浅谈实数与二次根式归纳总结

0.022 5的算术平方根是 0.022 5 ＝0.15.
(2) 625
9 625
9
的平方根是±
625 9
＝±
25 3
；
的算术平方根是
625 9
＝
25 3
.
(3)196的平方根是± 196 ＝±14；
196的算术平方根是 196 ＝14.
概念2 立方根
2．(1)【中考?茂名】－8的立方根是 ___－__2___ ； (2)－0.027的立方根是 __－__0__.3__ ；
本讲总结提升
【归纳总结】 二次根式 (a≥ 0)具有双重非负性，即被开方数 a≥0，≥0.通 常用它来解决多个非负数和为 0的问题．
同类变式
已知x，y为实数，且满足 1＋ x－( y－1) 1－ y
＝0，那么x2 018－y2 019的值是多少？
解：由已知可得 1＋ x + (1－ y) 1－ y ＝0.因 为1－y≥0，所以 (1－y) 1－ y ≥0，由非负
1 ,3.14,0,
2－1, 3 －9, |
23
16
整数有__________0_，___| __4__－__1_|________ ；
5 ,－ 1 ,3.14,0, | 4－1 | 有理数有 ___2______1__6_________________ ；
π ,
2,
2－1, 3 －9
无理数有 ______3______________________ ．
归纳总结课
浅谈实数与二次根式归纳总结
方法之美 思维之美 应用之美
本讲总结提升
知识框架
整合提升
本章总结提升
知识框架
有理数
无理数
概
分类
念
平方根的性 重要性
质
质
实数
开方
平方 根
包 含
立方根的性 质
法则
积（商）的算术平方根
立方根 运
二次算根式的加、减、乘、
二次根式的乘除法运算法则
除、方运算法则
算术平方根
平方根与算术平方根有什么关系？平方根与立方根 有什么关系？开方运算与乘方运算有什么关系？如何求一 个数的平方根和立方根？
考点 1 五个概念
概念1 算术平方根与平方根
1．分别求出下列各数的平方根和算术平方根： (1)0.022 5；(2) 625 ；(3)196. 9
解：(1)0.022 5的平方根是± 0.022 5 ＝±0.15；
(1)求a ，b 的值； (2)求a ＋b 的平方根．
解：(1)由题意，得 2a－7＋a＋4＝0， 解得 a＝1；b－12＝－8，解得 b＝4. (2)因为 a＋b＝5，所以 a＋b 的平方根为 ± 5.
4 －1|中，
本讲总Baidu Nhomakorabea提升
【归纳总结】 三种具有明显特征的无理数类型： 一是开方开不尽的数，二是化简后含 π 的数，三是人 为构造的有特定结构但不循环的数 (如－0.5252252225 …(相邻 两个5之间2的个数逐次加 1)
同类变式
例 1 把下列各数分别填在相应的集合中： 5，－6，3 8，0，π5，3.1415926，272，－ 16.
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例 6 若 x，y 都是实数，且 y＝ 2x－3＋ 3－2x＋4， 求 xy 的值．
解：
由题意可知
?? ? ??
2x－3≥0， 3－2x≥0，
解得 x＝32，此时 y＝4，所以 xy＝32×4＝6.
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例 7 已知实数 a，b，c 满足12|a－b|＋ 2b＋c＋(c－12)2＝0， 求 a(b ＋c)的值．
客观来讲的话本讲内容在中考中主要考查实数 及其相关概念，二次根式及其性质，二次根式的计 算与化简，多以填空题、选择题或计算题的形式出 现，有时也与其他知识结合在一起综合考查．其主 要考点可概括为：五个概念、四个性质、两个运算、 两个技巧、两个应用、两种思想．
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问题1 平方根和算数平方根以及立方根
数的性质得1＋x＝0且1－y＝0.所以x＝－1， y＝1.所以x2 018－y2 019＝0.
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问题5 最简二次根式
什么是最简二次根式？如何化简二次根式？
概念5 最简二次根式
6. 二次根式 4 5a , 2a 3 , 8a , b , 1 (其中a，b 3
均大于或等于0)中，是最简二次根式的有( C )
(3)1是____1____ 的立方根；
1
1
(4) 6 是____2_16___ 的立方根．
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【归纳总结】 开方与乘方互为逆运算，注意理解两者之间的互逆关系．
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问题2 实数的分类与识别
什么是无理数？什么是实数？你知道哪些具有明显特 征的无理数类型？
概念3 实 数
3．在 5 , π , 2, －
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
根据最简二次根式的定义可知，只有 4 5a , b 这两个二次根式是最简二次根式．故选 C.
考点 2 四个性质
性质1 平方根的性质
7．已知 a－2 ＋(b＋5)2＋|c＋1|＝0，那么a－b －c＝___8_____．
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例3 已知某正数的两个平方根分别是 2a －7和a＋4，b －12的立方根是－ 2.
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[点评] 正数和零统称为非负数，我们已学过的非负数有以下三种类型：
(1)a 2；(3)|a| ；(3) a(a≥0)． 非负数具有以下性质： (1)若干个非负数的和仍为非负数； (2)非负数的算术平方根仍为非负数，即当 a≥0 时， a≥0； (3)当若干个非负数的和为零时，其中的每个非负数都为零； (4)0 是最小的非负数，没有最大的非负数．利用非负数的这些性质可解决 与之有关的很多问题．
解：如图所示：
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问题3 二次根式的概念
什么是二次根式？其表示方法是什么？
概念4 二次根式
4. 下列各式一定是二次根式的是( D )
A. a
B. x 3＋1
C. 1－x 2
D. x 2＋1
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问题4 二次根式的双重非负性
二次根式的双重非负性是什么？如何利用这个性质解决 “几个非负数和为 0”的类型的问题？
[解析 ] 首先根据绝对值、算术平方根以及完全平方式的非负性求出
a，b，c 的值，然后代入多项式 a(b＋c)即可．
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解：因为|a－b|≥0， 2b＋c≥0，(c－12)2≥0，12|a－b|＋ 2b＋c＋(c－21)2＝0， 所以 a－b＝0，2b＋c＝0，c－12＝0，所以 a＝b＝－14，c＝12，所以 a(b ＋c)＝ －14×(21－14)＝－116.