象限，则t 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．(－∞，－3] D ．[－3，＋∞) 3．若a 2x ＝2－1，则a 3x ＋a －3x a x ＋a －x 等于( ) A ．22－1 B ．2－2 2 C ．22＋1 D ．2＋1 4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( ) A ．12 B ．2 C ．4 D ．14 5．函数f (x )＝a x －b 的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 8．[2022·浙江杭州一中高三测试]函数f (x )＝(12)1－x 2 的单调减区间为( ) A ．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－1，1) 9．[2022·安庆一中高三测试]已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则 关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( ) A ．(－∞，－4 3)∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，4 3)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2) 二、填空题 10．(－278 )－23＋(0.002)－1 2－10(5－2)－1＋(2－3)0 的值为________. 11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________. 12．若函数f (x )＝2 |x －a | (a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递 增，则实数m 的最小值等于________. [能力提升] 13．[2022·四川省成都高三“二诊模拟”]基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 来描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT ，有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为( )(参考数据：ln3≈1.098)( ) A ．2天 B ．5天 C ．4天 D ．3天 14．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I (t * )＝0.95K 时，标志着已初 步遏制疫情，则t * 约为(ln19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题08函数的极值1．函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1． 图1 图2 2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2． 3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 对极值的深层理解： (1)极值点不是点； (2)极值是函数的局部性质； (2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b； (3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． (4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大； (5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点； (6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的． 考点一根据函数图象判断极值 2023考点专题复习——基本不等式 考法一： 直接法 例题1、已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为（ ） A ．8 B ．10 C ．9 D ．6 例题2、若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ） A ． 14 B ． 18 C ． 19 D ． 116 例题3、若0x >，则___________. 练习1、已知x 、y R + ∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________. 练习2、若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 练习3、已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 练习4、已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____． 练习5、若0,0,10x y xy >>=，则25 x y +的最小值为_____． 考法二：配凑法 例1、已知01x <<，则)( 33x x -的最大值为（ ） A ． 12 B ． 14 C ． 23 D ． 34 例2、已知(3,)x ∈+∞，函数4 3 y x x =+-的最小值为（ ） A ．4 B ．7 C ．2 D ．8 例3、若1 03 x << ，则()13x x -取最大值时x 的值是 例4、 若1x >-，则2244 1 x x x +++的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 练习1、函数9424y x x =- -，1 2x >的最小值为__________． 练习2、函数1 31 y x x =+ -(1)x >的最小值是（ ） A ．4 B ．3 【2019年咼考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1) 一元二次不等式是 C 级要求，线性规划是 A 级要求. (2) 基本不等式是 C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用•试题类型可 能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题 【重点、难点剖析】 1 •不等式的解法 (1) 求解一元二次不等式的基本思路： 先化为一般形式 ax 2+ bx + c >0(a >0)，再求相应一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0( a >0)的根，最后根据相应二次函数图 象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集. (2) 解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因.确定好分类标准、 层次清楚地求解. 2 .基本不等式 a 2 + b 2 a + b 一 2ab ----- > ---- (a >0， b > 0) • ③a + 2(a >0,当a = 1时等号成立). a ④2( a 2+ b 2) >(a + b )2(a , b € R , 当 a = b 时等号成立). ⑶ 最值问题：设x , y 都为正数，则有 2 s ①若x + y = s (和为定值)，则x = y 时，积xy 取得最大值-; ②若xy = p (积为定值)，则当x = y 时，和x + y 取得最小值2 p . 3 .不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题 若不等式f (X )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间 D 上f (x )min >代 若不等式f (X )A 成立，则等价于在区间 D 上 f (x )maA A; 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )2ab 取等号的条件是当且仅当 a = b . 