黎曼曲面论课程详细信息
§5 黎曼几何初步 一、 黎曼空间 [黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i ， x i ＋d x i 之间的距离ds 由一个正定二次型 d s 2 = g ij ( x )d x i d x j 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2 称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为 ()j i ij x x x g s d d d = 而任一曲线x i =x i (t )()a t b ≤≤的弧长为积分 ()()? =b a j i ij t t x t x t x g s d d d d d 因为在坐标变换 () x x x i i i =' 下，ds 2 为一个不变量，所以 j j i i ij j i x x x x g g ' ' ' '????= 这表明g ij ( x )为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n 的度量张量或基本张量. [矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿. 设{} a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为 g ij a i a j 设{}i a 与{} b i 是两个逆变矢量，则其标量积为 g ij a i b j 这两矢量夹角的余弦为
g a b g a a g b b ij i j ij i j ij i j 设 g ij a i =a j , g ij b i =b j 则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为 g ij a i a j =a j a j , g ij a i b j =a j b j 张量j k i T ??的伴随张量为 j l i lk ijk T g T ??=，k i lj jk i l T g T ???= 式中g lj 满足等式 g g il lj i j =δ 式中j i δ为克罗内克尔符号. [黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件： (i) 仿射联络是无挠率的，即k ji k ij ΓΓ= (ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出 ??? ? ????-??+??= l ij i jl j il kl k ij x g x g x g g 21Γ 如果记 k ij lk l ij g ΓΓ=, 则有 ?? ? ? ????-??+??=l ij i jl j il l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：
黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854 年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。 这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上 的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋ 2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数）， 则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时，就是椭圆几何，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔 记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基 本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式 与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。 地图投影度量空间是球面空间的一种诱导度量，在一定情况下，可用诱导度量研究原曲面上的关系，但在另外情况下，诱导度量与原曲面上的实际情况会大相径庭。如在地球表面局部范围类，可用投影到平面上的诱导度量量度地面实际情况，但对于全球化大范围的情况，则或者不能用地图投影平面研究问题，或者这样结果得到错误的结果。
德国数学家（G.F.）B.黎曼在19世纪中期所提出的几何学理论。1854年,他在格丁根大学发表的就职演说,题目是《论作为几何学基础的假设》，可以说是黎曼几何学的发凡。从数学上讲,他发展了空间的概念,首先认识到几何学中所研究的对象是一种"多重广延量"，其中的点可以用n个实数作为坐标来描述,即现代的微分流形的原始形式,为用抽象空间描述自然现象打下了基础。更进一步,他认为,通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学,如果超出了这个范围,或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的则是一个需要验证的问题，需要靠物理学发展的结果来决定。他认为这种空间(也就是流形)上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。在无限小的意义下,这种距离仍然满足勾股定理。这样,他就提出了黎曼度量的概念。这个思想发源于C.F.高斯。但是黎曼提出了更一般化的观点。在欧几里得几何中, 邻近点的距离平方是 (在笛卡儿坐标下)，这确定了欧几里得几何。但是在一般曲线坐标下, 则应为,这里是相当特殊的一组函数。如果是一般的函数，又(g ij)仍构成正定对称阵,那么从 出发,也可以定义一种几何学,这便是黎曼几何学。 由于在每一点的周围，都可以选取坐标使得在这点成立 ,所以在非常小的区域里面勾股定理近似成立。但在大一点的范围里一般就和欧几里得几何学有很大的区别了。 黎曼认识到距离只是加到流形上的一个结构，因此在同一流形上
可以有众多的黎曼度量，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚。这是一个杰出的贡献。 其后，E.B.克里斯托费尔、G.里奇等人又进一步发展了黎曼几何，特别是里奇发展了张量分析的方法，这在广义相对论中起了基本的作用。1915年A.爱因斯坦创立了广义相对论，使黎曼几何在物理中发挥了重大的作用，对黎曼几何的发展产生了巨大的影响。广义相对论真正地用到了黎曼几何学,但其度量形式不是正定的,现称为洛伦茨 流形的几何学（见广义相对论）。 广义相对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是é.嘉当在20世纪20～30年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。半个多世纪以来，黎曼几何的研究也已从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支和现代物理学中有重要作用的结果。随着60年代大范围分析的发展，黎曼几何和偏微分方程（特别是微分算子的理论）、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透、互相影响。在现代物理中的规范场理论（又称杨－米尔斯理论）中，黎曼几何也成了一个有力的工具。 黎曼流形黎曼几何是黎曼流形上的几何学。黎曼流形指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g,也就是说,在微分流形M的每一个坐标邻域(U,x)内，用一个正定对称的二次微分形式
《数学专题讲选》期末论文 07数学 20075202 阮腾达 黎曼几何 本学期开设的数学专题选讲中，我最感兴趣的就是肖建波老师讲的黎 曼曲面专题。课后，我结合老师上课内容和查找相关资料，了解了黎曼几 何的产生及其内容概要。 古希腊数学家欧几里得的《几何原本》提出了五条公设。头四条公设分别为： 1.由任意一点到任意一点可作直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。 4.凡直角都相等。 第5条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一 侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字 叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几 何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。 也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不 能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论 了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题 始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能 不能证明？ 几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来，数学家们就感到它不像公设，是能够加以证明的．尽管人们的尝试失败了——事实证明他们也必然要失败，数学家们却由此而建立了两种全新的几何学，即非欧几何！ 建立非欧几何的荣誉，应该由高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基三人共同分享。不过在介绍他们的工作之前，我们先来看在这方面曾作过努力和贡献的几位数学家。 首先要提到的是意大利耶稣会士和帕维亚大学的教授萨谢利。他研究了一个四边形ABCD（如图1），∠A和∠B是直角，AD=BC。他证明了∠D=∠C，那么这两个角的大小只有三种可能：钝角、直角或锐角，萨谢利称之为钝角和锐角假定和锐角假定。他希望证明钝角和锐角假定是错误的，那么余下的直角假定就是第五公设的等价形式！萨谢利隐含的假定的矛盾性，但对于锐角假定，逻辑事实使他左右为难，最后毫无说服力地硬塞进一个“矛盾”。如果他不是那样迫不及待地塞进一个所谓“矛盾”，而是大胆地承认自己找不到矛盾，那么非欧几何的发现无疑应该归功于萨谢利。非欧几何已经碰到了他的鼻尖上，但他让它溜走了。 33年之后，法国数学家兰伯特也作了类似的研究，并写出了一本《平行线论》。他研究的则是有三个直角地四边形，讨论第四角的情况，同样也有相应三种假定。他也默认了直线是无限长这一假设，而否定了钝角假定，但他注意到了