第五章 计算机控制系统的模拟化设计

➢ 逼真度同采样周期和具体的离散化方法有关。 ➢ 不论采用何种离散化方法，采样频率越高，逼真度也
越高。当采样周期较大时，系统实际达到的性能可能 要比预期的设计指标差。 ➢ 用这种设计方法时对采样周期的选择要倍加注意。
1. 各种离散化方法
I. 反向差分法 II. 正向差分法 III. 双线性变换法 IV. 脉冲响应不变法（Z变换法） V. 零极点匹配法 VI. 冲击响应不变法 VII. 频率预曲折双线性变换法
采样瞬时相等，如图所示。
Z变换 方法
（a）连续系统
（b）离散等效
图6.9脉冲响应不变方法
脉冲响应不变方法的的主要特点
ⅴ.阶跃响应不变方法
——保持Z变换，零阶保持器法
原则：脉冲传递函数和连续传递函数的单位阶跃输出响 应在采样对刻相等。
阶跃响应不变方法的物理解释如图所示 阶跃响应不变方法的的主要特点
ⅵ.零、极点匹配Z变换
第五章 计算机控制系统 的模拟化设计
2020年4月23日星期四
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本 章 内 容
5.1 概述 5.2 数字控制器的等价离散化设计 5.3 数字PID控制
《机电系统计算机控制》
5.1 概述
➢ 控制要求：稳、准、快 ➢ 控制器设计：对原有系统特性进行校正或补偿，
以此来满足系统性能指标要求。
控制系统的设计方法
对于闭环控制系统的设计，一般可分为两大类： ➢ 优化设计——使系统总的性能指标达到最佳； ➢ 特性设计——满足系统要求的性能指标。
特性设计要求在给定信号的作用下，使系统达到稳定 、快速、准确、抑制扰动能力强及安全等性能指标。
两种设计结果在工程实践中均付诸实现才有实际价值 。
特性设计
沿用类似于连续系统中的稳定性、稳态误差和动 态性能指标。比较常用的有两种提法：
连续系统模型
下面分别介绍各种不同的离散方法及特性。 设有一系统
I. 反向差分法
➢ 反向差分方法是一种简单的变换方法。 ➢ 原理：用一阶反向差分置换一阶导数，即
二阶导数，其反向差分变换为
反向差分法
设 t = kT，则
求Z变换，则
比较
可知
反向差分变换的特性
反向差分变换 S 平面与Z 平面的对应关系如图所 示。 ➢ S平面的左半部经反向差分变换到 Z 平面，对应
原则：将G(s)的极点（s=-pi）和有限零点（ s=-zi ）都 按z=eTs的映射关系，一一对应地变换为极点（ z=e-Tpi ）和零点（ z=e-Tzi ）。
无穷零点的匹配
上式中，通常m<=n，即被控系统的极点数多于零点
数，亦即是说，系统在无穷远处存在（n-m）个零点
。 一般系统工作在主频区，即系统工作频率
将 和 展成泰勒级数，并取前两项可得
亦即
双线性变换方法的几何意义
根据图示梯形面积近似积分 两端取 Z 变换，经整理得
亦即
双线性变换方法的特性
D(s)是稳定的，经双线性变换以后，D(z)仍然是稳 定的，而且变形相对较小，因此双线性变换法被经常 采用。
ⅳ.脉冲响应不变方法
——Z变换方法
原则：离散脉冲传递函数和连续传递函数的脉冲响应在
所以ω趋于无穷大，可看作ω趋于
相当于z 趋于-1
s=
z=-1
增益的匹配
设 经过零极点Z变换后，G(s)的等效变换G(z)为：
可使在某个特征频率处Kz与Ks具有相同的增益。 在绝大多数控制系统的应用中，取s=0,于是可得
零极点匹配Z变换的规则：
1. G(s)所有的极点和所有的有限值零点按照 z=eTs变换
于圆心在σ=1／2，ω＝0，半径为1／2的圆的内部
，可见，D(s)稳定，D(z)也一定稳定。
II. 正向差分变换
反向差分
正向差分
正向差分变换的特性
D(S)是稳定的，经正向差分变换，D(z)可能是不 稳定的，这是一种不好的变换方法，很少使用。
ⅲ.双线性变换方法
——图斯汀（Tustin）法
根据 Z 变换定义
结论
➢ 前向差分法会导致系统出现不稳定的现象而很少使用 ➢ 双线性变换法在混叠频率处会产生较大的频率畸变，
此时可采用频率预曲折的双线性变换法进行补偿。 ➢ 当已知系统的零极点模型时，此时采用零极点匹配法
则是最简单的一种方法，而且系统的畸变最小。
设计实例：天线跟踪系统的设计
系统参数如图所示 试设计控制器D(z)，使系统的性能指标满足
5.2 数字控制器的等价离散化设计
利用成熟的连续控制系统的设计方法，在设计好了连 续控制器传递函数后，采用不同的离散化方法，把连续传 递函数离散成脉冲传递函数，并保证离散时间控制系统同 原连续系统具有相似的特性——等价离散化设计方法
等价离散化设计的特性要求
➢ 特性要求：
• 用频率响应逼真度和时间响应逼真度描述。
➢ 稳定裕量（幅值裕量和相角裕量），误差系数（如位 置、速度和加速度误差系数）和动态性能指标（如谐 振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比）等。
➢ 系统在单位阶跃、单位速度或单位加速度等典型输入 作用下，具有最短的调节时间（在离散系统中，调节 时间的长短以采样周期个数表示)。如果，把一个采 样周期称为一拍，则把调节时间最短的系统称为有限 拍系统。
2. G(s)所有的在s=处的零点变换成在z=-1处零
点，即添加(z+1)n-m项。 3. 保证变换前后的增益不变，即进行增益匹配
。 4. 经过零极点Z变换后，G(s)的等效变换为：
例5.1
设
，利用零极点匹配法求G(z)。
解：上式有一个极点，有一个无穷的零点，
所以
增益匹配，得
于是可得
则可求得
ⅶ.各种设计方法的比较
采用Matlab进行系统离散
SYSD=c2d(SYS,Ts,method) SYS和SYSD分别为连续和离散系统的传递函数模型 Ts为采样周期，单位为秒, method为离散方法
➢Method=’zoh’——零阶保持器法 ➢Method=’foh’——一阶保持器法 ➢Method=’tustin’——双线性变换法 ➢Method=’prewarp’——频率预曲折的双线性变换法 ➢Method=’matched ’——零极点匹配法
设计实例：天线跟踪系统的设计
1. 系统闭环传递函数为
根据二阶系统主导极点与调整质量之间的关系， 可以确定系统的阻尼系数和固有频率
根据上式可取
设计实例：天线跟踪系统的设计
二阶系统的瞬态响应
无阻尼 =0
欠阻尼 0<<1