几个重要的不等式：① ab w 学 2(a , b € R). 备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用） 专题08不等式与不等式组 一．选择题（共8小题） 1．（2022•娄底）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D。 【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项． 【解析】， 解①，得x≤2， 解②，得x＞﹣1． 所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2． 故符合条件的选项是C． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．2．（2022•嘉兴）不等式3x+1＜2x的解集在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 【分析】根据解不等式的方法可以解答本题． 【解析】3x+1＜2x， 移项，得：3x﹣2x＜﹣1， 合并同类项，得：x＜﹣1， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 3．（2022•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A． B． C． D． 【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可． 【解析】， 解①得x≥﹣1， 解②得x＜3． 则表示为： 故选：A． 【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 4．（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（） A．x＞4B．x＜4C．x＞D．x＜ 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可． 【解析】∵4x﹣1＜0， ∴4x＜1， ∴x＜． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键． 5．（2022•武威）不等式3x﹣2＞4的解集是（） A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2 【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案． 【解析】3x﹣2＞4， 移项得：3x＞4+2， 合并同类项得：3x＞6， 系数化为1得：x＞2． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键． 6．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（） A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解析】A、∵x＜y， ∴2x＜2y，故本选项符合题意； B、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意； C、∵x＜y， 2023年湖南省中考数学专练：5分式方程与不式 一．选择题（共10小题） 1．（2022•定远县校级模拟）当a ＜0时，不等式ax ＜|a |的解集为（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞﹣1 D ．x ＜﹣1 2．（2022•来安县二模）不等式﹣3x ﹣1＞1﹣2x 的解集为（ ） A ．x ＞2 B ．x ＞−1 3 C ．x ＜2 3 D ．x ＜﹣2 3．（2022•安徽模拟）如果关于x 的不等式组：a 6 ≤x ＜b 4 的整数解仅有1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序实数对（a ，b ）共有（ ） A ．20个 B ．24个 C ．30个 D ．36个 4．（2022•马鞍山二模）若m ＞n ，则下列各式中正确的是（ ） A ．m 2＞n 2 B ．m +1＞n ﹣1 C ．m 2+1＞n 2﹣1 D ．m ﹣1＞n +1 5．（2022•合肥四模）已知5a +6b ﹣3p ＝0，3a +5b ﹣2q ＝0，则下列说法中，正确的是（ ） A ．当a ＞0，b ＞0时，p ＜q B ．当a ＞0，b ＜0时，p ＜q C ．当a ＜0，b ＞0时，p ＜q D ．当a ＜0，b ＜0时，p ＜q 6．（2022•蜀山区校级模拟）已知实数a 、b 满足2a +b ＝﹣3，a ﹣3b ≤0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b a ≥3 B ．b a ≤3 C ．b a ≥1 3 D ．b a ≤1 3 7．（2022•蚌埠二模）若x ＝1是不等式组{3x −a ＞0 x +3a ＞0 的一个解，则a 的值可以是（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．3 D ．﹣1 8．（2022•安徽模拟）若关于x 的方程1 x 2−4 = m x−2 有解，则m 应满足（ ） A ．m ≠0 B ．m ≠1 4 C ．m ≠0且m ≠14 D ．m 不存在 9．（2022•蚌埠二模）已知关于x 的方程：2−x x−3 = 13−x −2，则对这个方程的解的描述正确 的是（ ） A ．解为x ＝5 B ．解为x ＝﹣1 C ．解为x ＝3 D ．无解 10．（2022•包河区二模）某工程队承接了长为8000米的道路施工任务，为了迎接新年的到来，实际工作时每天比原计划多施工20米，结果提前20天完成任务．设原计划每天施 专题23 不等式选讲 【母题来源】2021年高考乙卷 【母题题文】已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3 ,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【试题解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-， 所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-， 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞. （2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立， 333x a x x a a x -++-+=≥++， 当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-， 所以3a a +>-或3a a +<， 解得32 a >-. 所以a的取值范围是 3 , 2 ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ . 【点睛】 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 【命题意图】 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）a b a b +≤+. （2）a b a c c b -≤-+-. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥. 2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题方向】 从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【得分要点】 （一）解绝对值不等式的常用方法有： （1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)第5讲 数列与不等式(含详解)
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