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向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数

12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域

P 中没有不全为零的数12

,m k k k ，使

0332211=++++m m k k k k αααα ，

称它是线性无关.

3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法

由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.

命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.

关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.

命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，

()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.

证明假设()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关，则存在不全为0的数21,k k ，

命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.

证明设m ααα,,,21 线性相关，

s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12

,m k k k 使得

0332211=++++m m k k k k αααα 此时有

0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,

因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.

由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例

的两向量，那么这个向量组必定线性相关.

命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.

3.2.1 运用定义判定

由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.

例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，

123,,,m ββββ线性相关.

证明令1122330ββββ+++

=m m k k k k ，即

()()()0

1322211=++++++a a k a a k a a k m m ，

又即

()()()0

121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，

取

,142131-========-m m k k k k k k ，

则有

0332211=++++m m k k k k ββββ .

由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.

3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断

向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.

命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.

例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.

解

()()

0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.

例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：

m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.

证明如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果

m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下

面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！

由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由

m βββ,,,21 线性表示,所以，

{}?m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以

()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .

于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{

}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以

它们是等价的，证毕.

命题6 设m ααα,,,21 为n 维列向量,矩阵),,,(21m A ααα =. (i)当()m A R <时，向量组12,,m ααα线性相关; (ii)当()m A R =时，向量组12,,m ααα线性无关.

例4 判断向量组()

12,1,0,5

αT

=,()

27,5,4,1

αT

=-- ,()

33,7,4,11

αT

=--线性相关性.

解利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯形矩阵

=A 2731-5-70445-1-11??

?????

??→??

???

???????11-1-54403727-5-1→????????????1101101107-5-1→????????????0000001107-5-1 由行阶梯形矩阵知()

23R A

=<,所以向量组321,,ααα是线性相关的.

上面是以321,,ααα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用3

21,,ααα为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.

3.2.3 利用行列式的值判断

命题7 若()()()nn n n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,21222212112111 ===ααα,以

n ααα,,,21 作为列向量构成的矩阵),,,(21n A ααα =是一个方阵，

?????

???????=nn n

n n a a a a a a a a a A

2122212

12111

(i)当0=A 时，向量组ααα12,,n 线性相关. (ii)当A 0≠时，向量组ααα12,,n 线性无关.

例 5 设()

αT

=11,1,1

,()

()ααT

==231,2,3

,1,3,t 问t 取何值时，向量组

321,,ααα线性相关.

解向量组321,,ααα的个数和维数相等都为3，

=A 5313211

11-=t t

可见当5=t 时，0=A ，所以向量组321,,ααα线性相关.

3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断

对于()111211,,,n a a a αT

=,()212222,,

,n a a a αT

=,()12,,

,m m m nm a a a αT

=的线性

向量组的线性相互与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这样的表示是有好处的。 2.线性表示设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

向量组的线性有关性归纳

第四章向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +

1、向量组线性无关的充要条件为( )

第四章复习题答案一、选择题 1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１２３，，均不是零向量 B 、ααα１２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关解析：（1）线性相关?至少一个向量能由其余两个向量线性表出（2）线性无关?任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ） A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关 C 、Ａ的两行元素成比例 D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ） A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0 B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关 C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关 D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0 4、设12,s ααα均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα线性相关 B 、若向量组12 ,s ααα线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示 C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠k ，则向量组12 ,s ααα线性无关 D 、若向量组12 ,s ααα线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示解析：（1）线性相关?至少一有个向量能由其余两个向量线性表出不是任意二、填空 1、设12311112010ααα===T T T （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22 ()33 a a ≠ = 2、设Ａ为35?的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，，则四阶行列式12312αααββ+=，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。 5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b = 三、判断 1、若向量组123 ,,n αααα线性相关，则1α可有23 n ααα，线性表示。（ × ） 2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。（ √ ） 3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。（ × ） 4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关（ √ ） 5、向量组12,,m ααα线性相关，则向量组12,,,m αααβ也线性相关。（√ ） 6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示（√ ） 7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的（√ ） 8、若12,ξξ为齐次线性方程组 0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解（√ ）三、计算及证明 1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。解：设12345(,,,,)A ααααα=

线性代数向量组的线性相关性

第三节向量组的线性相关性分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的；（2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .

知识点1——向量组及其线性相关性

知识点4 向量的线性相关性 1、向量组的线性相关性 1）.向量组线性相关的概念定义：给定向量组12,, ,:m a a a A ,若存在不全为零的数12,,,m k k k ,使 11220m m k k k ααα+++= 则称向量组A 是线性相关的.否则称它为线性无关. 注1 向量组1, ,m a a 线性无关 ? 10n λλ= ==时,才有11220n n λαλαλα++ +=. 注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关. 注3 只含一个向量a 的向量组,若0a =,则它线性相关;若0a ≠,则它线性无关. 注4 任一含有零向量的向量组线性相关. 注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. 注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面. 2）.向量组线性相关的条件定理1 向量组12,, ,m ααα线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 12(,,,)m =A ααα的秩小于向量的个数m （()R m

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

向量组的线性关系

第十讲向量组的线性关系一、考试内容与考试要求考试内容向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关．考试要求（1）理解n 维向量的概念；（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念；（3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法；注适合于第十讲和第十一讲．二、知识要点引入学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）；矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数；线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来；线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组．复习（1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数．（2）齐次方程组Ax o =???唯一零解无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示）定义1 线性组合（线性表示）给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：

注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零；（2）零向量可由任一同维的向量组线性表示；（3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解．（4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一；（5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示；（6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示：定义2 向量组的等价向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）．向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）．注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则（1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广．（2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关；（4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤；这是（3）的逆否命题．

日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的

学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：

五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.

向量组的线性相关性线性代数习题集

三．计算题： 1．设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时（1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？（3）β不能由321ααα,,线性表示？ 132123222 21110111(,,,)11111111111101110, 00(3)(12)r r r λ λλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ???++?? ? ?=+???→+ ? ? ? ?++??????+ ???→→-- ? ?-+--?? 解因为 2 2 211 10,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ??+ ? →-- ? ?-+--? ? 123123123(1)03,(,,,)(,,)3, ,,,; R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一 123123123(2)0,(,,,)(,,)13, ,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一 123123123(3)3,(,,,)3(,,)2, ,,. R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示

向量组线性相关性的判定方法开题报告

毕业设计（论文）开题报告数理学院2016届题目向量组线性相关性的判定方法课题类型论文课题来源自拟课题学生姓名学号专业信息与计算科学年级班2012-1班指导教师职称讲师填写日期：2016 年1 月10 日一、本课题研究的主要内容、目的和意义

向量组秩和最大线性无关组

向量组的秩和最大线性无关组引例：对于方程组 12312312 321221332x x x x x x x -+=-??+-=??-+=-? 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）；由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念：最大线性无关组：在s ααα,,,21 中，存在ip i i ααα,,,21 满足：（1）ip i i ααα,,,21 线性无关；（2）在ip i i ααα,,,21 中再添加一个向量就线性相关。则称ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，注： Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21 中任一向量均可由 ip i i ααα,,,21 线性表示；或者亦可以说成s ααα,,,21 中任意1p +个向量均线性相关； Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案

学生诚信承诺书本人重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意. 作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解师学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法

（师学院数学与统计学院 455002）摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义（一维、二维、三维向量，推广到n 维向量）定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组

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